2023-2024學年九年級上學期數(shù)學(北師大版)第一次月考試卷附詳細答案

2023-2024學年九年級上學期數(shù)學(北師大版)第一次月考試卷▼(上冊1.1～2.4)▼題號一二三四五六總分累分人得分說明：共有六個大題，23個小題，滿分120分，作答時間120分鐘.一、單項選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)在每小題列出的四個備選項中只有一項是最符合題目要求的，請將其代碼填入題后括號內.錯選、多選或未選均不得分.1.下列方程是一元二次方程的是()A.3x-1=0B.ax2+bx+c=0(a，b，C.x2+x=3D.3x2-2xy-5y2=02.菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質是()A.對角線互相垂直B.對邊相等C.對角相等D.是中心對稱圖形3.一元二次方程x2=4的解為()A.x=2B.x=4C.x1=-2，x2=2D.x1=-4，x2=44.如圖，若四邊形ABCD是平行四邊形，則下列結論中錯誤的是()A.當AC⊥BD時，它是菱形B.當AC=BD時，它是矩形C.當∠ABC=90°時，它是矩形D.當AB=BC時，它是正方形AADCBO5.已知關于x的一元二次方程x2+bx+c=0有一個非零實數(shù)根c，則b+c的值為()A.1B.-1C.0D.26.如圖，把一張矩形紙片ABCD按如下方法進行兩次折疊：第一次將DA邊折疊到DC邊上得到DA′，折痕為DM，連接A′M，CM，第二次將△MBC沿著MC折疊，MB邊恰好落在MD邊上.若AD=1，則AB的長為()AABDCCDBB′A′ABCDMA′MA.32B.2C.3D.2二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)7.把一元二次方程x(x-3)=4化成ax2+bx+c=0的一般形式，其中a=1，則常數(shù)項c=______.8.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，如果∠ADB=25°，那么∠AOB的度數(shù)為______.第8題圖第8題圖ADCBO第12題圖ADBCPE第11題圖ABCOxy9.若關于x的方程x2-2x+1-k=0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為______.10.若關于x的一元二次方程ax2=b(ab＞0)的兩個根分別為m與2m-6，則m的值為______.11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCO是正方形，已知點A的坐標為(2，1)，則點C的坐標為______.12.如圖，在菱形ABCD中，AB=20，∠A=45°，點E在邊AB上，AE=13，點P從點A出發(fā)，沿著A→D→C→B的路線向終點B運動，連接PE，若△APE是以AE為腰的等腰三角形，則AP的長可以是______.三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共30分)13.(1)解方程：x2-2x-(2)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點，∠A=30°，BC=2，求CD的長.AADBC14.如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點C作BD的平行線交AB的延長線于點E.求證：AC=CE.AABCDEO15.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，若OB=2，S菱形ABCD=4，求AE的長.AADBCEO16.如圖，△ACB和△CED都是等腰直角三角形，點B，C，E在同一直線上，且E是BC的中點，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕跡).(1)在圖1中，作□ABMC.(2)在圖2中，作正方形ACBN.圖1圖1ADCBEA圖2CDEB17.如圖，矩形綠地的長為12m，寬為9m，將此綠地的長、寬各增加相同的長度后，綠地面積增加了72m2，求綠地的長、寬增加的長度.9m9m12m四、解答題(本大題共3小題，每小題8分，共24分)18.設關于x的一元二次方程為x2+bx+c=0.在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，并解這個方程.①b=2，c=1；②b=1，c=2；③b=3，c=-1；④b=-3，c=2.注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分.19.定義：如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)滿足b=a+c，那么我們稱這個方程為“完美方程”.(1)下面方程是“完美方程”的是______.