控制系統(tǒng)的數學模型及傳遞函數

1、控制系統(tǒng)的數學模型及傳遞函數2-1 拉普拉斯變換的數學方法拉氏變換是控制工程中的一個基本數學方法，其優(yōu)點是能將時間函數的導數經拉氏變換后，變成復變量S的乘積，將時間表示的微分方程，變成以S表示的代數方程。一、拉氏變換與拉氏及變換的定義1、拉氏變換：設有時間函數，其中，則f(t)的拉氏變換記作：稱L拉氏變換符號；s-復變量； F(s)為f(t)的拉氏變換函數，稱為象函數。f(t)原函數拉氏變換存在，f(t)必須滿足兩個條件(狄里赫利條件)：1)在任何一有限區(qū)間內，f(t)分斷連續(xù)，只有有限個間斷點。2)當時，M，a為實常數。2、拉氏反變換：將象函數F（s）變換成與之相對應的原函數f(t)的過程。

2、拉氏反變換符號關于拉氏及變換的計算方法，常用的有：查拉氏變換表；部分分式展開法。二、典型時間函數的拉氏變換在實際中，對系統(tǒng)進行分析所需的輸入信號?？苫喅梢粋€成幾個簡單的信號，這些信號可用一些典型時間函數來表示，本節(jié)要介紹一些典型函數的拉氏變換。1單位階躍函數2單位脈沖函數3單位斜坡函數4指數函數5正弦函數sinwt由歐拉公式：所以，6余弦函數coswt其它的可見表2-1：拉氏變換對照表F(s)f(t)11(t)t三、拉氏變換的性質1、線性性質若有常數k1，k2,函數f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏變換為F1(s),F2(s),則有：，此式可由定義證明。2、位移定理(1)

3、實數域的位移定理若f(t)的拉氏變換為F(s),則對任一正實數a有, 其中，當tA(s),可化為多項式+真分式的形式。下面分兩種情況，研究分式展開法。1、F(s)無重極點的情況此時，F(s)總能展開成下面的部分分式之和：其中，分子為待定系數。例：求F(s)的拉氏變換解一：解二：所以例2 若p1,p2 為共軛復數，相應的系數k1 ，k2也是共軛復數，故只需求出一個即可。2、F(s)有重極點的情況設F(s)有r 個重極點p1,其余極點均不相同，則例：求的拉氏反變換所以：2-2 系統(tǒng)的數學模型1、數學模型的概念我們把描述系統(tǒng)或元件的動態(tài)特性的數學表達式叫做系統(tǒng)或元件的數學模型。深入了解元件及系統(tǒng)的動

4、態(tài)特性，準確建立它們的數學模型稱建模，只有得到較為準確的數學建模，才能設計出性能良好的控制系統(tǒng)。動態(tài)特性 控制系統(tǒng)所采用的元件種類繁多，雖然各自服從的規(guī)律，但它們有一共同點：即任何系統(tǒng)或元件總有物質或能量流入，同時又有某些物質或能量流出，系統(tǒng)通常又是有貯存物質或能量的能力，貯存量的多少用狀態(tài)變量來表示。狀態(tài)變量是反應系統(tǒng)流入量或流出量之間平衡的物理量，由于外部供給系統(tǒng)的物質或能量的速率是有限的，不可能是無窮大，因此，系統(tǒng)的狀態(tài)變量有一個狀態(tài)變到另一個狀態(tài)不可能瞬間完成，而要經過一段時間。這樣，狀態(tài)變量的變化就有一個過程，這就是動態(tài)過程。例如，電路中電容上的電壓是一個狀態(tài)變量，它由一個值變到另一

5、個值不可能瞬間完成。具有一定慣量的物體的轉速是一個狀態(tài)變量，轉速的變化也是一個過渡過程，具有一定質量的物體的溫度是一個狀態(tài)變量，它由溫度T0變到T，同樣有一個動態(tài)過程；又如容器中液位也是一個狀態(tài)變量，液位的變化也要一定的時間。建立控制系統(tǒng)數學模型的方法有1）分析法對系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析，依據系統(tǒng)本身所遵循的有關定律列寫數學表達式，并在列寫過程中進行必要的簡化。建立系統(tǒng)數學模型的幾個步驟： 建立物理模型。 列寫原始方程。利用適當的物理定律如牛頓定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等） 選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量（僅在建立狀態(tài)模型時要求），消去中間變量，建立適當的輸入輸出模型

