直線和圓錐曲線常見題型常見題型詳細(xì)解析

1、直線和圓錐曲線常見題型常見題型詳細(xì)解析 直線和圓錐曲線經(jīng)?？疾榈囊恍╊}型解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是：（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存，（2）聯(lián)立直線和曲線的方程組；（3）討論類一元二次方程（4）一元二次方程的判別式（5）韋達(dá)定理，同類坐標(biāo)變換（6）同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換（7）x,y，k（斜率）的取值范圍（8）目標(biāo)：弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，垂直，角度，向量，面積，范圍等等 運(yùn)用的知識(shí)：i、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：x ' i 2 2，y yi 22，其中 X，y是點(diǎn) A（Xi,yi）, B（X2, y?）的中點(diǎn)坐標(biāo)。2、弦長(zhǎng)公式：若點(diǎn)A(xi, yi)，B(X2,y2)在直線 y kx b(k 0)

2、上,則 yikxi b, y2kx2 b，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一,AB J(Xi X2)2 (% y2)2.(XiX2)2 (kxikx2)2(i k2)(xi X2)2Ji k2)(xi或者AB.(為 X2)2 (yi y2)2X2)2(yiy2)2.(ilk，2)(yiy2)2i(ikKyiy2)24yiy2 o3、兩條直線 li: y kix bj2 ： y兩條直線垂直，則直線所在的向量vv24、韋達(dá)定理：若一元二次方程ax2bx c0（a0）有兩個(gè)不同的根X, X2，貝U XiX2b-,XiX2a常見的一些題型：題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系2例題i

3、、已知直線l : y kx i與橢圓C：42i始終有交點(diǎn)，求mm的取值范圍思路點(diǎn)撥：直線方程的特點(diǎn)是過定點(diǎn) （0, 1）,橢圓的特點(diǎn)是過定點(diǎn) （-2,0）和（2, 0）,和動(dòng)點(diǎn)（0,2 2解:根據(jù)直線l : y kx i的方程可知，直線恒過定點(diǎn)（0, i），橢圓C：- 人 i過動(dòng)點(diǎn)（0,4 m22_如果直線l: y kx i和橢圓C : - i始終有交點(diǎn)，則'一 mi,且m 4，即im且m4m規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點(diǎn):l: y kx 1 過定點(diǎn)(0,l: y k(x 1)過定點(diǎn)(1, 0)l : y 2 k(x 1)過定點(diǎn)(1, 2)證明直線過定點(diǎn)，也是將滿足條

4、件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結(jié)論。練習(xí)：1、過點(diǎn)P(3,2)和拋物線y x2 3x 2只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()條。A . 4 B. 3 C. 2 D. 1題型二：弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對(duì)稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪個(gè)是對(duì)稱軸，用到的知識(shí)是：垂直(兩直線的斜率之積為 -1 )和平分(中點(diǎn)坐標(biāo)公式)。例題2、過點(diǎn)T(-1,0)作直線I與曲線N :寸 x交于a、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn) E(x0,0)，使得 ABE 是等邊三角形，若存在，求出X。；若不存在，請(qǐng)說明理由。分析：過點(diǎn)T(-1,0)的直線和曲線 N: y2 x相交A、B兩點(diǎn)，則直線的斜率存在

5、且不等于0，可以設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運(yùn)用韋達(dá)定理，得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由垂直和中點(diǎn)， 寫出垂直平分線的方程，得出E點(diǎn)坐標(biāo)，最后由正三角形的性質(zhì)：中線長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的 二3倍。運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)。2解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線i：yA(X1, yj ,B(X2, y2)。k(x1)消y整理，得k2x2(2k21)x k2由直線和拋物線交于兩點(diǎn),(2 k21)2 4k44k2即0 k2由韋達(dá)定理，得:X22k2 12, NX?k則線段AB的中點(diǎn)為(2k212k2線段的垂直平分線方程為:2k直線和圓錐曲線常見題型常見題型詳細(xì)解析令y=0,得x01

