第6章幾何變換周第2次課

1、西北工業(yè)大學(xué)西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院機(jī)電學(xué)院 白曉亮二維、三維圖形的幾何變換二維、三維圖形的幾何變換6.1 變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)6.2 二維幾何變換6.3 三維幾何變換6.4 幾何變換小結(jié)2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)3矢量 是一個n元組，對應(yīng)于n維空間的一個點(diǎn)。該點(diǎn)可以代表物體在空間的一個位置，也可以代表其運(yùn)動狀態(tài)。2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)4TzyxuuuUTzyxvvvV矢量的長度 單位矢量 長度為1的矢量矢量間的夾角VUVUcos2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)5222zyxuuuUUUVUUVUUUU)(cos矢量運(yùn)算 矢量和 數(shù)量的數(shù)乘 矢量的點(diǎn)乘 矢量

2、的叉乘zyxkukukuUkzzyyxxvuvuvuVU2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)6zzyyxxvuvuvuVUUVVUVUVU000UUUzyxzyxvvvuuukjiVUUVVU 矩陣 m行n列矩陣A 方陣 m = n 零矩陣 元素全為0的矩陣 行向量與列向量mnmmnnaaaaaaaaaA2122221112112022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)7矩陣的加法 滿足結(jié)合率和交換率mnmnmmmmnnnnnmijijbabababababababababaBA221122222221211112121111)(2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)8矩陣的數(shù)乘 標(biāo)

3、量乘矩陣的每個元素 mnmmnnnmijkakakakakakakakakakakA212222111211)(2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)9矩陣的乘法 滿足結(jié)合律和分配律 nlljilijpnnmpmijbacBAcC1)(元素：2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)10單位矩陣 主對角線元素為1的矩陣2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)11100010001nInmnmnnmnnmAAIAIA矩陣的轉(zhuǎn)置 矩陣的行列互換 mnnnmmTaaaaaaaaaA212221212111TTTTTTTTTTABBAkAkABABAAA)().4()().3()().2()()

4、.1 (2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)12矩陣的逆：若AB=BA=I,B=A-1 矩陣A可逆的充分必要條件是A為非奇異矩陣（行列式不為0）。AB互為逆矩陣2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)1310001000111125323231343122321BA11125323231,343122321BA10001000134312232111125323231AB齊次坐標(biāo) 由n+1維向量表示一個n維向量 二維平面的點(diǎn)：P(x,y)含2個分量，唯一性 齊次坐標(biāo)表示： P(wx,wy,w)含3個分量， w不為0，表示不唯一。2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)14(x,y)x

5、y(w1x, w1y, w1) 和(w2x, w2y, w2)表示同一個點(diǎn)(x, y )例如：點(diǎn)（3,2）可以用（12,8,4）或（6,4,2）表示一般，w取為1。為什么要使用齊次坐標(biāo)？ 1. 將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來表示。提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間上的一個點(diǎn)從一個坐標(biāo)系變換到另一坐標(biāo)系的有效方法。 2. 便于表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 例如：（xh, yh, h)，令h等于0 3. 齊次坐標(biāo)變換矩陣形式把直線變換成直線段，平面變換成平面，多邊形變換成多邊形，多面體變換成多面體。 4. 變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點(diǎn) 便于變換合成 便于硬件實(shí)現(xiàn)2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)15圖

6、形變換是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容之一。 幾何變換，投影變換，視窗變換 線性變換，屬性不變，拓?fù)潢P(guān)系不變。作用： 把用戶坐標(biāo)系與設(shè)備坐標(biāo)系聯(lián)系起來； 可由簡單圖形生成復(fù)雜圖形； 可用二維圖形表示三維形體； 動態(tài)顯示。2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)16二維圖形顯示流程2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)17圖形的幾何變換 圖形變換 對圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形。 圖形變換的兩種形式 1.圖形不變，坐標(biāo)系改變； 2.圖形改變，坐標(biāo)系不變。 我們所討論的是針對坐標(biāo)系的改變而講的。2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)18設(shè)變換前坐標(biāo)為(x,y,1)T,變換后為(x*,y

7、*,1)T 二維變換矩陣注意：T2D可看作三個行向量，其中 1 0 0：表示x 軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 0 1 0：表示y 軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 0 0 1：表示原點(diǎn) ifchebgdaTD22022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)1911*yxifchebgdayx變換矩陣元素的功能2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)20smlqdcpbaTx平移分量y平移分量a: x比例因子d: y比例因子s:總比例因子a、b、c、d 旋轉(zhuǎn)變換a、b、c、d 剪切變換a、b、c、d 對稱變換平移變換2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)21平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀TyxyxTTTyT

