1.4.3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、.§1.4.3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)【教材分析】 正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)? 它前承正、余弦函數(shù)，后啟必修五中的直線斜率問題。研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)過程不僅是對正、余弦曲線研討方法的一種再現(xiàn)，更是一種提升，同時又為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了基石。教材單刀直入，直接進(jìn)入畫圖工作，沒有給出任何提示。正切函數(shù)與正弦函數(shù)在研究方法上類似，我采用以類比的方式，讓學(xué)生回憶正弦曲線的作圖過程與方法，進(jìn)而啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)作正切曲線的一種方法。教材上直接圈定了區(qū)間，這樣限制了學(xué)生的思維，我把空間留給學(xué)生，采用讓學(xué)生自己選擇周期，設(shè)計一個得到正切曲線的方法。這樣，不僅發(fā)揮了學(xué)生的能動性，增強(qiáng)動腦、動手繪圖的才能，而

2、且，在此過程中，學(xué)生會注意到畫正切曲線的細(xì)節(jié)。在得到圖象后，單調(diào)性是一個難點，我設(shè)計了幾個判斷題幫助學(xué)生理解該性質(zhì)，并用比大小的題型啟發(fā)學(xué)生從代數(shù)和幾何兩種角度看問題。【教學(xué)目的】正切函數(shù)是繼正、余弦之后的又一個三角函數(shù)，三者在研究方法與研究內(nèi)容上類似，但某些性質(zhì)有所不同，這就養(yǎng)成學(xué)生在畫圖時必須全面考慮問題。本著課改理念，養(yǎng)成學(xué)生對知識的勇于探究精神，學(xué)生親自體會正切曲線的獲得過程，這樣學(xué)生的動手理論才能有了進(jìn)步，又體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，根據(jù)教學(xué)要求及學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知程度，現(xiàn)制定以下教學(xué)目的：1.會用單位圓內(nèi)的正切線畫正切曲線，并根據(jù)正切函數(shù)圖象掌握正切函數(shù)的性質(zhì)，用數(shù)形結(jié)合的思想理解和處理問

3、題。2.首先學(xué)生自主繪圖，通過投影儀糾正圖像，投影完好的正確圖象，然后再讓學(xué)生觀察，類比正弦，探究知識。3.在得到正切函數(shù)圖像的過程中，學(xué)會一類周期性函數(shù)的研究方式，通過自己動手得到圖像讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，體驗探究的樂趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！窘虒W(xué)重點難點】教學(xué)重點：正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)。教學(xué)難點：利用正切線畫出函數(shù)y=tanx的圖象，對直線x=，是y=tanx的漸近線的理解，對單調(diào)性這個性質(zhì)的理解。【學(xué)情分析】 知識構(gòu)造：在函數(shù)中我們學(xué)習(xí)了如何研究函數(shù)，而對正弦函數(shù)的研究又再一次做了一個模板，所以學(xué)生已經(jīng)具備了一定的繪圖技能，類比推理畫出圖象，并通過觀察圖象，總結(jié)性質(zhì)的才能。

4、但在畫正切函數(shù)圖象時，還有許多需要注意的地方，這又提升了學(xué)生分析問題的才能及嚴(yán)密認(rèn)真的態(tài)度。心理特征：高一學(xué)生已經(jīng)初步形成了是非觀，具備了分辨是非的才能及語言表達(dá)才能?？梢酝ㄟ^討論、合作交流、辯論得到正確的知識。但在處理問題時學(xué)生很容易“想當(dāng)然用事，考慮問題不深化，往往會造成錯誤的結(jié)果?！窘虒W(xué)方法】1學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見后面的學(xué)案。2新授課教學(xué)根本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑情境導(dǎo)入、展示目的合作探究、精講點撥反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)【課前準(zhǔn)備】1學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)“正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，初步把握作圖的方法與性質(zhì)的推導(dǎo)。2老師的教學(xué)準(zhǔn)備：課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案?！菊n時安

5、排】1課時【教學(xué)過程】一、預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑檢查落實了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并理解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對性。二、復(fù) 習(xí)導(dǎo)入、展示目的。問題1：就我們前面所學(xué)的內(nèi)容中，正切函數(shù)與正余弦函數(shù)的有何區(qū)別？三角函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx定義域RR值域1,11,1R周期性及周期22奇偶性奇偶奇大家怎么知道正切函數(shù)的值域是R? 通過單位圓中的正切線可以得到。那請同學(xué)們回憶正切線在每一個象限的畫法。設(shè)計意圖：通過此問題確定本節(jié)課的一個基調(diào)：類比學(xué)習(xí)；通過此問題來復(fù)習(xí)我們已經(jīng)研究過的正切函數(shù)的性質(zhì)；通過比較讓學(xué)生理解正切與正弦的區(qū)別，在畫圖像的時候注意區(qū)別；因為在作圖時必須用正切線的知