6、1 11則 E( 2,0)2k2 22k2 2E(12k2132，0)到直線AB的距離d為FABAB J(X1 x2)(yi y2)2ABE為正三角形,1 k21 k22 kVlk2 d2廠、3、1 4k22k2解得k滿足式13此時(shí)X)思維規(guī)律:5。3直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率k,利用韋達(dá)定理法，將弦的中點(diǎn)用k表示出來，再利用垂直關(guān)系將弦的垂匕倍，將k確定，進(jìn)而求出2直平分線方程寫出來，求出了橫截距的坐標(biāo)；再利用正三角形的性質(zhì)：高是邊長(zhǎng)的x0的坐標(biāo)。2例題3、已知橢圓X y2 1的左焦點(diǎn)為F，0為坐標(biāo)原點(diǎn)。2(I)求過點(diǎn) O F,并且與x2相切的圓的方程；(H)設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓

7、于A B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G求點(diǎn)G橫分析：第一問求圓的方程，運(yùn)用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上，圓心到切線的距離等于圓心到定點(diǎn)的距離；第二問，過定點(diǎn)的弦的垂直平分線如果和x軸相交，則弦的斜率存在，且不等于 0，設(shè)出弦AB所在的直線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理求出弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由弦AB的方程求出中點(diǎn)的總坐標(biāo)，再有弦 AB的斜率，得到線段AB的垂直平分線的方程，就可以得到點(diǎn) G的坐標(biāo)?！?2 2解：(I)/ a =2, b=1,. c=1 , F(-1 , 0), l:x=-2.1圓過點(diǎn) O F, 圓心M在直線x=- 上21 13設(shè) M(- ,t)，則圓半徑：r=|(- _)-(-2

8、)|=2 22ol13由 |OM|=r，得.()2 t2,解得 t= ±2， 2 21 2J 2 9所求圓的方程為(X+丄)+(y 土2)=-.2 4(II)由題意可知，直線 AB的斜率存在，且不等于0,設(shè)直線 AB的方程為y=k(x+1)(k豐0),2代入+y2=1，整理得22 2 2 2(1+2k )x +4k x+2k -2=0直線AB過橢圓的左焦點(diǎn) F, 方程一定有兩個(gè)不等實(shí)根，y2) , AB 中點(diǎn) N(xo, yo),設(shè) A(X1, y1), B(X2,貝 y X1+X1=-2k2X0i(X1X2)2k22k2 1yo k(xo1)k2k21 AB垂直平分線1 (y yo

9、(xkNG的方程為Xo)令y=0,得XcXo kyo2k22k2 1k22k2 11_2 4k2 21 k 0,xc 0.2 c一 1點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為(,0 )。2技巧提示：直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率 k,利用韋達(dá)定理，將弦的中點(diǎn)用k表示出來，韋達(dá)定理就是同類坐標(biāo)變換的技巧，是解析幾何中解決直線和圓錐曲線問題的兩大技巧之第一個(gè)技巧。再利用垂直關(guān)系將弦 AB的垂直平分線方程寫出來，就求出了橫截距的坐標(biāo)(關(guān)于k的函數(shù))。直線和圓錐曲線中參數(shù)的范圍問題，就是函數(shù)的值域問題。練習(xí)1：已知橢圓C :2x2aV31b21(a b 0)過點(diǎn)(1,2)，且離心率e 2。(I)求橢圓方程;1(n)若直線l :

10、 v kx m(k 0)與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M、N，且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn) G(- ,0),8求k的取值范圍。J'VL/"aV /|-NX |3分析：第一問中已知橢圓的離心率，可以得到a,b的關(guān)系式，再根據(jù)“過點(diǎn)(1 -) ”得到a b的第2個(gè)關(guān)系式,'2 'k,m的不等式，再根據(jù)韋達(dá)定理,解方程組，就可以解出 a,b的值，確定橢圓方程。第二問，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過判別式得出得出弦MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，禾U用弦的直線方程, 線的斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為1得到中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和定點(diǎn)G(,0)，得垂直平分

11、8-1，可得k,m的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范圍。解：(I) 離心率eb22a-，即 4b2 3a2 (1)；43又橢圓過點(diǎn)(1 -)，則，294 b2(1)2 222X V式代入上式，解得a 4 , b 3，橢圓方程為 一43(n)設(shè) M (知 VJ, N(X2, V2)，弦 MN的中點(diǎn) A(X0, V0),y kx m+2 22由22得：(3 4k2)x28mkx 4m2120,3x2 4y212直線l: y kx m(k 0)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，2 2 2 2 2 264m k 4(3 4k )(4 m12) 0，即 m 4k 3 (1)由韋達(dá)定理得：x1 x2

