202X年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.2.3空間的角的計(jì)算課件7蘇教版選修2_1

1、.3利用向量解決 空間角問(wèn)題 空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問(wèn)題提供了一種重要的工具和方法，解題何問(wèn)題提供了一種重要的工具和方法，解題時(shí)，可用定量的計(jì)算代替定性的分析，從而時(shí)，可用定量的計(jì)算代替定性的分析，從而防止了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距防止了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距離是立體幾何的一類(lèi)重要的問(wèn)題，也是高考離是立體幾何的一類(lèi)重要的問(wèn)題，也是高考的熱點(diǎn)之一。本節(jié)課主要是討論怎么樣用向的熱點(diǎn)之一。本節(jié)課主要是討論怎么樣用向量的方法解決空間角問(wèn)題。量的方法解決空間角問(wèn)題。123( ,)aa a a1.若，123( ,),bb b b則：數(shù)量積：

2、 a b 1 1223 3aba ba b夾角公式： cosa b 111222( ,), (,)A x y zB xyz2.若，則：212121(,)xx yy zzAB | |a bab 1 12 23 3222222123123aba ba baaabbb| | cos,aba b異面直線所成角的范圍： 0,2ABCD1D,CD AB 與 的關(guān)系？思考：思考：,DC AB 與 的關(guān)系？結(jié)論：結(jié)論：coscos,CD AB |題型一：線線角題型一：線線角11111111111113.1 17,.ABCDABC DEFAB C DBEDF例如圖在正方形中分別是的一個(gè)四等分點(diǎn) 求與所成角的余弦

3、值.,.余弦值余弦值進(jìn)而求出它們所成角的進(jìn)而求出它們所成角的它們的數(shù)量積與模它們的數(shù)量積與模計(jì)算出計(jì)算出的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示我們可以通過(guò)我們可以通過(guò)此此因因所成的角所成的角與與就是就是所成的角所成的角與與分析分析111111DFBEDFBEDFBEABCD1D1C1B1A1F1EOxyz1713 .圖圖題型一：線線角題型一：線線角ABCD1D1C1B1A1F1EOxyz1713 .圖圖則系基底建立空間直角坐標(biāo)為單位正交分別以正方體的棱長(zhǎng)為不妨設(shè)如圖解,.OxyzDDDCDA111713 , 1410000143101111FDEB , 141001114311BE所以 , 1410000141

4、01DF , 141000014101DFABCD1D1C1B1A1F1EOxyz1713 .圖圖4171 | DF4171 | BE.16151141410011 DFBE.|,cos17154174171615111111 DFBEDFBEDFBE所以.,171511所成角的余弦值是與因此DFBE探究1：090 ,Rt ABCBCAABC中，現(xiàn)將沿著111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中點(diǎn)、 ，11BDAF求與所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 如下圖，設(shè) 那么： CxyzA1AB1BC

5、1C1D1Fxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD 113041053421BD1AF所以 與 所成角的余弦值為3010練習(xí)： 在長(zhǎng)方體 中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 為上的一點(diǎn),且1NAD點(diǎn) 在線段上，1.ADAN1.ADAM(1)求證：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM 1(0,8, 4),AD 10AM AD 1.A

6、DAM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M直線與平面所成角的范圍：直線與平面所成角的范圍： 0,2ABO, n BA 與 的關(guān)系？思考：思考：n結(jié)論：結(jié)論：sincos, n AB |題型二：線面角題型二：線面角直線直線AB與平面與平面所成的角所成的角可可看成是向量與平面看成是向量與平面的法向量所成的銳角的法向量所成的銳角的余角，所以有的余角，所以有 nABnABnAB,cossinA1B1D1C1ABCDE1F11111111111214BC DDCD EDCE FD AC11例 ：在正方體ABCD-A中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E 在上，且，試求直線與平面所成角的大小。探究二：