6、識，所以在此做一個相應(yīng)的復(fù)習(xí)和準(zhǔn)備工作，順應(yīng)學(xué)生的思維在知識鏈接處提問 問題2：我們用什么樣的方式得到正余弦函數(shù)的圖像的？利用單位圓內(nèi)的正弦線，得到在一個周期，即0，2 內(nèi)的圖象，再利用周期性得到在定義域內(nèi)的圖象。問題3：請同學(xué)們根據(jù)所學(xué)知識設(shè)計一個研究正切函數(shù)圖像與性質(zhì)的方案。 方案：第一步：畫出正切函數(shù)的在一個周期內(nèi)的圖象； 第二步：將圖象向左、向右平移拓展到整個定義域上去； 第三步：根據(jù)圖象總結(jié)性質(zhì)。三、合作探究、精講點撥。請同學(xué)們解決方案的第一步，先畫出y=tanx在一個周期內(nèi)的簡圖。給學(xué)生充足的時間與空間，發(fā)揮學(xué)生的主動性，這樣不僅進(jìn)步了學(xué)生的動手理論才能，還培養(yǎng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

7、注：有的學(xué)生可能會想到利用函數(shù)的奇偶性來畫圖，很多學(xué)生會畫出0.的圖象，老師暫時不予評價，等待學(xué)生形成圖象。老師用投影儀展示作圖結(jié)果，學(xué)生之間互相評價，指出優(yōu)點和缺乏之處，并鼓勵學(xué)生闡述自己的觀點。老師直接在投影儀上糾正學(xué)生錯誤的圖像；并將0，的圖象與的圖像進(jìn)展比較來說明只是周期的選擇不同，拓展到整個定義域上也是一致的。通過學(xué)生之間的點評與總結(jié)，引出漸近線，并請同學(xué)們總結(jié)出：要畫出一個周期內(nèi)的圖象，首先，選擇哪段區(qū)間較好，其次，在畫圖象的過程中應(yīng)該注意什么？投影儀展示完好圖像。目的是標(biāo)準(zhǔn)作圖，理順?biāo)悸返淖饔?，并畫出在定義域上的圖象。設(shè)計意圖：在做好整體知識方法的鋪墊后，學(xué)生完全有才能自己得到圖

8、象，并且通過交流發(fā)現(xiàn)自己的問題，所以整體做了一個這樣的處理。而根據(jù)知識的發(fā)生開展和獲得結(jié)論這個過程，在最后給學(xué)生展示標(biāo)準(zhǔn)的圖象以留下正確和深化的印象總結(jié)正切函數(shù)的性質(zhì)。分小組根據(jù)正切函數(shù)圖象去驗證正切函數(shù)已有的性質(zhì)，并找出其它的性質(zhì)主要就指單調(diào)性，假設(shè)學(xué)生提及對稱性就一起分析，假設(shè)學(xué)生不提也不加以討論，因為高考要求沒有對對稱性的涉及。一組總結(jié)后，其它各小組補(bǔ)充或改正。培養(yǎng)學(xué)生之間的團(tuán)結(jié)協(xié)作才能及勇于探究的精神。有部分學(xué)生會得到正切函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)的結(jié)論，所以為了打破這個難點，另外又設(shè)計了三道判斷題讓學(xué)生小組討論形成結(jié)果。判斷以下語句是否正確：1 y=tanx在定義域上是單調(diào)增函數(shù)；2

9、y=tanx在第一象限是單調(diào)增函數(shù)；3，而y=tanx 是單調(diào)增函數(shù)，在整體形成應(yīng)該如何理解正切函數(shù)的單調(diào)性的根底上，再完成兩個比大小的問題。不求值，判斷以下各式的大小tan1380 tan1430， tan tan引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩個角度來完成，可以直接看圖象，可以轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間，也可以利用三角函數(shù)線來比大小。設(shè)計意圖：根據(jù)原來的教學(xué)經(jīng)歷，學(xué)生在后續(xù)使用這個性質(zhì)的時候經(jīng)常會認(rèn)為正切在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，或者對第一象限的認(rèn)識就認(rèn)為是0，所以準(zhǔn)備這些辨析題就是讓學(xué)生縮短這個反復(fù)講解的過程，留下正確的印象，而比較大小是檢驗?zāi)芊裾J(rèn)識三角單調(diào)性的一個很好的工具，誘導(dǎo)公式的使用又將前后內(nèi)容聯(lián)絡(luò)起

10、來四、例題分析例1.討論函數(shù)的性質(zhì)解析：考察正切函數(shù)圖像，該圖像可通過正切函數(shù)圖像向左平移單位得到解：定義域：值域：R 奇偶性：非奇非偶函數(shù)單調(diào)性：在上是增函數(shù)點評：此題考察了圖像的平移變換，培養(yǎng)學(xué)生的作圖才能與通過圖像觀察性質(zhì)的才能變式訓(xùn)練1. 求函數(shù)ytan2x的定義域、值域和周期解：要使函數(shù)ytan2x有意義，必須且只須2x，Z即x，Z 函數(shù)ytan2x的定義域為xR，x，Z2設(shè)2x，由x，Z知，Zytan的值域為，即ytan2x的值域為，3由tan2xtan2xtan2x ytan2x的周期為例2.求函數(shù)y的定義域 解析：通過圖像解三角不等式解：tanx1且xk，kZ，得xk且xk，k