12、8mk3 4k2公必24m2 1223 4 k2則Xo4mk4k2,yokx0 m4mk23 4k23m3 4k2直線AG的斜率為：Kag3m3 4k224m4mk 1 32mk 3 4k23 4k28由直線AG和直線MN垂直可得：24m32mk 34k2*k3 4k28k，代入(1)式，可得(亠8k2 24k 3，即 k220，則k1010老師支招：如果只說一條直線和橢圓相交，沒有說直線過點(diǎn)或沒給出直線的斜率，就直接設(shè)直線的方程為:y kx m，再和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，就能找到解決問題的門路。本題解決過程中運(yùn)用了兩大解題 技巧：與韋達(dá)定理有關(guān)的同類坐標(biāo)變換技巧，與點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)有關(guān)

13、的同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換技巧。解決直線和圓錐 曲線的問題的關(guān)鍵就是充分、靈活的運(yùn)用這兩大解題技巧。X y2練習(xí)2、設(shè)F1、F2分別是橢圓 一 1的左右焦點(diǎn).是否存在過點(diǎn) A( 5,0)的直線I與橢圓交于不同的兩點(diǎn) C、54D，使得|F2C| |F2D ?若存在，求直線I的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.分析：由|F2c IF2D得，點(diǎn)C、D關(guān)于過F2由直線l過的定點(diǎn)A(5,0)不在X2-y21的54直線I的方程為：y k(x 5)，聯(lián)立方程次方程，根據(jù)判別式，得出斜率k的取值范理得弦CD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，由點(diǎn) M和點(diǎn)1斜率為 ，解出k值，看是否在判別式的k解：假設(shè)存在直線滿足題意，由題意知，過A的直線的斜

14、率存在，且不等于。設(shè)直線的直線對(duì)稱，內(nèi)部，可以設(shè) 組，得一元二圍，由韋達(dá)定F1的坐標(biāo)，得取值范圍內(nèi)。l的方程為：y k(x 5),(k 0) , C(X1,yJ、Dgy), CD 的中點(diǎn) M(x°,y0)。y k(x 5)2222又直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，貝V =(50k2)2 4(4 5k2)(125k220)k2由 4x25y220得：(4 5k)x 50kx 125k200，由韋達(dá)疋理得：2 250k125k 20x1 x22 ,x1x22 ，4 5k4 5k則X。x1x22需 k(xo 5)4 5k25)20 k4 5k2,m3，4 5k220k4 5k2)。又點(diǎn)F

15、2(1,0)，則直線MF2的斜率為kMF220k4 5k225k242 14 5k25k2 ，1 5k25k2根據(jù)CD MF2得：kMF/k1，即 21，此方程無解，即1 5kk不存在，也就是不存在滿足條件的直線。老師提醒：通過以上2個(gè)例題和2個(gè)練習(xí)，我們可以看出，解決垂直平分線的問題， 即對(duì)稱問題分兩步： 第一步, 有弦所在的直線和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程(或類一元二次方程)，通過判別式得不等式，由韋達(dá)定理得出弦中點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步是利用垂直關(guān)系，得出斜率之積為-1，或者是利用中點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸直線的斜率，寫出垂直平分線的方程，就可以解決問題。需要注意的一點(diǎn)是，求出的參數(shù)一定要滿足判別式。

16、題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題 圓錐曲線自身有一些規(guī)律性的東西，其中一些性質(zhì)是和直線與圓錐曲線相交的弦有關(guān)系，對(duì)這樣的一些性質(zhì)，們必須了如指掌，并且必須會(huì)證明。隨著幾何畫板的開發(fā)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器證明幾何問題，好多以前我們不知道的、 了解不深入的幾何或代數(shù)性質(zhì)，都如雨后春筍般的出來了，其中大部分都有可以遵循的規(guī)律，高考出題人，也得 設(shè)計(jì)好思維，讓我們?cè)谒麄冊(cè)O(shè)好的路上“走”出來。下面我們就通過幾個(gè)考題領(lǐng)略一下其風(fēng)采。例題4、已知橢圓C:y21(a b 0)的離心率為3，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為 Ai(-2,0),A 2(2,0)。b2(I)求橢圓的方程;(II)若直線 l : x t(t2)與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)

17、P為直線|上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PAi,PA2分別與橢圓交于N點(diǎn)，試問直線 MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。分析：第一問是待定系數(shù)法求軌跡方程；第二問中，點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PA1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點(diǎn)是 A 1(-2,0)和M，通過韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)P在直線l : x t(t 2)上，相當(dāng)于知道了點(diǎn) P的橫坐標(biāo)了，由直線 PA1、PA2的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到 兩條直線的斜率的關(guān)系，通過所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線 MN的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t>2，就可以了，否則就不存在。c y/3

