排列組合論文

1、排列組合體系重建制作：星哥摘要 排列組合是高中數(shù)學(xué)中相對(duì)獨(dú)立的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生分析問題、解決問題能力有較高要求，師生普遍反映難學(xué)難教。產(chǎn)生困難的原因很多，比如題目變化多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，思考過程容易出錯(cuò)，很難找到一個(gè)簡明而又全面的問題歸類方式；解答思路靈活，簡繁不一，答案檢驗(yàn)也不容易；師生僅憑書面交流難以真正了解彼此的想法，更不用說糾正和改正錯(cuò)誤了。該論文在文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，通過對(duì)部分高三學(xué)生的測試與學(xué)生的訪談，意在揭示高中生學(xué)習(xí)排列組合時(shí)的常見認(rèn)知錯(cuò)誤，分析其產(chǎn)生原因，并基于實(shí)證研究，為改進(jìn)排列組合教學(xué)提供具體建議。 本文中，我對(duì)排列組合問題提出了一個(gè)新的分類，先將排列組合問題分為選取模型和分配模型兩

2、大類，再依次分為4個(gè)小類，部分小類中還有進(jìn)一步的劃分。希望通過新的分類，更清晰地梳理問題類型，幫助學(xué)生更容易地找到解決問題的方法。通過對(duì)測試結(jié)果的分析，我將學(xué)生常見的錯(cuò)誤歸為三種類型：題意理解錯(cuò)誤、模式選擇錯(cuò)誤、操作技術(shù)錯(cuò)誤。在這三大類錯(cuò)誤中包含的具體錯(cuò)誤情況共有11種。對(duì)于每種錯(cuò)誤，我都根據(jù)學(xué)生的訪談內(nèi)容、文獻(xiàn)研究等對(duì)學(xué)生的出錯(cuò)原因進(jìn)行了分析。通過訪談，我還發(fā)現(xiàn)，在解決陌生問題、解決限制條件多的問題時(shí)學(xué)生普遍存在困難，而且很多學(xué)生不知道如何自我檢查答案。針對(duì)學(xué)生普遍存在的困難和常見錯(cuò)誤，我的建議是：(1)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)目的；(2)多采用直觀圖示的方法；(3)重視讀題過程，推敲問題特征，列式

3、之后再次讀題，檢查是否有遺漏和重復(fù)；(4)利用學(xué)生錯(cuò)誤，開展有意義的學(xué)習(xí)；(5)適當(dāng)變式，如改換背景和增加限制條件，提高學(xué)生的理解水平；(6)引導(dǎo)學(xué)生用“縮小數(shù)據(jù)”和“一題多解”的方法檢驗(yàn)解法的正確性。關(guān)鍵詞：排列組合，常見錯(cuò)誤，高中生，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 目錄第一章 引言41.1 研究背景41.2 研究問題51.3 研究意義5第二章 文獻(xiàn)綜述62.1 關(guān)于排列組合問題模型62.1.1 選取模型62.1.2 分配模型62.2 課程中的排列組合知識(shí)及其要求62.2.1 課程標(biāo)準(zhǔn)及考綱要求62.2.2 教材要求72.3 關(guān)于排列組合常見錯(cuò)誤類型及其成因82.4 關(guān)于排列組合教學(xué)9第三章 研究的設(shè)計(jì)和實(shí)施10

4、3.1 研究對(duì)象103.2 測試題的設(shè)計(jì)103.2.1 按排列組合模型設(shè)計(jì)103.2.2 測試題設(shè)計(jì)11詳細(xì)見附錄12第四章 研究結(jié)論和建議134.1 主要結(jié)論134.2 教學(xué)建議14第一章 引言 1.1 研究背景 我國普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“計(jì)數(shù)問題是數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象之一，分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計(jì)數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實(shí)際問題提供了思想和工具”?！坝?jì)數(shù)原理”的教學(xué)要求是“通過實(shí)例，總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題”。它要求教師“引導(dǎo)

5、學(xué)生根據(jù)計(jì)數(shù)原理分析、處理問題，而不應(yīng)機(jī)械地套用公式。同時(shí)，在這部分教學(xué)中，應(yīng)避免繁瑣的、技巧性過高的計(jì)數(shù)問題?！?。上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出“計(jì)數(shù)問題，與中學(xué)所討論的其他數(shù)學(xué)問題有不同的特點(diǎn)，要重視對(duì)具體問題的分析，重視數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)”?！芭帕薪M合”的教學(xué)要求是“通過實(shí)例分析，學(xué)習(xí)和掌握乘法原理和加法原理、排列和組合的概念及其計(jì)算，但所涉及的難題情境比較簡單”，“排列、組合問題中的限制條件不超過兩個(gè)；不討論重復(fù)排列問題。解排列和組合的問題，限用常見方法（包括枚舉法）。會(huì)利用計(jì)算器求排列數(shù)和組合數(shù)”。以上是全國課程標(biāo)準(zhǔn)與上海課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)排列組合的課程教學(xué)要求，總的來說，既承認(rèn)這部分內(nèi)容對(duì)提