11、Z那么定義域為x| xR且xk且xk，kZ點評：通過此題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的才能變式訓(xùn)練2. y解：tanx10，即tanx1，得kxk，kZ那么定義域為x| kxk，kZ例3. 比較tan與tan的大小解析：通過誘導(dǎo)公式把角度化為同一單調(diào)區(qū)間，利用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小解：tantan 0 又ytanx在0，上單調(diào)遞增tantan，那么tantan點評：注意誘導(dǎo)公式的準(zhǔn)確應(yīng)用變式訓(xùn)練3. tan與tan 解：tan tan ，tan tan tan 0 又ytan x在0，上單調(diào)遞增tantan，那么tantan 由學(xué)生分析，得到結(jié)論，其他學(xué)生幫助補(bǔ)充、糾正完成。五、反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測。老師組

12、織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進(jìn)展當(dāng)堂檢測。課堂小結(jié)：1、數(shù)學(xué)知識：正切函數(shù)的定義與圖像，定義域、值域和周期性、奇偶性、單調(diào)性。2、數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合。達(dá)標(biāo)檢測：1. 函數(shù)的周期是 A B C D2.函數(shù)的定義域為 A B C D3.以下函數(shù)中,同時滿足1在0, 上遞增,2以2為周期,3是奇函數(shù)的是 A B C D4.tan1,tan2,tan3的大小關(guān)系是_.5.給出以下命題:1函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù); 2函數(shù)y=|cos2x+1/2|的周期是/2;3函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù); 4函數(shù)y=sin5/2+x是偶函數(shù);5函數(shù)y=tan2x+/6圖象的一個對稱中心為/6

13、,0其中正確命題的序號是_注:把你認(rèn)為正確命題的序號全填上6.求函數(shù)y=lg1-tanx的定義域參考答案：1.C2.D3.C4. tan2<tan3<tan15.1456.設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)并對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)展簡單的反響糾正。六、發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。1y=|sinx|的周期變成了2,那y=|tanx|變成了什么？2在書本P34有正切、余切的由來，請同學(xué)們仔細(xì)閱讀，并想想為什么直陰影是余切，反陰影是正切？七、板書設(shè)計正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)一、正切函數(shù)圖像 例11畫出正切函數(shù)的在一個周期內(nèi)的圖象； 例2 2將圖象向左、向右平移拓展到整個定義域上去； 例3 二、正切函數(shù)的性質(zhì) 根據(jù)

14、圖象總結(jié)性質(zhì) 八、教學(xué)反思1根據(jù)知識的前后聯(lián)絡(luò)在本節(jié)課設(shè)計時主要采取類比學(xué)習(xí)，學(xué)生自己動手繪圖、自己研究性質(zhì)、自己完成辨析、判斷和例題的過程。在學(xué)生可以自己獨立完成的地方，老師退到幕后起到一個推波助瀾的作用和匯總學(xué)生意見，形成正確知識和方法的作用。2根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的發(fā)生開展成熟過程，在生成圖象的過程中讓學(xué)生自己先獨立畫，然后小組交流，再用投影儀來糾正學(xué)生錯誤圖象，比較不同周期的圖象，最后用投影儀展現(xiàn)定義域內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)圖象，充分表達(dá)了學(xué)生的主體性，讓學(xué)生活起來。九、學(xué)案設(shè)計見下頁§1.4.3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目的利用單位圓內(nèi)的正切線畫正切曲線，并根據(jù)正切函數(shù)圖象掌握

15、正切函數(shù)的性質(zhì)二、預(yù)習(xí)內(nèi)容1.畫出以下各角的正切線： 2.類比正弦函數(shù)我們用幾何法做出正切函數(shù)圖象：3.把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)，且的圖象，稱“正切曲線4.觀察正切曲線，答復(fù)正切函數(shù)的性質(zhì)：定義域： 值域：最值： 漸近線：周期性： 奇偶性單調(diào)性： 圖像特征：三、提出疑惑同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目的：會用單位圓內(nèi)的正切線畫正切曲線，并根據(jù)正切函數(shù)圖象掌握正切函數(shù)的性質(zhì)，用數(shù)形結(jié)合的思想理解和處理問題。學(xué)習(xí)重難點：正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)。二、學(xué)習(xí)過程例1.討論函數(shù)的性質(zhì)變式訓(xùn)練1. 求函數(shù)ytan2x的定義域、值域和周期例2.求函數(shù)y的定義域 變式訓(xùn)練2. y例3. 比較tan與tan的大小變式訓(xùn)練3. tan與tan 三、反思總結(jié)1、數(shù)學(xué)知識： 2、數(shù)學(xué)思想方法： 四、當(dāng)堂檢測一、選擇題1. 函數(shù)的周期是 A B C D2.函數(shù)的定義域為 A B C D3.以下函數(shù)中,同時滿足1在0, 上遞增,2以2為周期,3是奇函數(shù)的是 A B C D二、填空題4.tan1,tan2,tan3的大小關(guān)系是_.5.給出以下命題:1函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù); 2函數(shù)y=|cos2x+1/2|的周期是/2;3函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù); 4函數(shù)y=sin5/