18、解：(I)由已知橢圓C的離心率e， a 2 ,則得a 2c 3,b1。2從而橢圓的方程為y214(II)設(shè)M(X1,yJ，直線 AM的斜率為k,則直線AM的方程為yK(x 2)，由y kj (x 2)2 222 消y整理得(1 4k1 )xx 4y 4216k2x 16k14 2和捲是方程的兩個(gè)根,2x16k； 41 4好2 8k；1 4k；yi1 4 k：即點(diǎn)M的坐標(biāo)為2 8k2 4k1 )1 4k2 1 4kf8k2 2 4kA2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2 2 ,22）1 4k； 1 4k；k1(t2), ypk2(t2)k1k22k1k2t直線MN的方程為：yy1y2y1XX1

19、X2X1令y：=0，得X X2y1X1:y2將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得：4X y1y2t又it2 ,0 -2設(shè)直線同理,橢圓的焦點(diǎn)為（、3,0）故當(dāng)tMN過橢圓的焦點(diǎn)。216k2x 16k140的一個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)用同類坐標(biāo)變換，得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)：X|2 8k：1 4k12再利用直線 AM的方程通過同點(diǎn)的坐標(biāo)變換，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)：y14匕1 4k12 ；其實(shí)由20，得到2X2鶯，即y2 k2(X 2)消 y 整理得(1 4k|)x方法總結(jié)：本題由點(diǎn)A1（-2,0）的橫坐標(biāo)一2是方程（1 4k"）x2 16k2X 16k；4x 4y 4X28k； 21 4k；y24k21 4k

20、；很快。不過如果看到：將2xi 16匚4中的ki用k2換下來,Xi前的系數(shù)2用一2換下來，就得點(diǎn)N的坐標(biāo)(8k； 2本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn) P即在直線AM上也在直線AN上，進(jìn)而得到 兇丄2 ,由直線K k2tIL 生得直線與x軸的交點(diǎn)，即橫截X XL x2 XLX X2 yi Xi y2，將點(diǎn)M N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn) yi y2MN 的方程距4易得X ，由t4 J3解出t 也，到此不要忘了考察tt3也是否滿足34k2)，如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少，這樣真容易出錯(cuò)，但這樣減少計(jì)算量。1 4k；另外：也可以直接設(shè) P(t, yo)，通過Ai, A2的坐標(biāo)寫出直線 PAi,

21、PA2的直線方程，再分別和橢圓聯(lián)立，通過韋 達(dá)定理求出 M、N的坐標(biāo)，再寫出直線 MN的方程。再過點(diǎn) F,求出t值。例題5、(07山東理)已知橢圓 C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 X軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3;最小值為i;(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(n)若直線l: y kX m與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)(A , B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢 圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線I過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，直線l: y kx m與橢圓C相交于a , B兩點(diǎn),并且橢圓的右頂點(diǎn)和 A、B的連線互相垂直，證明直線 l過定點(diǎn)，就是通過垂直

22、建立k、m的一次函數(shù)關(guān)系。2 2解(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為務(wù)% 1(a b 0)a b2a c 3,a c 1 , a 2,c1,b3(II)設(shè) A(Xi, yi), B(X2, y2)，由y3x2kX4y2m122 2 2(3 4k )x 8mkx 4( m 3) 0,2 2 2 2 2 264m k 16(3 4k )(m3)0, 3 4k m 0X1X228mky ,Xi X2 他 ¥ (注意：這一步是同類坐標(biāo)變換) 4k3 4kyi y2(kxim) (kX2 m) k2X1X2 mk(X.| x2) m2 3(m 4 (注意：這一步叫同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)3 4k間的變換)以

23、AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0),且 kADyix-i2x2y22 1,yiy2XiX22(Xi X2) 43(m2 4k2)4(m23)16mk34k23 4k234k2丁一7m216mk4k20，解得2km2k, m27且滿足3 4k m0當(dāng)m2k時(shí),i： yk(x 2)，直線過定點(diǎn)(2,0),與已知矛盾;當(dāng)m2k亠時(shí).，i：yk(x )，直線過定點(diǎn)(-,0)777綜上可知，直線2l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 (土,0).名師經(jīng)驗(yàn)：在直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題中，以弦為直徑的圓經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)，就是“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”，也就是定點(diǎn)和弦的兩端點(diǎn)連線互相垂直，得斜率之積為1，建立等式。直線不過定點(diǎn)，也

