余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì) 教學(xué)設(shè)計(jì)

1、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)【教學(xué)目標(biāo)】1.能利用單位圓中的余弦線畫(huà)出余弦函數(shù)的圖像.2.能類比正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)得出余弦函數(shù)的性質(zhì).3.能理解余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義.4.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間.【知識(shí)梳理】問(wèn)題1:余弦函數(shù)的圖像的作法(1)平移法:余弦函數(shù)y=cos x的圖像可以通過(guò)將正弦曲線y=sin x的圖像向 平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到(如圖). (2)五點(diǎn)法:余弦曲線在0,2上起作用的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為 . 問(wèn)題2:余弦函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間(1)定義域?yàn)?;(2)值域?yàn)?;(3)單調(diào)增區(qū)間為 ,減區(qū)間為 .問(wèn)題3:余弦

2、函數(shù)的周期、奇偶性、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心(1)周期T= ;(2)偶函數(shù);(3)對(duì)稱軸為 (4)對(duì)稱中心為 . 問(wèn)題4:余弦函數(shù)的復(fù)合函數(shù)f(x)=Acos(x+)(A>0,>0)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間(1)當(dāng)x+=+k時(shí),即 為對(duì)稱中心;(2)當(dāng)x+=k時(shí),即 為對(duì)稱軸;(3)當(dāng)x+-+2k,2k時(shí),求得x屬于的區(qū)間為 區(qū)間;當(dāng)x+2k,+2k時(shí),求得x屬于的區(qū)間為 區(qū)間.(注:以上kZ)【典型例題】要點(diǎn)一余弦函數(shù)的圖像及應(yīng)用例1畫(huà)出ycos x(xR)的簡(jiǎn)圖，并根據(jù)圖像寫(xiě)出：(1)y時(shí)x的集合；(2)y時(shí)x的集合解：用“五點(diǎn)法”作出ycos x的簡(jiǎn)圖(1)過(guò)點(diǎn)作x軸的

3、平行線，從圖像中看出：在，區(qū)間與余弦曲線交于，點(diǎn)，在，區(qū)間內(nèi)，y時(shí)，x的集合為.當(dāng)xR時(shí)，若y，則x的集合為(2)過(guò)，點(diǎn)分別作x軸的平行線，從圖像中看出它們分別與余弦曲線交于，kZ，kZ點(diǎn)和，kZ，)，kZ點(diǎn)，那么曲線上夾在對(duì)應(yīng)兩直線之間的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合即為所求，即當(dāng)y時(shí)x的集合為：.規(guī)律方法：利用三角函數(shù)的圖像或三角函數(shù)線，可解簡(jiǎn)單的三角函數(shù)不等式，但需注意解的完整性跟蹤演練1求函數(shù)f(x)lg cos x的定義域解由題意，x滿足不等式組，即，作出ycos x的圖像結(jié)合圖像可得：x.要點(diǎn)二：余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例2求函數(shù)ylog (cos 2x)的增區(qū)間解：由題意得cos 2x>0且

4、ycos 2x遞減x只須滿足：2k<2x<2k，kZ.k<x<k，kZ.ylog (cos 2x)的增區(qū)間為，kZ.規(guī)律方法：用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小時(shí)，應(yīng)先將異名化同名，把不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性來(lái)比較大小跟蹤演練2：比較下列各組數(shù)的大小(1)sin 46°與cos 221°；(2)cos與cos.解：(1)sin 46°cos 44°cos 136°，cos 221°cos 41°cos 139°.180°>139

5、76;>136°>0°，cos 139°<cos 136°，即sin 46°>cos 221°.(2)coscoscoscos，coscoscoscos.0<<<，且ycos x在0，上遞減，cos<cos，即cos<cos要點(diǎn)三：余弦函數(shù)值域(最值)例3：求下列函數(shù)的值域(1)ycos2xcos x；(2)y.解：(1)y2.1cos x1，當(dāng)cos x時(shí)，ymax.當(dāng)cos x1時(shí)，ymin2.函數(shù)ycos2xcos x的值域是.(2)y1.1sin x1，12sin x3，1

6、，4，13，即y3.函數(shù)y的值域?yàn)?規(guī)律方法：求值域或最大值、最小值問(wèn)題，一般依據(jù)為：sin x，cos x的有界性；sin x，cos x的單調(diào)性；化為sin xf(y)或cos xf(y)利用|f(y)|1來(lái)確定；通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)跟蹤演練3求函數(shù)ycos2x4sin x的最值及取到最大值和最小值時(shí)的x的集合(提示：sin2cos21)解：ycos2x4sin x1sin2x4sin xsin2x4sin x1(sin x2)25.當(dāng)sin x1，即x2k，kZ時(shí)，ymax4；當(dāng)sin x1時(shí)，即x2k，kZ時(shí)，ymin4.所以ymax4，此時(shí)x的取值集合是；ymin4，此時(shí)x的取值集