8、xTTyxyx1101000111*比例變換 以坐標(biāo)原點(diǎn)為放縮參照點(diǎn) 當(dāng)Sx=Sy=1時：恒等比例變換 當(dāng)Sx=Sy1時：沿x,y方向等比例放大。 當(dāng)Sx=Sy1時：沿x,y方向等比例縮小 當(dāng)SxSy時：沿x,y方向作非均勻比例變換，圖形變形。2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)221100000011*ySxSSSyxyxxxyxTT對稱變換 當(dāng)b=d=0,a=-1,e=1時，(x*,y*,1)T=(-x,y,1)T與y軸對稱 當(dāng)b=d=0,a=1,e=-1時，(x*,y*,1)T=(x,y,1)T與x軸對稱 當(dāng)b=d=0,a=e=-1時， (x*,y*,1)T=(-x -y 1)T與

9、原點(diǎn)對稱 當(dāng)b=d=1,a=e=0時， (x*,y*,1)T=(y,x,1)T與y=x對稱。 當(dāng)b=d=-1,a=e=0時， (x*,y*,1)T=(-y,-x,1)T與y=-x對稱2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)2311000011*eydxbyaxebdayxyxTT旋轉(zhuǎn)變換2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)24(x,y)(x,y)sincosyxcossinsinsincoscosyxyyxx1cossinsincos1000cossin0sincos11*yxyxyxyxTT剪切變換2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)25PTP沿x軸方向關(guān)于y的剪切100010

10、01tgTyyytgxx沿y軸方向關(guān)于x的剪切10001001tgTxtgyyxx偏移量偏移量復(fù)合變換 應(yīng)用：單一變換不能滿足變換要求，需要多個矩陣相乘。典型： 繞空間任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 關(guān)于參考點(diǎn)的比例變換2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)26繞二維空間任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)27分析：繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的矩陣已知，不能直接使用！任一點(diǎn)變成原點(diǎn)？原點(diǎn)變回到任一點(diǎn)？10100011AAyxT10100013AAyxT1000cossin0sincos2T321TTTT三維其次坐標(biāo) (x,y,z)T點(diǎn)對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為 標(biāo)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)(x,y,z,1)右手坐標(biāo)系 2022-2-2

11、7計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)28),(hzyxhhh0,hhzzhyyhxxhhh變換矩陣元素的功能2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)29射影變換總比例平移變換比例、旋轉(zhuǎn)、剪切、對稱) 1 ,(zyxP三維空間的點(diǎn)：snmlrihgqfedpcbaT齊次變換矩陣TPP平移變換1010000100001zyxTTT2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)30比例變換1000000000000zyxSSS2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)31對稱變換 相對xy平面對稱變換 2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)321000010000100001Tzzyyxx對稱變換 相對xz

12、平面對稱變換 2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)331000010000100001Tzzyyxx對稱變換 相對yz平面對稱變換 2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)341000010000100001Tzzyyxx剪切變換 b、c、d、f、g、h2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)351000010101hgfdcbTfycxzzhzbxyygzdyxx繞任意軸旋轉(zhuǎn)-繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn) 繞z軸旋轉(zhuǎn)- x-y平面繞原點(diǎn)的公式 2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)361000010000cossin00sincosTzzyxyyxxcossinsincosTPP繞y軸旋轉(zhuǎn)：y

13、值不變2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)3710000cos0sin00100sin0cosTsincoscossinxzzyyxzx繞x軸旋轉(zhuǎn)：x值不變2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)3810000cossin00sincos00001Tcossinsincoszyzzyyxx繞空間任意軸(AB)旋轉(zhuǎn)2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)391010000100001AAAAzyxT原點(diǎn)到A點(diǎn)坐標(biāo)系平移：1BBAxzyzxyAB軸變成坐標(biāo)軸繞x軸旋轉(zhuǎn) ABAB2:2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)4010000cossin00sincos00001xR22sin

14、coscbvvbvc1BBAxzyzxy2BA3Bbcav繞y軸旋轉(zhuǎn) AB2AB42022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)41B4B2BAxzyzxy3B10000)cos(0)sin(00100)sin(0)cos(yR22sincosvassasvsvbcas為AB軸繞z軸旋轉(zhuǎn)2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)42B4B2BAxzyzxy3Bsvbca1000010000cossin00sincoszR旋轉(zhuǎn)軸=z軸 逆變換：旋轉(zhuǎn)軸回到AB:2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)4310000cos0sin00100sin0cos1yR10000)cos()sin(00)sin()cos(000011xR10100001000011AAAAzyxT繞空間任意軸(AB)旋轉(zhuǎn)矩陣2022-2-27計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)44111AxyzyxAABTRRRRRTTBAzxy幾何變換：幾何變換： 對圖形的點(diǎn)進(jìn)行變換，將變換矩陣作用于圖形的點(diǎn)對圖形的點(diǎn)進(jìn)行變換，將變換矩陣作用于圖形的點(diǎn)