24、不知道斜率，設(shè)出kx m，是經(jīng)常用的一招，在第二講中就遇到了這樣設(shè)的直線。練習(xí)：直線丨：y kx m和拋物線y22px相交于A、B，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)，證明:直線i: ykx m過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)0,貝U OAOB,若設(shè)A(xi,yi), B(X2,y2),則 x1x2yiy 20 ,再通過y1 y2 (kx1 m) (kx2 m) k2x1x2 mk(x1X2) m2,將條件轉(zhuǎn)化為(k221)XiX2 mk(Xi X2) m0，再通過直線和拋物線聯(lián)立，計(jì)算判別式后，可以得到x(x2,XiX2 ,解出的等式，就可以了。k、 m” 、ry k

25、x m2解：設(shè) A(Xi, yi), B(X2, y2)，由 2得，ky 2py 2mp 0,(這里消 x 得到的)y 2px由韋達(dá)定理，得：2p2mpy1 y2k ,畑k ,(1)則4p2 8mkp 0則 X-|X2y1m y2m«k ky2 m(yi y2) m2k1以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)0,則 OA OB,即 x1x2 y1 y20，m(yi y2) m22x 例題6、已知點(diǎn) A、B、C是橢圓E:二 a直線BC過橢圓的中心0,且AC-BC 0， BC2 AC，如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和橢圓E的方程;x 3對(duì)稱，求直線 PQ的斜率。2 2y-i y20，則(1 k )2

26、mp 2 pm m k 0，2 22kp，且使(1)成立,即 k 2mp m k 0，又 mk 0，則 m此時(shí)丨：y kx m kx 2kp k(x 2p)，直線恒過點(diǎn)(2 p,0)。名師指點(diǎn)：這個(gè)題是課本上的很經(jīng)典的題，例題5、( 07山東理)就是在這個(gè)題的基礎(chǔ)上，由出題人遷移得到的，解題思維都是一樣的，因此只要能在平時(shí)，把我們騰飛學(xué)校老師講解的內(nèi)容理解透，在高考中考取140多分，應(yīng)該不成問題。本題解決過程中，有一個(gè)消元技巧，就是直線和拋物線聯(lián)立時(shí)，要消去一次項(xiàng)，計(jì)算量小一些，也運(yùn)用了同類坐標(biāo)變換一一韋達(dá)定理，同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)變換直線方程的縱坐標(biāo)表示橫坐標(biāo)。其實(shí)解析幾何就這么點(diǎn)知識(shí)，你發(fā)現(xiàn)了嗎

27、？題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題若直線過的定點(diǎn)在已知曲線上，則過定點(diǎn)的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程 (或類一元二次方程)：考察判斷式后，韋達(dá)定理結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出另一端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解決問題。下面我們就通過例題領(lǐng)略一下思維過程。2 _與 1 (a b 0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn) A (2 . 3,0)是橢圓的右頂點(diǎn), bAC BC 0ACO -2又：A (2 . 3,0)點(diǎn)c的坐標(biāo)為(、3,、3)。A (2 3,0)是橢圓的右頂點(diǎn)，a 2、3，則橢圓方程為：2 2乞y-112 b2將點(diǎn)CC.3, ,3)代入方程，得b24，2 2橢圓E的方程為y 1124(II) 直線PC與直線

28、QC關(guān)于直線x .3對(duì)稱,設(shè)直線PC的斜率為k,則直線QC的斜率為 k，從而直線PC的方程為:y .3 k(x . 3)，即y kx .3(1 k)，由y kx -3(1 k)消y，整理得：x2 3y2 120(1 3k2)x2 6、3k(1 k)x 9k2 18k 3 0v x3是方程的一個(gè)根，9k218k 31 3k229k _18k_33(1 3k2)同理可得:9k2_18k_33(1 3k2) yP yQ kxp.3(1 k) kxQ、3(1 k) = k(xP xQ) 2,3k12k 3(1 3k2)一 3(1 3k2)3k2)9k2 18k 3 9k2 18k 3 Xp Xq3(1

