202X年高中數學第二章變化率與導數2.5簡單復合函數的求導法則課件1北師大版選修2_2

1、簡單復合函數的求導法那么*知識回憶函數導函數xey axyln11xyxycos是常數）ccy(xy1xey xycosaayxlnxy2sin1xyln為實數）(xy xytan0 yxysinxysin(0,1)xyaaaxycotlog(0,1)xyaaaxy2cos11、導數公式表*2.導數的四那么運算法那么：設函數 u(x)、v(x) 是 x 的可導函數,那么 1)( ( )( )( )( )u xv xu xv x2)( ( )( )( ) ( )( ) ( )u xv xu x v xu x v x推論：c f(x) = c f(x)2( )( ) ( )( ) ( )3)( )

2、( )u xu x v xu x v xv xvx*22111.(),yx xyxx求 ；2.sincos,22xxyxy求 ；3.cos(),yxxy求 ；14.,sinyyx求；課前練習：2212yxx11cos2yx cossin2xyxxxx2cossinxyx *引例引例 一艘油輪發(fā)生泄漏事故，泄出的原油在海面上形一艘油輪發(fā)生泄漏事故，泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜，其面積成一個圓形油膜，其面積 是半徑是半徑 的函數：的函數：Sr 油膜半徑油膜半徑 隨著時間隨著時間 的增加而擴大，其函數關的增加而擴大，其函數關系為：系為：tr2)(rrfS12)(ttr 問：（問：（1）油膜面積

3、）油膜面積 關于時間關于時間 函數關系式函數關系式 （2）該函數關系式有何特點）該函數關系式有何特點St1.復合函數的概念:( ),( ),( )( )( )yfxuxyf uuuxxyfx對 于 函 數令若是 中 間 變 量 的 函 數 ，是 自 變 量 的 函 數 ， 則 稱是復自 變 量 x的合 函 數 .講授新課：*注意：1、復合函數是y關于的x函數，自變量是x，而非中間變量u；2、y yf f( (u u) )叫作外層函數，叫作外層函數， u u = = ( (x x) )叫作內層函數叫作內層函數.指出以下函數是怎樣復合而成：2(1)sin2(2)31(3)cos(sin )(4)(

4、)1(5)sin(1).nmyxyxxyxyabxyx； ； ；練習練習1sin ,2yuux2,31yuuxx,.mnyuuabxcos ,sinyuux1sin ,1yuux *.復合而成與由2uy 23 xu其實， 是一個復合函數，2) 23 ( xy問題：的導數？如何求2)23(xyyxy2(32) x24129xx1218 x;xu3uyu2分析三個函數解析式以及導數 之間的關系:,xxuyuyxuxuyyy 定理定理 設函數設函數 y = f (u)， u = (x) 均可導均可導，那么復合函數那么復合函數 y = f ( (x) 也可導也可導.且且( )( )xyf ux，xux

5、uyy 或或復合函數的求導法那么復合函數的求導法那么即：因變量對自變量求導即：因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量等于因變量對中間變量求導求導,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導. ( 鏈式法那么鏈式法那么 )證證設變量設變量 x 有增量有增量 x，由于由于 u 可導，可導， 相應地變量相應地變量 u 有有增量增量 u，從而從而 y 有增量有增量 y. ?xxuxu 0lim xuuyxyxx00limlimxuuyxx 00limlimuuyuy 0lim，xuxuuyxuuy 00limlim.xuxuyy 求復合函數的導數應處理好以下環(huán)節(jié)：求復合函數的導數應處理好以下環(huán)

6、節(jié)：(1)合理選定中間變量合理選定中間變量(中間變量的選擇應是根本函數構中間變量的選擇應是根本函數構造造)；(2)正確分析函數的復合關系；正確分析函數的復合關系； (3)從最外層開場，由外及里，一層層地求導；明確求從最外層開場，由外及里，一層層地求導；明確求導過程中每次是哪個變量相對于哪個變量求導；導過程中每次是哪個變量相對于哪個變量求導；(4)善于把一局部表達式作為一個整體；善于把一局部表達式作為一個整體；(5)最后要把中間變量換成自變量的函數最后要把中間變量換成自變量的函數例例1：求：求xy2sin的導數的導數分析：分析：解解1：(sin 2)(2 sinc o s)yxxxx )sins

7、incos(cos2xxxx解解2：xy2sin可由y=sinu,u=2x復合而成2,cosxuuuyxuuyxy=2cos2xxuxuuy2cos2cos2.x2cos2xxxx2cos)2(sincos)(sin?練習練習2 2設設 y = (2x + + 1 1)5，求，求 y .解解把把 2x + + 1 看成中間變量看成中間變量 u，y = u5，u = 2x + + 1復合而成，復合而成，,5)(45uuyu . 2)12( xux所以所以.)12(102544 xuuyyxux將將 y = (2x + + 1)5 看成是由看成是由由于由于例例2設設 y = sin2 x，求，求

8、y .解解這個函數可以看成是這個函數可以看成是 y = sin x sin x, 可利可利用乘法的導數公式，用乘法的導數公式，將將 y = sin2 x 看成是由看成是由 y = u2，u = sin x 復合而成復合而成. 而而,2)(2uuyu .cos)(sinxxux 所以所以.cossin2cos2xxxuuyyxux 這里，這里， 我們用復合函數求導法我們用復合函數求導法.求求 y .,12xy 設設解解將中間變量將中間變量 u = 1 - - x2 記在腦子中記在腦子中.211() .22 (1)uyuux 也也在在心心中中運運算算這樣可以直接寫出下式這樣可以直接寫出下式221(

9、1)2 (1)xxyxx .12xx 例例 3練習練習3 3：設設 f (x) = sinx2 ，求，求 f (x).解解22( )cos()xfxxx 22 cosxx 求復合函數導數的步驟：求復合函數導數的步驟： 確定中間變量，明確函數關系確定中間變量，明確函數關系yf(u)， u = (x) ； 分步求導，先求分步求導，先求f(u)，再求，再求 (x) 計算計算f(u) (x)，并把中間變量轉化為自變量的函，并把中間變量轉化為自變量的函 數數 整個過程可簡記為整個過程可簡記為“分解分解求導求導回代三個步驟回代三個步驟作 業(yè)課本P51頁習題2-5第1,2題【解析】103311(25 )(2)sinsin1yxyxxx求下列函數的導數（）例解：(2)y=(sin3x+sinx3)=(sin3x)+(sinx