6、高學(xué)生思維品質(zhì)有幫助，又強(qiáng)調(diào)要嚴(yán)格控制課程難度?！芭帕薪M合”是高中教材中相對(duì)獨(dú)立的一個(gè)章節(jié)，很多學(xué)生（包括教師）覺得它和其他章節(jié)聯(lián)系不大，在高考中所占分值很少，對(duì)其不重視。其實(shí)，當(dāng)今排列組合的應(yīng)用已經(jīng)超越了歷史上的自然數(shù)計(jì)數(shù)范疇，與計(jì)算機(jī)算法結(jié)合，在計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼和密碼學(xué)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。無論是從歷史文化角度看，還是從對(duì)培養(yǎng)人們邏輯思維的影響看，它都有著重要的教育價(jià)值。上海高三年級(jí)的數(shù)學(xué)教材中有介紹排列組合的歷史，中國周代初期（公元前1035公元前879）的周易中有“四象”和“八卦”，宋代科學(xué)家沈括在夢(mèng)溪筆談中討論了圍棋可能擺出的棋局?jǐn)?shù)是“以一為基，三百六十一次三乘之”，意思是“用3連乘

7、361次”，即3613（圍棋每格可有白子、黑子或空格三種可能，棋盤共有361 個(gè)位置），而他也提到計(jì)算數(shù)值太大，無法表達(dá)。當(dāng)今社會(huì)，排列組合也有其重要的應(yīng)用。在生產(chǎn)調(diào)度中，排列組合可用于計(jì)算各種可能的調(diào)度方案的數(shù)目；在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，可用于計(jì)算各種配置方式的數(shù)目；在交通問題中，可用于計(jì)算可能路徑的數(shù)目。而組合數(shù)學(xué)更是涉及計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、心理學(xué)以及基因工程等前沿學(xué)科中的最新應(yīng)用，例如在基因工程中，每組基因密碼都是從四個(gè)堿基：腺嘌呤(A)，烏漂呤(G),胞嘧啶(C)和胸腺嘧啶(T)中可重復(fù)選取三個(gè)進(jìn)行排列而成，而人類疾病的發(fā)生往往就是某些堿基的組合而形成的，所以堿基的組合研究在基因工程研究中

8、是不能缺少的。當(dāng)今高中數(shù)學(xué)課程中的排列組合看似獨(dú)立，其實(shí)，它涉及集合、函數(shù)、方程、數(shù)列、幾何等多個(gè)領(lǐng)域，例如在數(shù)列中，對(duì)原數(shù)列每一項(xiàng)進(jìn)行不同組合都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的數(shù)列，產(chǎn)生新的性質(zhì)；在立體幾何中，可以用排列組合方法來統(tǒng)計(jì)某些立體圖形內(nèi)的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、面數(shù)、異面直線對(duì)數(shù)、正交線面對(duì)數(shù)等等，比直接數(shù)數(shù)要便利，尤其是在很難畫清圖形的情況下；排列組合也為概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)如二項(xiàng)分布、古典概率計(jì)算等提供了必要的基礎(chǔ)。所以，排列組合的學(xué)習(xí)不應(yīng)當(dāng)是孤立的，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)優(yōu)秀生時(shí)應(yīng)當(dāng)重視其在思維訓(xùn)練中的重要價(jià)值。排列組合問題內(nèi)容抽象、類型繁多、解法靈活，所以歷來是教師教學(xué)中比較困難的部分，也是廣大學(xué)生極易犯錯(cuò)，卻很難糾正

9、的一個(gè)學(xué)習(xí)主題?？偨Y(jié)一下，最常被提到的有以下幾個(gè)難點(diǎn)：(1) 從千差萬別的實(shí)際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型，需要較強(qiáng)的抽象思維能力； (2) 限制條件有時(shí)比較隱晦，需要我們對(duì)問題中的關(guān)鍵性詞（特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞）準(zhǔn)確理解；(3) 計(jì)算手段簡單，與舊知識(shí)聯(lián)系少，但選擇正確合理的計(jì)算方案時(shí)需要的思維量較大；(4) 計(jì)算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗(yàn)，要求我們搞清概念、原理，并具有較強(qiáng)的分析能力，采用縮小數(shù)據(jù)和一題多解等方法加以檢驗(yàn)。 基于此，在學(xué)完基本的原理與公式后，更需要學(xué)生自我探究與感悟，達(dá)到真正的理解。同時(shí)，教師也要傾聽學(xué)生的想法，以便及時(shí)了解和幫助學(xué)生學(xué)習(xí)。由此看來，排列組合

10、無論是其歷史淵源、當(dāng)今社會(huì)地位及高中數(shù)學(xué)教育中的作用都是不容小覷的，但教師難教、學(xué)生易錯(cuò)也確實(shí)是我們面臨的難題，對(duì)排列組合學(xué)習(xí)中學(xué)生的錯(cuò)誤及成因研究是很有必要的。1.2 研究問題 鑒于排列組合在高中數(shù)學(xué)及現(xiàn)實(shí)世界中的重要性，以及師生在這一章節(jié)的教與學(xué)均存在一定困難，所以我決定以高三學(xué)生對(duì)排列組合的認(rèn)知錯(cuò)誤為研究主題。具體來說，主要采取問卷測試和訪談的方法，深入了解學(xué)生在解排列組合題時(shí)的常見錯(cuò)誤及主要原因。我主要關(guān)注以下兩個(gè)方面： 1. 高中學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合時(shí)有哪些常見錯(cuò)誤？ 2. 導(dǎo)致高中生發(fā)生錯(cuò)誤的主要原因有哪些？1.3 研究意義 解排列組合綜合題常常需要學(xué)生具備良好的語言理解能力、扎實(shí)的