(填序號)①x2-4x+3=0；②2x2+x+3=0；③2x2-x-(2)已知3x2+mx+n=0是關于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一個根，求m的值.20.如圖，在□ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的點，連接BE，DF，BE與DF交于點P，BE=DF.添加下列條件之一使□ABCD成為菱形：①CE=CF；②BE⊥CD，DF⊥BC.(1)你添加的條件是_______(填序號)，并證明.(2)在(1)的條件下，若∠A=45°，△BFP的周長為4，求菱形的邊長.AAFCDEPB五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)21.【閱讀】解方程：(x-1)2-5(x解：設x-1=y，則原方程可化為y2-5y+4=0，解得y1=1，y2當y=1時，即x-1=1，解得x=2；當y=4時，即x-1=4，解得所以原方程的解為x1=2，x2=5.上述解法稱為“整體換元法”.【應用】(1)若在方程x-1x-3(2)請運用“整體換元法”解方程：(2x-3)2-(2x-3)-22.如圖1，在□ABCD中，點E，F(xiàn)在對角線AC上，AE=CF，DE⊥AC，過點D作DG∥AC交BF的延長線于點G.(1)求證：四邊形DEFG是矩形.(2)如圖2，連接DF，BE，當∠DFG=∠BEF時，判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由.圖1圖1EFABCDG圖2ABDGCFE六、解答題(本大題共12分)23.【課本再現(xiàn)】(1)如圖1，在正方形ABCD中，F(xiàn)為對角線AC上一點，連接BF，DF.你能找出圖中的全等三角形嗎？結論猜想：圖中的全等三角形有__________(不必證明).【知識應用】(2)如圖2，P為DF延長線上一點，且BP⊥BF，DP交BC于點E.判斷△BPE的形狀，并說明理由.【拓展提升】(3)如圖3，過點F作HF⊥BF交DC的延長線于點H.①求證：HF=DF.②若AB=3+1，∠CBF=30°，請直接寫出CH的長.圖1圖1ABCDFA圖2BPDCEF圖3ABDHCF2023-2024學年九年級上學期數(shù)學(北師大版)第一次月考試卷參考答案▼(上冊1.1～2.4)▼題號一二三四五六總分累分人得分說明：共有六個大題，23個小題，滿分120分，作答時間120分鐘.一、單項選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)在每小題列出的四個備選項中只有一項是最符合題目要求的，請將其代碼填入題后括號內.錯選、多選或未選均不得分.1.下列方程是一元二次方程的是()A.3x-1=0B.ax2+bx+c=0(a，b，C.x2+x=3D.3x2-2xy-5y2=01.解：A是一元一次方程，B當a≠0時是一元二次方程，C是一元二次方程，D是二元二次方程，故選C。2.菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質是()A.對角線互相垂直B.對邊相等C.對角相等D.是中心對稱圖形2.解：菱形對角線互相垂直而平行四邊形不一定具有，故選A。3.一元二次方程x2=4的解為()A.x=2B.x=4C.x1=-2，x2=2D.x1=-4，x2=43.解：一元二次方程x2=4的解為x=±2，故選C。4.如圖，若四邊形ABCD是平行四邊形，則下列結論中錯誤的是()A.當AC⊥BD時，它是菱形B.當AC=BD時，它是矩形C.當∠ABC=90°時，它是矩形D.當AB=BC時，它是正方形4.解：當AC⊥BD時，它是菱形，正確；當AC=BD時，它是矩形，正確；當∠ABC=90°時，它是矩形，正確；當AB=BC時，它是菱形不一定是正方形，故選D。AADCBO5.已知關于x的一元二次方程x2+bx+c=0有一個非零實數(shù)根c，則b+c的值為()A.1B.-1C.0D.25.解：將x=c(c≠0)代入x2+bx+c=0得c2+bc+c=0，則c+b+1=0，b+c=-1，故選B。6.如圖，把一張矩形紙片ABCD按如下方法進行兩次折疊：第一次將DA邊折疊到DC邊上得到DA′，折痕為DM，連接A′M，CM，第二次將△MBC沿著MC折疊，MB邊恰好落在MD邊上.若AD=1，則AB的長為()AABDCCDBB′A′ABCDMA′MA.32B.2C.3D.26.解：由翻折的性質知∠MDC=∠MDA=12∠ADC=45°，B′C=BC=AD=1，∠CB′M=∠CBM=90°，∴△CB′D為等腰直角三角形，∴CD=2B′C=2，故AB=CD=2，選B二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)7.把一元二次方程x(x-3)=4化成ax2+bx+c=0的一般形式，其中a=1，則常數(shù)項c=7.解：x(x-3)=4即x2-3x-4=0，當a=1時，b=-3，c=-8.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，如果∠ADB=25°，那么∠AOB的度數(shù)為______.8.