7、合是.一、選擇題1函數(shù)ycosx(0x)的值域是()A1,1B，1C0，D1,0答案B解析函數(shù)ycosx在0，上是減函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)閏os，cos0，即，12函數(shù)ycos2x3cosx2的最小值為()A2B0CD6答案B解析y2，當(dāng)cosx1時(shí)，y最小0.3函數(shù)ycosx|cosx|，x0,2的大致圖像為()答案D解析ycosx|cosx|，故選D.4方程|x|cosx在(，)內(nèi)()A沒(méi)有根B有且僅有一個(gè)根C有且僅有兩個(gè)根D有無(wú)窮多個(gè)根答案C解析在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)y|x|及函數(shù)ycosx的圖像，如圖所示發(fā)現(xiàn)有2個(gè)交點(diǎn)，所以方程|x|cosx有2個(gè)根5已知函數(shù)f(x)sin(x)1，則下列命

8、題正確的是()Af(x)是周期為1的奇函數(shù)Bf(x)是周期為2的偶函數(shù)Cf(x)是周期為1的非奇非偶函數(shù)Df(x)是周期為2的非奇非偶函數(shù)答案B解析由f(x2)f(x)可知T2，再f(x)sin(x)1cosx1，f(x)cos(x)1cosx1f(x)6函數(shù)y的定義域是()ARBx|x2k，kZCx|x2k，kZDx|x，kZ答案A解析要使函數(shù)有意義，則需3cosx>0，又因?yàn)?cosx1，顯然3cosx>0，所以xR.二、填空題7函數(shù)ycosx在區(qū)間，a上為增函數(shù)，則a的取值范圍是_答案(，0解析ycosx在，0上是增函數(shù)，在0，上是減函數(shù)，只有<a0時(shí)，滿足已知條件，a

9、(，08比較大?。篶os_cos()答案>解析coscoscos，coscoscos，由ycosx在0，上是單調(diào)遞減的，所以cos<cos，所以cos>cos.三、解答題9若函數(shù)f(x)absinx的最大值為，最小值為，求函數(shù)y1acosbx的最值和周期解析(1)當(dāng)b>0時(shí)，若sinx1，f(x)max；若sinx1，f(x)min，即解得此時(shí)b1>0符合題意，所以y1cosx.(2)當(dāng)b0時(shí)，f(x)a，這與f(x)有最大值，最小值矛盾，故b0不成立(3)當(dāng)b<0時(shí)，顯然有解得符合題意所以y1cos(x)1cosx.綜上可知，函數(shù)y1cosx的最大值為，最

10、小值為，周期為2.一、選擇題1將下列各式按大小順序排列，其中正確的是()Acos0<cos<cos1<cos30°<cosBcos0<cos<cos<cos30°<cos1Ccos0>cos>cos1>cos30°>cosDcos0>cos>cos30°>cos1>cos答案D解析在0，上，0<<<1，又余弦函數(shù)在0，上是減少的，所以cos0>cos>cos>cos1>0.又cos<0，所以cos0>cos

11、>cos>cos1>cos.2函數(shù)f(x)xcosx的部分圖像是()答案D解析由f(x)xcosx是奇函數(shù)，可排除A，C.令x，則f()cos<0.故答案選D.二、填空題3若cosx，且xR，則m的取值范圍是_答案(，3解析|cosx|1，|2m1|3m2|.(2m1)2(3m2)2.m3，或m.m(，3.4設(shè)f(x)的定義域?yàn)镽，最小正周期為.若f(x)則f_.答案解析T，kTk·(kZ)都是yf(x)的周期，fffsinsin.三、解答題5利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，比較cos()與cos()的大小分析利用誘導(dǎo)公式化為0，上的余弦值，再比較大小解析cos()coscos，cos()coscos.因?yàn)?<<<，且函數(shù)ycosx，x0，是減函數(shù)，所以cos>cos，即cos()<cos()6求下列函數(shù)的定義域(1)y；(2)ylg(2sinx1)解析(1)要使y有意義，需有cos(sinx)0，又1sinx1，而ycosx在1,1上滿足cosx>0，xR.y的定義域?yàn)镽.(2)要使函數(shù)有意義，只要即由下圖可得cosx的解集為x|2kx2k，kZsinx>的解集為x|2k<x<2k，kZ它們的交集為x|2kx<2k，kZ，即為函數(shù)的定義域7函數(shù)f(x)acos