6、或狀態(tài)空間模型。2）實驗法是根據系統(tǒng)對某些典型輸入信號的響應或其它實驗數據建立數學模型。即人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應。這種用實驗數據建立數學模型的方法也稱為系統(tǒng)辯識。數學模型的逼近1、線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)1) 線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數為常數，則為線性定常系統(tǒng)；例：，其中,a,b,c,d均為常數。如果方程的系數是時間t的函數，則為線性時變系統(tǒng)；線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：系統(tǒng)在幾個外力作用下所產生的響應等于各個外加作用單獨作用時的響應之和?？杉有裕糊R次性：或2) 非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。例：就是非線性系統(tǒng)。

7、實際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內成立。即在實際系統(tǒng)中，變量之間不同程度地包含有非線性關系，如：間隙、飽合、死區(qū)、干磨擦特性等。非線性系統(tǒng)為分析方便，通常在合理的條件下，可進行如下外理：線性化忽略非線性因素用非線性系統(tǒng)的分析方法來處理。3）線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的判別設某系統(tǒng)的微分方程如下：若方程的系數ai,bj都既不是xo(t)和xi(t)及它們的導數的函數，又不是時間的函數，則此方程是線性定常的，此系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)。若ai,bj是時間的函數，則該方程是線性時變的，此系統(tǒng)稱為線性時變系統(tǒng)。若ai,bj中只要有一個系數依賴于xo(t)和xi(t)或它們的導數，或者在微分方程中

8、出現t r 其它函數形式，該方程為非線性的。例： 線定常非線性判斷下列微分方程表達的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)還是非線性系統(tǒng)？a: (線定常)b: (非線性)c: （線時變）式中：u:輸入信號 y:輸出信號 ai(t)：時變系統(tǒng)3、本課程涉及的數學模型形式時間域：微分方程（一階復數域：傳遞函數、結構圖頻率域：頻率特性二、系統(tǒng)微分方程的建立1、建立微分方程的一般步驟1)分析系統(tǒng)工作原理和信號傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；2)從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據各變量遵循的物理學定律，依次列寫出各元件、部件的動態(tài)微分方程；3)消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關系的微分方

9、程；4)標準化：右端輸入，左端輸出，導數降冪排2、機械系統(tǒng)微分方程的列寫機械系統(tǒng)中部件的運動有直線和轉動兩種。機械系統(tǒng)中以各種形式出現的物理現象，都可簡化為質量、彈簧和阻尼三個要素。列寫其微分方程通常用達朗貝爾原理。即：作用于每一個質點上的合力，同質點慣性力形成平衡力系。用公式表示：1）直線運動（機械平移系統(tǒng)）式中，m、C、K通常均為常數，故機械平移系統(tǒng)可以由二階常系數微分方程描述。顯然，微分方程的系數取決于系統(tǒng)的結構參數，而階次等于系統(tǒng)中獨立儲能元件（慣性質量、彈簧）的數量。2）轉動系統(tǒng)3、電網絡系統(tǒng)電網絡系統(tǒng)分析主要根據基爾霍夫電流定律和電壓定律寫出微分方程式，進而建立系統(tǒng)的數學模型。1）

10、基爾霍夫電流定律：匯聚到某節(jié)點的所有電流之代數和應等于0（即流出節(jié)點的電流之和等于所有流進節(jié)點的電流之和）。2）爾霍夫電壓定律電網絡的閉合回路中電勢的代數和等于沿回路的電壓降的代數和。電網絡系統(tǒng)中三人基本原件是：電阻、電感、電容電阻：電容：電感：例：小結物理本質不同的系統(tǒng)，可以有相同的數學模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意義的分析研究（信息方法）。從動態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數學模型相同而物理本質不同的系統(tǒng)其輸出響應相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進行實驗模擬的基礎；通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨立儲能元（慣性質量、彈性要素、電感、電