7、題型二：線面角題型二：線面角在長(zhǎng)方體 中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 112,MBCB M 為上的一點(diǎn),且1NAD點(diǎn) 在線段上，1.ADAN1.ADAM(1)求證：1BABCD1A1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD 1(0,8, 4),AD ADANM（2）求與平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,AD AD 2 55ADANM與平面所成角的正弦值是2 55練習(xí)： 1111ABCDABC D的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為1.111.B CAB C求與 面所 成 的 角題型二：線面角題型二：線面角正方體正方體ABCD1A1B1C1D

8、題型三：二面角題型三：二面角二面角的范圍：0, 1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO關(guān)鍵：觀察二面角的范圍關(guān)鍵：觀察二面角的范圍111111ABCDABC DABDC D例3：在正方體中，求二面角的大小ED1C1A1B1ABCD1111111114,123E FABCDABC DBCCDADEFAFB EBCD BB例 ：已知分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，求：（）與所成角的大?。?）與平面所成角的大小（ ）二面角的大小D1C1A1B1ABCDEF題型三：二面角題型三：二面角,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0探究三: 如所示，A

9、BC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面與面所成二面角的余弦值A(chǔ)BCDS,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示， ABCD 是一直角梯形， ABC=90S平面求面與面所成二面角的余弦值A(chǔ)BCDSxyz解： 建立空直角坐系A(chǔ)-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0,1)22CDSD C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量設(shè)平面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126

10、cos,3|n nn nnn 63即所求二面角得余弦值是立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例四：例四：ABC為正三角形，為正三角形，EC平面平面ABC,且且EC,DB在平面在平面ABC同側(cè)，同側(cè)，CE=CA=2BD.求證：求證： 平面平面ADE平面平面ACE.怎樣建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系？怎樣建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系？怎樣證明平面怎樣證明平面ADE平面平面ACE？如何求平面如何求平面ADE、平面平面ACE的法向量？的法向量？一個(gè)平面的法向量有多少個(gè)？一個(gè)平面的法向量有多少個(gè)？能否設(shè)平面能否設(shè)平面ADE的法向量為的法向量為n n=(1,y,z)?這樣做有什么好處？這樣做有什么好

11、處？解：分別以解：分別以CB，CE所在直線為所在直線為y,z軸，軸，C為原點(diǎn)建立空為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系間直角坐標(biāo)系C-xyz,如右以下圖如右以下圖,設(shè)正三角形設(shè)正三角形ABC邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為2那么那么C(0,0,0)、E(0,0,2)、D(0,2,1)、B(0,2,0)、A( 31 0)， ，設(shè)設(shè)N為為AC中點(diǎn)，那么中點(diǎn)，那么N 連接連接BN，ABC為正三角形，為正三角形，BNAC，EC平面平面ABC, BNEC,又又ACEC=C, BN 平面平面ACE.因此可取向量因此可取向量 為平面為平面ACE的法向量的法向量.那么那么BN 設(shè)平面設(shè)平面ADE的法向量為的法向量為n=(1,y,z),那么那

12、么33BN(,0).22 n nn nEA0DA0 3 1(0)22， EA ( 312)DA ( 3 1 1)(1 y z312) 0 (1 y z) ( 3 1 1) 032 3y=z33 而， ， ， ，, )( ， ， ， ，n=n=3 2 31)33( ， n n3 2 33333BN(1) (0)0332222，-，平面平面DEA平面平面ACE.為了方便計(jì)算，能否取平面為了方便計(jì)算，能否取平面ACE的法向量為的法向量為( 33 0)ADE(33 2 3)?， ，、平面的法向量為 ， ，通過(guò)上例，你能說(shuō)出用坐標(biāo)法解決立體幾通過(guò)上例，你能說(shuō)出用坐標(biāo)法解決立體幾何中問(wèn)題的一般步驟嗎？何中問(wèn)題的一般步驟嗎？步驟如下：步驟如下：1.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系