29、36k3(1 3k2)kPQxp Xq則直線PQ的斜率為定值方法總結(jié)：本題第二問中,由“直線PC與直線QC關(guān)于直線x .3對(duì)稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線PC的斜率為k，就得直線QC的斜率為-k。利用、.3是方程(1 3k2)x2 6-、3k(1 k)x 9k2 18k 3 0 的根，易得點(diǎn) P的橫坐標(biāo):9k218k3xP9k18 _3，再將其中的k用-k換下來，就得到了點(diǎn) Q的橫坐標(biāo): .3(1 3k2)29k218k39二k23，這樣計(jì)算量就減少了許多，在考場(chǎng)上就節(jié)省了大量的時(shí)間。3(1 3k2)接下來，如果分別利用直線 PC QC的方程通過坐標(biāo)變換法將點(diǎn) P、Q的縱坐標(biāo)也求出來，計(jì)

30、算量會(huì)增加許多。直接計(jì)算ypyQ、xpXq，就降低了計(jì)算量?？傊?，本題有兩處是需要同學(xué)們好好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點(diǎn)的直線和曲線相交，點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計(jì)算量，達(dá)到節(jié)省時(shí)間的目的。練習(xí)1、已知橢圓C:x2y2、3二 21(a b 0)的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為 A1(-2,0),a 2(2,0)。ab2(i)求橢圓的方程;(II)若直線 l : x t(t2)與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線I上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于N點(diǎn)，試問直線 MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。c解：(I)由已知橢圓

31、C的離心率e -a送，9 2,則得C小1。從而橢圓的方程為42x y2 1(II )設(shè) M(X1,yJ，N(X22)，直線yAM的斜率為k1,則直線AM的方程為y k1(x 2)，由x2k1(X2)2消y整理得(1 4k1 )2 2x 16k2x 16k140 2和Xi是方程的兩個(gè)根16k； 41 4k12則X,啤，y11 4k；4k1,1 4k1同理,設(shè)直線8k2 2 4kA2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2 , 務(wù)）1 4k； 1 4k；k1k；(t2), yk；(t2)k2 k1 k2直線MN的方程為:y 力X X1y2%X2X1令y=0，得xX2y；將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得：

32、x橢圓的焦點(diǎn)為（、3,0）3，即 t4石故當(dāng)t時(shí),3MN過橢圓的焦點(diǎn)。216k140的一個(gè)根,結(jié)合韋達(dá)定理得2 2方法總結(jié)：本題由點(diǎn)A；（-2,0）的橫坐標(biāo)一2是方程（1 4k； ）x16k2x到點(diǎn)M的橫坐標(biāo):Xi2 8k2!，利用直線AM的方程通過坐標(biāo)變換，得點(diǎn)1 4k；M的縱坐標(biāo):yi4k11 4k12再將2x1216k14 * *中的1 4k；16k； 4K用k2換下來,X1前的系數(shù)2用一2換下來，就得點(diǎn)2N的坐標(biāo)(卷占)，如1 4k；果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少許多，并且也不易出錯(cuò)，在這里減少計(jì)算量是本題的重點(diǎn)。否則，大 家很容易陷入繁雜的運(yùn)算中，并且算錯(cuò)，費(fèi)時(shí)耗精力，希望同

33、學(xué)們認(rèn)真體會(huì)其中的精髓。本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn) P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線 AM上也在直線 AN上，進(jìn)而得到 巴一電-，由直線k1 k2tMN的方程 口1竺一匕得直線與x軸的交點(diǎn)，即橫截距x X2y1X1y2，將點(diǎn)M N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)易得x x1x2 x1y1y2x 4，由43解出tt t4.33到此不要忘了考察4 3是否滿足t3，再根據(jù)過點(diǎn)A,通過解方程組，就可以求坐標(biāo)，可以求出點(diǎn) E的坐標(biāo)，將點(diǎn)E中的解：(I)由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為2x2a2y2a，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入方程：丄_9所以橢圓方程爐，解得c2(舍去)1)(n)設(shè)直線AE方程為：yk(x1)3，代入(3 4k2 )x2 4k

34、(32k)x 4(|k)2123練習(xí)2、： (2009遼寧卷文、理)已知，橢圓C以過點(diǎn)A ( 1,),兩個(gè)焦點(diǎn)為(一1 , 0) (1 , 0)。2(1) 求橢圓C的方程；(2) E, F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線 AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值。2 2分析：第一問中，知道焦點(diǎn)，貝U a b 1設(shè)E(XE,yE),F(XF,yF),因?yàn)辄c(diǎn)A(1,-)在橢圓上，所以2yE又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以一K代K，可得Xf4(1 k)2 123yekxe4k23 k2所以直線EF的斜率KefYfYek(xF xE) 2kXfXeXf