解：在矩形ABCD中，∵AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OD，∴∠ADB=∠CAD，故∠AOB=∠ADB+∠CAD=2∠ADB=50°。EEFPPQ第8題圖ADCBO第12題圖ADBCPE第11題圖ABCOxy9.若關于x的方程x2-2x+1-k=0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為______.9.解：判別式=4-4(1-k)=0，解得k=0。10.若關于x的一元二次方程ax2=b(ab＞0)的兩個根分別為m與2m-6，則m的值為______.10.解：由韋達定理知m+2m-6=0，解得m=2。11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCO是正方形，已知點A的坐標為(2，1)，則點C的坐標為______.11.解：過A作AF⊥x軸于F，過C作CE⊥x軸于E，∵∠AOF+∠COE=∠OCE+∠COE=90°，∴∠AOF=∠OCE，又∵AO=OC，∠AFO=∠OEC=90°，∴△AFO≌△OEC(AAS)，∴CE=OF=2，OE=AF=1，故點C的坐標為(-1，2)。12.如圖，在菱形ABCD中，AB=20，∠A=45°，點E在邊AB上，AE=13，點P從點A出發(fā)，沿著A→D→C→B的路線向終點B運動，連接PE，若△APE是以AE為腰的等腰三角形，則AP的長可以是______.12.解：當點P在AD上時：=1\*GB3①當AP=AE時，AP=AE=13；=2\*GB3②當AE=PE時，△AEP為等腰直角三角形，此時AP=2AE=132。當點P在CD上時，∵點P到AB的距離=22AD=102＞13，∴此時無滿足條件的P點。當點P在BC上時，只能是AE=PE，BE=AB-AE=20-13=7，過P作PQ⊥AB交AB延長線于Q，∵四邊形ABCD為菱形，∠A=45°，∴∠PBQ=45°，∴BQ=PQ，令BQ=PQ=t，則EQ=BE+BQ=7+t，在Rt△PEQ中，有EQ2+PQ2=PE2，即(7+t)2+t2=132，解得t=±5(舍去負值)，則PQ=BQ=5，AQ=AB+BQ=25，由勾股定理知AP=PQ2+AQ2=25+625=526，故AP的長可以是13、132或526。三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共30分)13.(1)解方程：x2-2x-(2)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點，∠A=30°，BC=2，求CD的長.AADBC13.解：(1)x2-2x-x2-2x+1=2(x-1)2x-1=±∴x1=1+2，x2=1-(2)∵∠ACB=90°，D為AB的中點，∴CD=AD=12∵∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4故CD=12AB=14.如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點C作BD的平行線交AB的延長線于點E.求證：AC=CE.AABCDEO14.解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AC=BD，CD∥AB∵BD∥CE，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴CE=BD又∵AC=BD，∴AC=CE15.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，若OB=2，S菱形ABCD=4，求AE的長.AADBCEO15.解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，BD=2OB=4，BC=AB，AC=2OA∵S菱形ABCD=4，∴AC=4×2÷4=2，則OA=1由勾股定理知AB=OA2+OB2=12∵S△ABC=12S菱形ABCD=2，∴AE=2S△ABC16.如圖，△ACB和△CED都是等腰直角三角形，點B，C，E在同一直線上，且E是BC的中點，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕跡).(1)在圖1中，作□ABMC.(2)在圖2中，作正方形ACBN.MMMNO圖1ADCBEA圖2CDEB16.解：(1)∵∠BAC=45°，∠ACD=∠ACB+∠DCE=135°，∴AB∥CD，∵E為BC中點，∴當BC為□ABMC對角線時，對角線交點就是E點，故連接AE并延長交CD延長線于點M，易證△AEB≌△MEC(AAS)，∴AB=CM，故四邊形ABMC是平行四邊形。(2)由(1)得到□ABMC后，延長DE交AB交于點O，連接CO并延長交MB延長線于點N，四邊形ACBN為正方形。17.如圖，矩形綠地的長為12m，寬為9m，將此綠地的長、寬各增加相同的長度后，綠地面積增加了72m2，求綠地的長、寬增加的長度.9m9m12m17.