11、數(shù)學(xué)知識(shí)功底、過硬的計(jì)算能力等，因?yàn)橛?jì)數(shù)結(jié)果龐大，學(xué)生往往無法檢查答案的正確性，思考時(shí)也容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，降低了學(xué)生做題的興趣。這不僅讓很多學(xué)生懼怕排列組合題，也給教師的教學(xué)帶來了很多阻礙。排列組合問題對(duì)學(xué)生分析問題、解決問題能力有較高要求，同一個(gè)答案可以有多種思考途徑到達(dá)，除了結(jié)論的對(duì)錯(cuò)外，很難有其他嚴(yán)格證明的方式去驗(yàn)證。教師自己解答題目不一定有困難，但是要發(fā)現(xiàn)學(xué)生思考中的問題卻是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)。因此，對(duì)排列組合的教和學(xué)生的學(xué)進(jìn)行深入研究并提出改進(jìn)建議是很有必要的。雖然中外文獻(xiàn)中涉及排列組合知識(shí)和教學(xué)的為數(shù)不少，很多期刊論文也分析了學(xué)生常見的錯(cuò)誤，但是國內(nèi)文章很少是基于實(shí)證研究的。本文希望能結(jié)合

12、文獻(xiàn)研究與對(duì)學(xué)生的測試調(diào)查來找出學(xué)生在求解排列組合問題中的常見錯(cuò)誤表現(xiàn)，確認(rèn)、修改和補(bǔ)充已有文獻(xiàn)關(guān)于學(xué)生在排列組合學(xué)習(xí)中的主要困難，讓我們更加了解學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。這是我想要了解的第一方面。 通過測試和訪談的方式了解學(xué)生的真實(shí)想法是什么？到底是什么原因讓學(xué)生出現(xiàn)這些錯(cuò)誤？學(xué)生希望教師做何教學(xué)改進(jìn)？這是我想要了解的第二方面。 最后，在上述研究的基礎(chǔ)上，我將對(duì)本主題的教學(xué)提出具體的有針對(duì)性的建議，以促進(jìn)教師改進(jìn)教學(xué)。第二章 文獻(xiàn)綜述 本章主要從四個(gè)方面著手，第一個(gè)方面是“關(guān)于排列組合問題模型”；第二個(gè)方面是“課程中的排列組合知識(shí)及其要求”；第三個(gè)方面是“常見的錯(cuò)誤類型及其成因”；最后一個(gè)方面是“

13、關(guān)于排列組合教學(xué)”。2.1 關(guān)于排列組合問題模型 由于排列組合問題常常是文字描述相近但卻可能分屬于完全不同的類型，因此教學(xué)中一般都采用分類講模型的辦法，所以，應(yīng)該對(duì)文獻(xiàn)中的問題歸類作一個(gè)梳理。 指導(dǎo)求解排列組合問題的文章較多。常見的排列組合題型歸類主要有以下幾種：特殊元素與特殊位置問題、相鄰問題、相離問題、定序問題、分組分配問題、配對(duì)問題、多排問題（對(duì)象站成多排進(jìn)行排隊(duì)）、環(huán)排問題、相同元素排列問題（參與排列的部分元素完全相同）等等，每種問題都有相應(yīng)的解題策略。這種教法因?yàn)閱栴}之間缺乏聯(lián)系，類型多而且要仔細(xì)地根據(jù)問題的特征來判斷，不容易準(zhǔn)確記憶，學(xué)生普遍感覺難學(xué)。于是課程標(biāo)準(zhǔn)通過限制問題中最多

14、只能出現(xiàn)兩個(gè)約束條件和不討論重復(fù)排列問題的辦法降低課程難度，而上述歸類中的多排問題、環(huán)排問題和相同元素排列問題都不在現(xiàn)行課標(biāo)范圍內(nèi)。 根據(jù)參考的文獻(xiàn)，我將排列組合問題分為兩大類：選取模型和分配模型，再將選取模型分為4個(gè)小類，分配模型分為4個(gè)小類，下面作具體介紹。2.1.1 選取模型選取模型借用了抽樣概念，它是指“從一個(gè)有m個(gè)元素的集合中選取n個(gè)元素”的問題。在選取模型下，分別對(duì)應(yīng)以四種可能性： 從m個(gè)元素中取n個(gè)元素的排列（不放回、元素有序） 從m個(gè)元素中有放回地取n個(gè)元素的排列（放回、元素有序） 從m個(gè)元素中取n個(gè)元素的組合（不放回、元素?zé)o序） 從m個(gè)元素中有放回地取n個(gè)元素的組合（放回、元