35、Xe12老師總結(jié)：此類題的關(guān)鍵就是定點(diǎn)在曲線上，定點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的根，通過韋達(dá)定理，將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)求出，在根即直線EF的斜率為定值,其值為12分據(jù)斜率互為相反數(shù)，就可以直接求出第二動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后由斜率公式，可以求出斜率為定值。題型五：共線向量問題解析幾何中的向量共線，就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題，再通過未達(dá)定理-同類坐標(biāo)變換，將問題解決。此類問題不難解決。22例題7、設(shè)過點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線 M : 941于p、Q兩點(diǎn)，且dp Eq求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：由DP MQ，可以得到X1 - AX2Yi 3 入 ©23)p(Xi,yi),Q(x2,y2),代人曲線方程，解出

36、點(diǎn)的坐標(biāo)，用出來。解：設(shè) P(Xi,yi),Q(x2,y2),DP 一 負(fù)DQ(xi ,yi -3)= (x2,y2-3)Xt =入 x2Yi =3 _心 _3)方法一：方程組消元法2 2又 P、Q是橢圓+ =i上的點(diǎn)9422迄I乞=.,94"(&2)2 | (知2 I 3 3舛2 i94消去X2,2 2 2可得(M +3 -陰 y1_i入24即y2=13入一 56.又一2 y22,2蘭56A1解之得：551則實(shí)數(shù)：.的取值范圍是,55方法二：判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方程為：y kx 3,k0，由y 2" 3消y整理后，得4x2 9y2362 2(4

37、 9k )x 54kx 450P、Q是曲線M上的兩點(diǎn)2 2 2(54k)2 4 45(4 9k2) = 144k2 80 0即9k25由韋達(dá)定理得：54k45X1X249k24 9k.(為 X2)2x立2x1xXX192、254 k(1)45(4 9k2)3625(1)29k 4,41 _9k9k1 1由得0975，代入，整理得3625(1)當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即x 0時(shí)，易知 5或1總之實(shí)數(shù)：.的取值范圍是1,55方法總結(jié)：通過比較本題的第二步的兩種解法，可知第一種解法，比較簡(jiǎn)單，第二種方法是通性通法，但計(jì)算量 較大，縱觀高考中的解析幾何題，若放在后兩題，很多情況下能用通性通法解，但計(jì)算

38、量較大，計(jì)算繁瑣，考生必須有較強(qiáng)的意志力和極強(qiáng)的計(jì)算能力；不用通性通法，要求考生必須深入思考，有較強(qiáng)的思維能力，在命題人 設(shè)計(jì)的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。例題&已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線 y !x24的焦點(diǎn)，離心率為 5(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線I交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若MA1AF, MB 2BF,求12的值.分析：(07福建理科)如圖，已知點(diǎn) F (1, 0),直線I: x =- 1, P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過 P作直線I的垂線，垂 足為點(diǎn)Q，且QP QF FP FQ(I)求動(dòng)點(diǎn)

39、P的軌跡C的方程；(n)過點(diǎn)F的直線交軌跡 C于A、B兩點(diǎn)，交直線I于點(diǎn)M,已知MA 1AF, AF 2 BF，求12的值。小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以和研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn) 算能力和綜合解題能力滿分14分.解法一：eL F/ ,M i0/(I)設(shè)點(diǎn) P(x, y)，則 Q( 1, y)，由 QPQF FPFQ 得:2(x 1,0)12, y) (x 1，y)(2, y)，化簡(jiǎn)得 C: y 4x .(n)設(shè)直線AB的方程為：x my 1(m0).f2設(shè) A%, yj , B(X2, y2)，又 M1,m聯(lián)立方程組4x,my 1,'消去x得

40、:2y 4my 40,(4m)2120 ,故y1 y24m,yy4.由MA1AF ,MB2BF得:22y1,Y22丫2，整理得mm221 121my1my22丄丄m y1y22 4mm 40解法二：(I)由qpSf'FP-FQ 得:FQ.(PQPF) 0 ,(PQ PF)(PQ PF) 0 ,22PQ PF 0,所以點(diǎn)P的軌跡C是拋物線,由題意，軌跡c的方程為：y 4x.(n)由已知MA 1AF ,MB 2BF，得 1*20 .則:AFBF過點(diǎn)A, B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Ai, Bi,由得:練習(xí)：設(shè)橢圓C2則有:囂菁書2v1 (a 0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2 ,A是橢圓