解：設綠地的長、寬增加的長度為xm，依題意(9+x)(12+x)-12×9=72即(x+24)(x-3)=0解得x1=-24(舍去)，x2=3答：綠地的長、寬增加的長度均為3m。四、解答題(本大題共3小題，每小題8分，共24分)18.設關于x的一元二次方程為x2+bx+c=0.在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，并解這個方程.①b=2，c=1；②b=1，c=2；③b=3，c=-1；④b=-3，c=2.注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分.18.解：若方程x2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，則判別式=b2-4c＞0選③b=3，c=-1，此時b2-4c=32-4×(-1)=13＞0x2+3x-1x2+3x+94=(x+32)2=x+32=±∴x1=-3+132，x219.定義：如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)滿足b=a+c，那么我們稱這個方程為“完美方程”.(1)下面方程是“完美方程”的是______.(填序號)①x2-4x+3=0；②2x2+x+3=0；③2x2-x-(2)已知3x2+mx+n=0是關于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一個根，求m的值.19.解：(1)“完美方程”有③。(2)∵3x2+mx+n=0是關于x的“完美方程”，∴m=3+n將x=m代入3x2+mx+n=0得3m2+m2+n=0，即4m2+m-3=0，亦即(4m-3)(m+1)=0∴m1=34，m2=-20.如圖，在□ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的點，連接BE，DF，BE與DF交于點P，BE=DF.添加下列條件之一使□ABCD成為菱形：①CE=CF；②BE⊥CD，DF⊥BC.(1)你添加的條件是_______(填序號)，并證明.(2)在(1)的條件下，若∠A=45°，△BFP的周長為4，求菱形的邊長.AAFCDEPB20．解：(1)②，證明如下∵BE=DF，∠BCE=∠DCF，∠BEC=∠DFC=90°∴△BEC≌△DFC(AAS)，∴BC=DC又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴□ABCD是菱形(2)∵□ABCD是菱形，∴∠C=∠A=45°又∵BE⊥CD，DF⊥BC，∴△BCE與△DCF為等腰直角三角形，則CE=BE∠CBE=∠CDF=45°，∴△BPF與△DPE為等腰直角三角形由(1)知△BEC≌△DFC，∴CF=CE，又∵CB=CD，∴FB=ED又∵∠CBE=∠CDF，∠PFB=∠PED=90°，∴△PFB≌△PED(AAS)∴FP=EP，∴BE=BP+EP=BP+FP∴BC=BF+CF=BF+CE=BF+BE=BF+BP+FP=△BFP的周長=4故菱形的邊長4五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)21.【閱讀】解方程：(x-1)2-5(x解：設x-1=y，則原方程可化為y2-5y+4=0，解得y1=1，y2當y=1時，即x-1=1，解得x=2；當y=4時，即x-1=4，解得所以原方程的解為x1=2，x2=5.上述解法稱為“整體換元法”.【應用】(1)若在方程x-1x-3(2)請運用“整體換元法”解方程：(2x-3)2-(2x-3)-21.解：(1)∵y=x-1x，∴x-1x-3xx-(2)設2x-3=y，則原方程可化為y2-y-2=0，即(y+1)(y-解得y1=-1，y2=2當y=-1時，即2x-3=-1，解得x當y=2時，即2x-3=2，解得x=原方程的解為x1=1，x2=522.如圖1，在□ABCD中，點E，F(xiàn)在對角線AC上，AE=CF，DE⊥AC，過點D作DG∥AC交BF的延長線于點G.(1)求證：四邊形DEFG是矩形.(2)如圖2，連接DF，BE，當∠DFG=∠BEF時，判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由.圖1圖1EFABCDG圖2ABDGCFE22.解：(1)證明：∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°∵DG∥AC，∴∠EDG=180°-∠DEC=90∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC∴∠DAE=∠BCF，又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF(SAS)∴∠BFC=∠DEA=90°，∴∠EFG=∠BFC=90°故四邊形DEFG是矩形(2)四邊形DEFG是正方形由(1)知△DAE≌△BCF，∴DE=BF又∵∠EFG=∠DEA=90°，