15、素?zé)o序）其中是我們熟知的排列定義；是我們熟知的組合定義；是可重復(fù)選擇的題型；超出了高考要求，不要求掌握。2.1.2 分配模型分配模型則是借用映射的概念，它是指“將n個(gè)元素分配進(jìn)m個(gè)容器”。在分配模型下，分別對(duì)應(yīng)以下四種情況：將n個(gè)不同的元素分配進(jìn)m個(gè)不同的容器將n個(gè)不同的元素分配進(jìn)m個(gè)相同的容器將n個(gè)相同的元素分配進(jìn)m個(gè)不同的容器將n個(gè)相同的元素分配進(jìn)m個(gè)相同的容器由于元素的個(gè)數(shù)及元素之間的順序也是需要考察的重要指標(biāo)，因此在原來的劃分基礎(chǔ)上，還需要根據(jù)元素是否平均分配再劃分，再根據(jù)元素之間是否考慮順序更細(xì)致的劃分。2.2 課程中的排列組合知識(shí)及其要求 2.2.1 課程標(biāo)準(zhǔn)及考綱要求 上海市中小

16、學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）和2012年上海高考數(shù)學(xué)考綱中對(duì)排列組合的要求總結(jié)如表2-2表2-2 課程標(biāo)準(zhǔn)和考綱要求學(xué)習(xí)內(nèi)容考綱要求課程標(biāo)準(zhǔn)要求加法原理掌握加法原理學(xué)習(xí)內(nèi)容 考綱要求 課程標(biāo)準(zhǔn)要求 乘法原理 掌握乘法原理 通過實(shí)例分析，學(xué)習(xí)和掌握乘法 原理和加法原理、排列和組合的概念 及其計(jì)算，但所涉及的難題情境比較 簡單。 說明：排列、組合問題中的限制條件不超過兩個(gè)；不討論重復(fù)排列問題。 解排列和組合的問題，限用常見方法（包括枚舉法）。會(huì)利用計(jì)算器求排 列數(shù)和組合數(shù)乘法原理掌握乘法原理排列與排列數(shù)掌握排列的概念及其計(jì)算。會(huì)用常 見方法（包括枚舉法）解排列的問 題。會(huì)利用計(jì)算器求排列數(shù)組合與組合數(shù)

17、掌握組合的概念及其計(jì)算。會(huì)用常見方法（包括枚舉法）解組合的問題。會(huì)利用計(jì)算器求組合數(shù)在上述課程標(biāo)準(zhǔn)和考綱中，都對(duì)兩個(gè)原理和排列組合的概念提出了掌握的要求，都提出要求學(xué)生運(yùn)用常見方法解題，如枚舉法?？梢妼?duì)于學(xué)生的要求是要掌握排列組合的基本原理和方法，不需要在問題情境和限制條件方面給學(xué)生增加太大難度。2.2.2 教材要求在高中數(shù)學(xué)必修教材中，排列組合的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架如下：教材主要介紹了排列和組合的基本概念和計(jì)算公式以及兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。在排列中側(cè)重以例題涵蓋不相鄰問題、相鄰問題和特殊元素優(yōu)先考慮等問題，之后的內(nèi)容側(cè)重在有一個(gè)限制條件的排列組合混合題上。2.3 關(guān)于排列組合常見錯(cuò)誤類型及其成因人的計(jì)數(shù)能力

18、是在不斷發(fā)展的，兒童時(shí)期的計(jì)數(shù)是具體化的，從最初的數(shù)數(shù)到借助一定方法有步驟地計(jì)數(shù)，再到使用排列組合數(shù)計(jì)數(shù)。學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合通常從直觀的“枚舉法”開始，“枚舉”是分析解答數(shù)學(xué)題的一種方法，它是根據(jù)問題的要求，把不重復(fù)的、不遺漏的有限情況一一列舉出來，達(dá)到解答問題的目的。它適用于枚舉數(shù)量不大的計(jì)數(shù)問題，但枚舉過程要求有縝密的思維，否則容易遺漏或重復(fù)。高中生學(xué)習(xí)了排列組合，計(jì)數(shù)能力會(huì)有更大提高，但是也會(huì)有很多主觀與客觀的因素影響他們答題的準(zhǔn)確率。根據(jù)市面上統(tǒng)計(jì)的資料發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的錯(cuò)誤類型有：“對(duì)問題陳述的誤解(改變了問題陳述中的數(shù)學(xué)模型、簡單問題復(fù)雜化、動(dòng)詞意思理解錯(cuò)誤)”、“分不清排列還是組合”、“

19、分不清元素是否可重復(fù)使用”、“混淆對(duì)象異同性”、“相同元素只當(dāng)做一個(gè)元素”、“列舉無系統(tǒng)性”、“憑直覺的錯(cuò)誤解答”、“公式錯(cuò)誤”、“組合數(shù)性質(zhì)錯(cuò)誤”等。但是他們并沒有繼續(xù)就這些錯(cuò)誤的成因作具體分析，他們統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤類型是為了確定影響排列組合問題難度的主要因素。國內(nèi)對(duì)于學(xué)生在排列組合學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤及其成因的研究有很多，但基本是期刊上的短文章，一般會(huì)按問題類型，介紹正確的求解方法，或者羅列學(xué)生的典型錯(cuò)誤，很少通過測試訪談等進(jìn)行實(shí)證研究的。 我認(rèn)為比較重要的論文有胡海霞的影響高中生組合推理的因素和徐娟的高中排列組合的教學(xué)研究與實(shí)踐。胡海霞（2006）基于Batanero的研究，對(duì)國內(nèi)高中生作了類似的測試。