41、C上的一點(diǎn)，且AF2 F1F2 0 ,2坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF1的距離為(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過 Q的直線I交x軸于點(diǎn)P( 1, 0)，較y軸于點(diǎn)M，若MQ 2QP，求直線I 的方程.山東2006理2雙曲線C與橢圓82y 1有相同的焦點(diǎn)，直線 y= 3x為C的一條漸近線。4(I)求雙曲線C的方程;(II)過點(diǎn)R0,4)的直線|，交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，交x軸于0點(diǎn)(Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合) 8且12時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)。3解：(n)解法一：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零。設(shè) l 的方程： y kx 4, A(x-|, y1) , B(x2, y2)/PQ1QA“ 44

42、、(k,4)1 (x,y1) k4444x 1(x1 )k 1 kkk44$y11則0( 4,0)-A(Xi,yi)在雙曲線C上,16(k2(1 1、2 16 )1 11 016232 1 16 112 k3k2 20.(16k2) 12 32 11616 2 k30.同理有:(16 k2):322 1616以 k3若16 k20,則直線l過頂點(diǎn)，不合題意0.216 k 0,16 2k 0.的兩根.31, 2是二次方程(16 k2)x2 32x 1632812 k2 163k24,此時(shí) 0, k 2.所求Q的坐標(biāo)為(2,0).解法二：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零4設(shè) I 的方程，y k

43、x 4, A(Xi,yJ, B(X2, y2)，則 Q(,0).k/PQ1QA,Q分PA的比為i.由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得4_Xik 1xik4；(1 i)4iyiF同解法(4)k44k，yi)2(X2 k，y2).yi即 3( yiiyiyiy22 y2，y2) 2y°2將y kx 4代入x22yi得3解法三：由題意知直線I的斜率k存在且不等于零設(shè)1的方程：y kx 4,A(Xi,yJ, B(X2,y2)，則 Q( £,0).k/PQ iQA 2QB，(3 k2)y224y 48 3k202v3 k 0,否則I與漸近線平行。yiy2243 k248 3k23 k2243 k2

44、48 3k23 k2Q( 2,0)I 的方程：y kx 4，Ay), B(X2, y2)解法四：由題意知直線I得斜率k存在且不等于零，設(shè)4則0(,0)k/PQ2A,(;,4) 1(X1k,y1)。4k414X1 kkx1 4同理41kx2444812kx14kx?43.即22k mx2 5kX2)80（*）Jy kx 4又一22y 彳x13k2 0時(shí)，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，3 k2 0 。消去 y 得（3 k2）x2 8kx 190.當(dāng)3由韋達(dá)定理有：XM3 k22、55代入(*)式得k2 4,k2所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0）。練習(xí)：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一

45、個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線 x2 4y的焦點(diǎn)，離心率等于（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2 ）點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，弦 PA、PB分別過焦點(diǎn)F1、F2，（ PA、PB都不與x軸垂直，其點(diǎn)P的縱坐標(biāo)不為o）, 若 PF11 F1 A, PF22 F2 B，求 12 的值。解: （ 1）設(shè)橢圓C的方程為：2 2 2221(a b o)，則 b=1，由 21a ba2的方程為：y2 152e1，得a25，則橢圓52(2)由勺 y21得:Fi( 2,0), F2(2,0)，設(shè) P(x°,y°), A(Xi,yJ, B(X2,y2),有 PF|1 F1 A, PF22 F2 B 得:(2Xo,yo)1(X12, yi),(2Xo, yo)2(X2 2, y2)解得：1根據(jù)PA、PB都不與X軸垂直，且yo o，設(shè)直線PA的方程為：y2壯（X 2），代人Iy21 '整理后'yoyo,2y1y2得:根據(jù)韋達(dá)定理，得:YoY1(x2)2 5yo則Y12 2(X 2) 5yo(Xo 2)2 5yo y2 4y°(x° 2)y y。2從而，1(xo 2)25 y2y1同理可求 2 也 (xo 2)2 5y2 y2則 12 (Xo 2)25yo2(Xo 2)25yo22(x。2