11、容、液感、液容等）的個數；因為系統(tǒng)每增加一個獨立儲能元，其內部就多一層能量（信息）的交換。系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結構及其參數。三、傳遞函數微分方程建立后，就可對其求解，得出輸出量的運動規(guī)律，從而對系統(tǒng)進行分析與研究。但微分方程求解繁瑣，且從其本身很難分析系統(tǒng)的動態(tài)特性，但若對微分方程進行拉氏變換，即得到代數方程，使求解簡化，又便于分析研究系統(tǒng)的動態(tài)特性，更直觀地表示出系統(tǒng)中各變量間的相互關系。傳遞函數就是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過程中引申出來的概念。1、傳遞函數的基本定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。零

12、初始條件：t0時，輸入量及其各階導數均為0；輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t 0 時，輸出量及其各階導數也均為0；傳遞函數的一般形式：設線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：式中，nm，當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數的一般形式：此式表示了輸入到輸出之間信息的傳遞關系，稱G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數。傳遞函數的主要特點有：a: 傳遞函數是復變量s的有理真分式函數，mn，且所具有復變量函數的所有性質。b: G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結構和參數，與輸入量的形式（幅度與大小）無關。C: G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結構。因

13、為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數。d: 傳遞函數的量綱是根據輸入量和輸出量來決定，可有可無。e: 如果G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號作用下的輸出響應。f: 如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入，研究其輸出，從而得出傳遞函數，一旦建立G(s)可以給出該傳遞函數的幾點說明 傳遞函數是一種以系統(tǒng)參數表示的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關系式；傳遞函數的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)； 傳遞函數是s 的復變函數。傳遞函數中的各項系數和相應微分方程中的各項系數對應相等，完全取決于系統(tǒng)結構參數； 傳遞函數是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點處

14、于相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律； 傳遞函數只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關系，無法描述系統(tǒng)內部中間變量的變化情況。 一個傳遞函數只能表示一個輸入對一個輸出的關系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。2、傳遞函數的零點和極點pi稱為G(s)的極點，zi稱為G(s)的零點。3、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數環(huán)節(jié)：具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)。經常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。任何復雜系統(tǒng)可看做由一些基本的環(huán)節(jié)組成，控制系統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。1、比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）：輸出量不失真、

15、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關系。其運動方程為：xo(t)=Kxi(t) 拉氏變換為：Xo(s)=KXi(s)xo(t)、xi(t)分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K比例環(huán)節(jié)的增益或放大環(huán)節(jié)的放大系數，等于輸出量與輸入量之比。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數為：例:求圖示一齒輪傳動副的傳遞函數, 分別為輸入軸及輸出軸轉速,Z1和Z2為齒輪齒數,(當齒輪副無傳動間隙,且傳動系統(tǒng)剛性無窮大時,為理想狀態(tài)).因為：其拉換變換：2、慣性環(huán)節(jié)（非周期環(huán)節(jié)）此環(huán)節(jié)與比例環(huán)節(jié)相比，不能立即復現輸出，而需要一定的時間。說此環(huán)節(jié)具有“慣性”，這是因為其中含有儲能元件K與阻能元件C的原因。慣性大小由T來決定。3、微分環(huán)節(jié)這是因為當

16、輸入量為階躍函數時，輸出在理論上將是一個幅值為無窮大而時間寬度為0的脈沖。這實際上是不可能的。因此微分環(huán)節(jié)必須與其它環(huán)節(jié)同時存在。例：圖示為一電網絡系統(tǒng)：4、積分環(huán)節(jié)例：圖示為一電網絡系統(tǒng)，其中i為輸入，u為輸出，則5、振蕩環(huán)節(jié)是二階環(huán)節(jié)，含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉換，從而導致輸出帶有振蕩的性質，其運動方程為：6、延遲環(huán)節(jié)（也稱傳輸滯后環(huán)節(jié)）：其輸出滯后輸入時間，但不失真地反映輸入，延遲環(huán)節(jié)一般與其它環(huán)節(jié)共存，不單獨存在。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0 時間內,沒有輸出，但t=之后，輸出完全等于輸入。例：圖示帶鋼軋制過程四、方框圖及動態(tài)系統(tǒng)的構成1、方框圖系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)數學模型的圖解形式?？梢孕蜗笾庇^地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統(tǒng)的數學關系式相同，其方框圖也不一定相同。1）