20、通過對(duì)867名學(xué)過和未學(xué)過排列組合知識(shí)的高中生的測試，她將學(xué)生排列組合常見錯(cuò)誤類型歸結(jié)為“與兩個(gè)基本原理和概念有關(guān)的錯(cuò)誤”、“文字或語義理解上的錯(cuò)誤”、“重復(fù)和遺漏”、“關(guān)于公式和計(jì)算的錯(cuò)誤”、“錯(cuò)誤的直觀解答（學(xué)生憑直覺直接作答）”等，但她也沒有做詳細(xì)的錯(cuò)因剖析。徐娟（2006）在2006年對(duì)蘭州市的326位高中生進(jìn)行了測試，其中理科班159人，文科班167人。設(shè)計(jì)了十道問卷調(diào)查題和三道測試題，問卷與測試內(nèi)容囊括了學(xué)生學(xué)習(xí)目的、概念掌握、原理應(yīng)用等方面。其調(diào)查是在學(xué)生剛學(xué)完排列組合后兩周，開始總復(fù)習(xí)時(shí)進(jìn)行的，花時(shí)15分鐘。調(diào)查得到的主要錯(cuò)誤類型有：“對(duì)問題陳述的誤解”、“順序錯(cuò)誤”、“重復(fù)錯(cuò)

21、誤”、“混淆對(duì)象類型(元素異同)”、“混淆單元類型(容器異同)”、“混淆題目類型”和“錯(cuò)誤的直觀解答”等。比較她們兩位對(duì)于錯(cuò)誤類型的總結(jié)，她們都提到了“題意本身的理解錯(cuò)誤” 和“重復(fù)錯(cuò)誤”，這兩種也是相關(guān)的期刊論文常常提到的。我認(rèn)為，“題意本身的理解錯(cuò)誤”其實(shí)是對(duì)于很多錯(cuò)誤的一種涵蓋，還需要進(jìn)一步細(xì)化。對(duì)于重復(fù)錯(cuò)誤，劉明遠(yuǎn)（2009）的排列組合中重復(fù)性錯(cuò)誤的六種表現(xiàn)、歐陽尚昭（2003）的排列組合中幾種常見的“重復(fù)性”錯(cuò)誤、應(yīng)朝偉（1990）的排列組合計(jì)算中的重復(fù)錯(cuò)誤淺析等都對(duì)其做了詳細(xì)的剖析，這是學(xué)生在思考排列組合題時(shí)思維很容易出現(xiàn)的一個(gè)差錯(cuò)。徐娟對(duì)于錯(cuò)誤原因的解釋比較籠統(tǒng)，但是也點(diǎn)出了學(xué)生

22、的錯(cuò)誤有客觀原因，如問題書面陳述的復(fù)雜性，也有主觀原因，如知識(shí)遷移的困難性等。尤其是她提到的最后一點(diǎn)“學(xué)生不能很好地進(jìn)行知識(shí)遷移、類比解題”（第18頁），再次說明排列組合學(xué)習(xí)的困難性，學(xué)生不能靠記憶、套公式的方法解決新的問題，要靠自己的閱讀理解和分析解答。在對(duì)于學(xué)生產(chǎn)生問題的原因解釋中，研究客觀原因，即排列組合知識(shí)特點(diǎn)和 13 問題本身特點(diǎn)的研究較多，而對(duì)于學(xué)生認(rèn)知方面的原因，即思考過程研究較少，這與學(xué)生難以用書面形式表達(dá)清楚自己的思維也有關(guān)。2.4 關(guān)于排列組合教學(xué)徐娟（2006）在其論文中除了對(duì)學(xué)生的排列組合錯(cuò)誤類型做出分析外，還專門針對(duì)教師的教學(xué)做了研究。她對(duì)蘭州市的60位高中教師做了調(diào)

23、查問卷，問卷包含10道題，主要包括排列組合教學(xué)的現(xiàn)狀、教學(xué)中存在的問題、教師教學(xué)的目的以及排列組合教學(xué)的思考等方面。她的調(diào)查結(jié)果是“基本上所有的教師都認(rèn)為排列組合知識(shí)是高中階段的難點(diǎn)，有近40%的教師認(rèn)為教學(xué)的主要任務(wù)是迎接高考的選拔”。而在教師的教學(xué)實(shí)踐中，有以下幾個(gè)問題：(1) 兩個(gè)原理與概念的講解不透徹。教師在講解過程中往往認(rèn)為兩個(gè)原理的理解很容易，交代清楚后便進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練，把重點(diǎn)放在解題方法上。學(xué)生在利用原理時(shí)出現(xiàn)了不會(huì)分類或有重復(fù)或遺漏的情況。在區(qū)分排列與組合問題時(shí)，學(xué)生也出現(xiàn)了問題。(2) 忽視了讀懂題目，導(dǎo)致學(xué)生在求解問題時(shí)，不了解要解決的問題是什么或要達(dá)到什么目的，不知如何下手

24、做題。(3) 忽視了教學(xué)過程中前后知識(shí)聯(lián)系的重要性。有些排列組合問題，如果直接從排列組合的角度著手，很難找到解題方向，可考慮引進(jìn)集合，找到解題的突破口。部分教師可能自身缺乏高水平運(yùn)用知識(shí)的能力。(4) 教師對(duì)學(xué)生解決問題的實(shí)際操作過程了解和重視不夠，導(dǎo)致教師不知道學(xué)生是怎么想的。(5) 題目的相似性與差異性困擾了學(xué)生，學(xué)生不能辨別清楚。教師在教學(xué)中滲透思想方法教學(xué)的不多，知識(shí)零散，難以進(jìn)一步遷移。(6) 教師教學(xué)研究不夠，很多教師認(rèn)為排列組合教學(xué)需要改革，但做過教學(xué)研究的教師很少。這些問題的存在的確會(huì)影響教學(xué)效果，同時(shí)也影響著學(xué)生的思考方式，導(dǎo)致學(xué)生解題錯(cuò)誤。 其他文章基本上都是憑教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

25、得到的成果，采用實(shí)證方法研究教學(xué)的極少。我歸納教師對(duì)于排列組合教學(xué)的主要策略有1、 講清加法原理與乘法原理的聯(lián)系與區(qū)別 加法原理與乘法原理是解排列組合應(yīng)用題的基礎(chǔ)，掌握它們有利于學(xué)生從原理的角度去思考問題。要解決這一問題，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生理解加法原理中的“分類”與乘法原理中的“分步”，尤其讓學(xué)生明白乘法原理中的每一步都是相互獨(dú)立的。此外，應(yīng)該把加法原理和乘法原理的教學(xué)貫穿于整個(gè)章節(jié)。2、指導(dǎo)學(xué)生正確判斷排列與組合問題能判斷一個(gè)問題是排列問題還是組合問題是解決排列組合復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。要引導(dǎo)學(xué)生通過具體的實(shí)例，用比較直觀的方法如框圖與樹狀圖對(duì)問題進(jìn)行分析，相互對(duì)比，使學(xué)生切實(shí)把握排列與組合的概念以及

26、他們的區(qū)別。3、 指導(dǎo)學(xué)生正確選擇分析對(duì)象對(duì)于一個(gè)具體的復(fù)雜問題，要先考慮題中哪些具體對(duì)象應(yīng)看成“元素”，哪些作為“容器”，選對(duì)正確的分析角度。4、 重視解題模型的分析與訓(xùn)練解決排列組合問題必須重視解法的分析和訓(xùn)練，提高學(xué)生的解題能力。主要通過一般與特殊相結(jié)合、分析與判斷相結(jié)合、將復(fù)雜問題簡單化等方面來訓(xùn)練學(xué)生的思維。5、 重視教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透主要是分類思想、特殊化思想、轉(zhuǎn)化思想和對(duì)應(yīng)思想的滲透，促使學(xué)生思想認(rèn)識(shí)發(fā)生“飛躍”，達(dá)到不但“學(xué)會(huì)”，而且“會(huì)學(xué)”的效果。第3章 研究的設(shè)計(jì)和實(shí)施本章主要介紹本研究的對(duì)象、測試題的設(shè)計(jì)以及試卷分析。3.1 研究對(duì)象本研究的測試對(duì)象是我所帶的高三學(xué)生，

27、剛好高二結(jié)束，上完了排列組合章節(jié)，也完成了這個(gè)章節(jié)的復(fù)習(xí)，對(duì)排列組合有一定的認(rèn)識(shí)。 為了更清楚地了解學(xué)生的解題過程，在分析完測試卷后，我就試卷中一些比較特殊的回答和我還不了解的想法向一些位學(xué)生作了個(gè)別訪談。3.2 測試題的設(shè)計(jì)3.2.1 按排列組合模型設(shè)計(jì)在第二章中給出了排列組合的兩個(gè)模型及分類，但是在具體的題目中，還會(huì)有附加的一些限制條件，為了降低難度，課程標(biāo)準(zhǔn)中指出最多只能有兩個(gè)限制條件。因此我把每個(gè)模型的具體分類及添加的條件作了一個(gè)綜合的整理，然后配對(duì)上相應(yīng)的測試題。（1） 選取模型和對(duì)應(yīng)的測試題 注意：選取模型是指“從一個(gè)有m個(gè)不同元素的集合中選取n個(gè)元素（m>n）”的問題。所有

28、元素都不同，而且是部分元素參與。具體分類與測試題對(duì)應(yīng)關(guān)系見表3-1。表3-1 選取模型及相應(yīng)的測試題號(hào) 模型具體分類無限制條件一個(gè)限制條件兩個(gè)限制條件選取模型可重復(fù)無序超綱可重復(fù)有序1（2）無重復(fù)無序2(1)2(3)、7無重復(fù)有序2(2)2（4）“選取模型”中的“可重復(fù)無序樣本”解題過程中涉及到要先考慮“重復(fù)元素的排列”，然后除序，而“重復(fù)元素的排列”對(duì)于學(xué)生來說難度較高，已不屬于高中課程標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容，所以不予考查。對(duì)應(yīng)的具體練習(xí)： 1)可重復(fù)無序型：超綱，不要求 2)可重復(fù)有序型：例：學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，若五名學(xué)生同時(shí)參加這四項(xiàng)比賽，則獲得冠軍的可能有多少種？ 3)無

29、重復(fù)無序型：例：從0,5,11,13中任意抽取兩個(gè)數(shù)相加，問最終一共有多少種不同的和？ 4)無重復(fù)有序型：例：從0,5,11,13中任意抽取兩個(gè)數(shù)相減，問最終一共有多少種不同的差？（2）分配模型和對(duì)應(yīng)的測試題注意：分配模型是指“將m個(gè)元素分配到n個(gè)容器中”。此模型與選取模型的最大區(qū)別是元素全部元素參與以及參與分配的元素可以相同也可以不同，但每個(gè)元素僅被分配一次，所以不存在重復(fù)使用的問題。由于在第二章中談到分配模型的考察要素還有元素的個(gè)數(shù)及是否有順序，因此我在原來的4個(gè)分類的基礎(chǔ)上，增加了是否平均分配，而且被分配的元素同時(shí)還要考慮是否有序。最終一共細(xì)分為11個(gè)小類。（見表3-2）。其中對(duì)于“元素

30、在容器間平均分配”，我特別將“一一對(duì)應(yīng)”模式單獨(dú)列出，主要是其做法比較簡單。當(dāng)元素不同，容器相同時(shí)，“一一對(duì)應(yīng)”方式只有一種情況，故不再討論。當(dāng)元素相同時(shí)，不存在順序問題，且此時(shí)的平均分配都只有一種情況，故也不作討論?！胺峙淠Ｐ汀敝小癿個(gè)相同元素非平均分配到n個(gè)相同容器中”，只需考慮每個(gè)元素分堆時(shí)每堆數(shù)量的可能性，難度較低，也未考查。對(duì)于分配到各個(gè)容器中元素的有序性問題在高中階段的排列組合問題中很少碰到，所以只在E5模型中出一道題，而其他三種有序模型中不再出題。具體分類與測試題對(duì)應(yīng)關(guān)系見表3-2。表3-2分配模型及相應(yīng)的測試題號(hào)模型元素與容器的異同元素在容器間的分配形式容器內(nèi)元素是否有序無條件

31、限制一個(gè)條件限制兩個(gè)條件限制分配模型元素不同容器不同平均分配一個(gè)容器中只有一個(gè)元素/一個(gè)容器中有多個(gè)元素?zé)o序有序非平均分配無序有序元素不同容器相同平均分配無序有序非平均分配無序有序元素相同容器不同 非平均分配元素相同容器相同 非平均分配 對(duì)應(yīng)的具體練習(xí)： 1、元素不同、容器不同、平均分配且符合一一對(duì)應(yīng)： 例：將5個(gè)人分配到5個(gè)不同的工作崗位，問一共有多少種不同的分配方式？ 2、元素不同、容器不同、平均分配、元素?zé)o序 例：將9個(gè)人分配到3所不同的學(xué)校，每個(gè)學(xué)校分配3人，問一共有多少種 不同的分配方式？ 3、元素不同、容器不同、平均分配、元素有序 例：將9個(gè)人分配到3所不同的學(xué)校，每個(gè)學(xué)校分配3人

32、，且被分配到學(xué)校 里的人需要從周一、周三、周五中選擇一天值班，問共有多少種不同的情況？ 4、元素不同、容器不同、非平均分配、元素?zé)o序 例：將5個(gè)人分配到3所不同的學(xué)校，每所學(xué)校至少分配一人，問一共有多 少種不同的分配方式？ 5、元素不同、容器不同、非平均分配、元素有序 例：學(xué)校文藝匯演原本有10個(gè)節(jié)目，現(xiàn)要增加3個(gè)節(jié)目，不能加在第一個(gè)，原 有節(jié)目 順序不變，增加后，節(jié)目安排共有幾種方案？ 6、元素不同、容器相同、平均分配、元素?zé)o序 例：將6本不同的書平均分成三堆，問有多少種不同的分法？ 7、元素不同、容器相同、平均分配、元素有序（不要求） 8、元素不同、容器相同、非平均分配、元素?zé)o序 例：把5

33、本不同的書分成3組，每組至少一本，問有多少種不同的分法？ 9、元素不同、容器相同、非平均分配、元素有序（不要求） 10、元素相同、容器不同 例：現(xiàn)有10個(gè)保送上大學(xué)的名額，分配給7所學(xué)校，每校至少1個(gè)名額，共有 幾種分 配方法？ 11、元素相同、容器相同（不要求）3.2.2 測試題設(shè)計(jì) 詳細(xì)見附錄第四章 研究結(jié)論和建議4.1 主要結(jié)論本研究主要關(guān)注的是高中學(xué)生在解決排列組合問題過程中顯現(xiàn)的困難，根據(jù)平時(shí)教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生所反映出的意見主要提出兩個(gè)研究問題： 1. 高中學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合時(shí)有哪些常見錯(cuò)誤？ 2. 導(dǎo)致高中生發(fā)生錯(cuò)誤的主要原因有哪些？我通過測試分析主要得到如下結(jié)論： 學(xué)生在排列組合

34、中出現(xiàn)的常見錯(cuò)誤類型有 1) 重復(fù)考慮順序出錯(cuò) 例：有4雙不同顏色的鞋子，從中取出2只不成雙的鞋子，問共有幾種取法? 常見錯(cuò)誤答案： 正確答案： 2) 遺忘部分對(duì)象排序 例：將7個(gè)人排成一排，其中甲乙必須站在一起，問共有多少種不同的站法? 常見錯(cuò)誤答案是 正確答案是 3) 無序分配重復(fù)除序 例：將5本書分成3組，其中一組有一本，另外兩組各兩本,問有多少種不同的分法？ 常見錯(cuò)誤答案有 ，正確答案是 4) 增序性重復(fù) 例：將6本書平均分成3組，常見錯(cuò)誤答案有，正確答案是 5) 元素是否可重復(fù)使用不分 例：學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，若五名學(xué)生同時(shí)參加這四 項(xiàng)比賽，則獲得冠軍的可能有

35、多少種？ 常見錯(cuò)誤答案： 正確答案： 6) 誤解題目陳述 7) 元素異同不分 例：將4個(gè)乒乓球分別裝進(jìn)兩個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子中至少裝一個(gè)球，問有多少 種方法？ 常見錯(cuò)誤答案： 正確答案： 8) 計(jì)數(shù)錯(cuò)誤 9) 分類過程中產(chǎn)生遺漏 例：將5本書分成3堆，沒堆至少有一本，問有多少種不同的分法？ 常見錯(cuò)誤答案：，正確答案 10) 同一性重復(fù) 例：從0,5,11,13中任意選取兩個(gè)數(shù)相乘，問最終又多少種不同的結(jié)果？ 常見錯(cuò)誤答案： ，正確答案： 11) 分不清屬于排列還是組合 例：某學(xué)校高二連續(xù)七天內(nèi)要排四門科目的考試，三天休息?，F(xiàn)有物理、化學(xué)、 歷史、 生物四門學(xué)業(yè)水平科目考試各要排一天，若要使

36、三天休息連在一起，則考試安排方法 有幾種？ 常見錯(cuò)誤答案：, 正確答案：這11類錯(cuò)誤中的“元素異同不分”、“元素是否可重復(fù)使用不分”和“誤解題目陳述”都是學(xué)生對(duì)于題目中關(guān)鍵的元素、容器和動(dòng)詞沒有理解到位，這三種類型的平均錯(cuò)誤比例處于中間位置，但涉及題目數(shù)量較多，特別是“元素異同不分”的錯(cuò)誤尤其頑固?！胺诸愡^程中產(chǎn)生遺漏”的錯(cuò)誤也涉及到多到題型，很多學(xué)生對(duì)于一些可以直接總體解決的問題使用基礎(chǔ)的分類方法進(jìn)行討論，而討論過程中涉及多次基本的排列組合運(yùn)算，大大增大了其錯(cuò)誤的比例。與原來文獻(xiàn)中歸類的錯(cuò)誤類型相比，我發(fā)現(xiàn)結(jié)果有一定改動(dòng)。我將“誤解題目中的動(dòng)詞”改為“誤解題目陳述”主要是因?yàn)閷?duì)于題目的誤解包

37、含對(duì)整件事情各方面的讀題錯(cuò)誤；將“插空時(shí)空隙數(shù)數(shù)錯(cuò)”改為“計(jì)數(shù)錯(cuò)誤”，主要是將其涵蓋范圍擴(kuò)大，“計(jì)數(shù)”問題不僅包括空隙數(shù)，也可包括元素?cái)?shù)量等等。文獻(xiàn)中“枚舉不全”問題在測試題中出現(xiàn)比例不高，主要是使用枚舉法的學(xué)生很少，即使在枚舉過程中出現(xiàn)的問題也都是由其他提到的錯(cuò)誤類型涵蓋了；“未考慮特殊情況(元素)出錯(cuò)”在學(xué)生中同樣出現(xiàn)比例很低，即使出現(xiàn)問題主要都是對(duì)限制條件把控不到位，很少有遺漏或?yàn)榭紤]的現(xiàn)象；“分類有交叉性重復(fù)”同樣在學(xué)生中沒有太多表現(xiàn)，即學(xué)生對(duì)于“類”之間的差別基本能分清，反而是“分類過程產(chǎn)生遺漏”更為嚴(yán)重?！板e(cuò)誤選擇分析”在筆者的分析中有談及，但是在統(tǒng)計(jì)時(shí)比例較低，將其不列為常見錯(cuò)誤；“解題方法選用不當(dāng)”涵蓋面太廣，泛泛而談，故舍去。新增“無序分配重復(fù)除序”是在以往文獻(xiàn)中未詳細(xì)談及的錯(cuò)誤類型。 4.2 教學(xué)建議 針對(duì)本研究所得到的主要結(jié)論，我給出以下教學(xué)建議：1. 在學(xué)生剛開始接觸排列組合時(shí)，教師不必急于歸納題型，教給方法，而應(yīng)該 讓學(xué)生更清楚學(xué)習(xí)排列組合是為了解決計(jì)數(shù)問題，并在簡單問題情境下使用樹狀圖或列表法等具體直觀地演示一般的求總數(shù)的方法，分類不重復(fù)、不遺漏。在后期的教學(xué)過程中，也不應(yīng)完全摒棄這些具體的一般的方法，以適應(yīng)學(xué)