202X年高中數(shù)學(xué)第四章定積分4.1.1定積分背景——面積和路程問(wèn)題課件1北師大版選修2_2

1、定積分的背景面積和路程問(wèn)題教材前后聯(lián)系、地位和作用眾所周知，微積分是數(shù)學(xué)開(kāi)展史上繼歐氏幾何后眾所周知，微積分是數(shù)學(xué)開(kāi)展史上繼歐氏幾何后的又一個(gè)具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為數(shù)的又一個(gè)具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上的里程碑、學(xué)史上的里程碑、“人類精神的最高勝利人類精神的最高勝利 在前面的課程中，我們通過(guò)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，并利用在前面的課程中，我們通過(guò)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、變化快慢、極值及生活導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、變化快慢、極值及生活中的優(yōu)化問(wèn)題等，滲透了微分思想中的優(yōu)化問(wèn)題等，滲透了微分思想教材前后聯(lián)系、地位和作用 微分研究的是局部的、動(dòng)態(tài)的和瞬時(shí)的事物，微分研究的是局部的、

2、動(dòng)態(tài)的和瞬時(shí)的事物，是發(fā)生在是發(fā)生在“0“0時(shí)刻的事件；而數(shù)學(xué)家那么希望時(shí)刻的事件；而數(shù)學(xué)家那么希望借此來(lái)借此來(lái)“以暫定久以暫定久、“以常制變以常制變、“以局部以局部馭整體馭整體，這就需要用到定積分了！，這就需要用到定積分了！ 本節(jié)課是定積分的第一節(jié)課課程標(biāo)準(zhǔn)要求本節(jié)課是定積分的第一節(jié)課課程標(biāo)準(zhǔn)要求我們通過(guò)實(shí)例如求曲邊梯形的面積、變力做功我們通過(guò)實(shí)例如求曲邊梯形的面積、變力做功等，從問(wèn)題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借等，從問(wèn)題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的根本思想，初步了解定助幾何直觀體會(huì)定積分的根本思想，初步了解定積分的概念積分的概念 教學(xué)目標(biāo)、知識(shí)與技能目標(biāo)： 1 1

3、通過(guò)探求曲邊梯形的面積，使學(xué)生了解定通過(guò)探求曲邊梯形的面積，使學(xué)生了解定積分的實(shí)際背景，了解積分的實(shí)際背景，了解“以直代曲以直代曲“逼近逼近的的思想方法，建構(gòu)定積分的認(rèn)知根底；思想方法，建構(gòu)定積分的認(rèn)知根底； 2 2通過(guò)這局部?jī)?nèi)容的教學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生分通過(guò)這局部?jī)?nèi)容的教學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和辨證思維能力，能求析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和辨證思維能力，能求簡(jiǎn)單的曲邊梯形的面積簡(jiǎn)單的曲邊梯形的面積教學(xué)目標(biāo)、過(guò)程與方法目標(biāo)： 1 1通過(guò)類比通過(guò)類比“割圓術(shù)割圓術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生萌發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生萌發(fā)“分分割割、“近似近似、“以直代曲以直代曲的想法，變曲為的想法，變曲為直；直； 2 2通過(guò)比照分

4、割后圖象面積差的變化特點(diǎn)，通過(guò)比照分割后圖象面積差的變化特點(diǎn)，突出突出“細(xì)分割、近似和、漸逼近細(xì)分割、近似和、漸逼近的數(shù)學(xué)過(guò)程；的數(shù)學(xué)過(guò)程； 3 3通過(guò)數(shù)學(xué)軟件的演示，觀察數(shù)據(jù)特征，讓通過(guò)數(shù)學(xué)軟件的演示，觀察數(shù)據(jù)特征，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)生經(jīng)歷“刨光磨平刨光磨平的逼近過(guò)程，從直觀上理的逼近過(guò)程，從直觀上理解極限思想，承受極限值即準(zhǔn)確值的數(shù)學(xué)事實(shí)解極限思想，承受極限值即準(zhǔn)確值的數(shù)學(xué)事實(shí)教學(xué)目標(biāo)、情態(tài)與價(jià)值目標(biāo)： 1 1從生產(chǎn)生活實(shí)踐中創(chuàng)設(shè)情境引出課題，培從生產(chǎn)生活實(shí)踐中創(chuàng)設(shè)情境引出課題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和科技效勞于生活的人文精神，養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和科技效勞于生活的人文精神，鼓勵(lì)同學(xué)們勤于思考、刻苦學(xué)習(xí)

5、；鼓勵(lì)同學(xué)們勤于思考、刻苦學(xué)習(xí)； 2 2幫助學(xué)生建立幫助學(xué)生建立“分割、近似、求和、取極分割、近似、求和、取極限限的定積分思想，滲透的定積分思想，滲透“化整為零零積整化整為零零積整的的辨證唯物觀辨證唯物觀教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 了解定積分的根本思想方法以直代曲、了解定積分的根本思想方法以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲邊梯形面積的逼近的思想，初步掌握求曲邊梯形面積的“四步曲四步曲“分割、近似、求和、取極限分割、近似、求和、取極限 1 1掌握掌握“以直代曲以直代曲“逼近逼近思想的形思想的形成過(guò)程，尤其是成過(guò)程，尤其是“刨光磨平刨光磨平的極限過(guò)程；的極限過(guò)程； 2 2求和符號(hào)求和符號(hào) 、教學(xué)重點(diǎn)： 、教學(xué)

6、難點(diǎn)： 鑒于定積分思想的高度抽象性，并針對(duì)本節(jié)課鑒于定積分思想的高度抽象性，并針對(duì)本節(jié)課的特點(diǎn)，我采用以教師引導(dǎo)為主，學(xué)生自主探索、的特點(diǎn)，我采用以教師引導(dǎo)為主，學(xué)生自主探索、積極思考為輔的探究式教學(xué)方法；在教學(xué)手段上采積極思考為輔的探究式教學(xué)方法；在教學(xué)手段上采用黑板和多媒體相結(jié)合的靈活的教學(xué)手段，利用幾用黑板和多媒體相結(jié)合的靈活的教學(xué)手段，利用幾何畫板等數(shù)學(xué)工具直觀的展現(xiàn)面積的逼近過(guò)程，激何畫板等數(shù)學(xué)工具直觀的展現(xiàn)面積的逼近過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并加深其對(duì)發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并加深其對(duì)“分割、近似、求分割、近似、求和、取極限和、取極限的理解；在教學(xué)思想上那么以建構(gòu)主的理解；在教學(xué)思想上那

7、么以建構(gòu)主義的義的“創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境提出數(shù)學(xué)問(wèn)題提出數(shù)學(xué)問(wèn)題嘗試解嘗試解決問(wèn)題決問(wèn)題驗(yàn)證解題方法驗(yàn)證解題方法為主，強(qiáng)調(diào)思想方法的為主，強(qiáng)調(diào)思想方法的建構(gòu)過(guò)程，把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，與同學(xué)們共享成建構(gòu)過(guò)程，把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，與同學(xué)們共享成長(zhǎng)長(zhǎng) 說(shuō)教學(xué)設(shè)想教學(xué)根本流程創(chuàng)設(shè)情境、引出課題創(chuàng)設(shè)情境、引出課題 聯(lián)系史實(shí)、提出問(wèn)題聯(lián)系史實(shí)、提出問(wèn)題 例題分析、思想奠基例題分析、思想奠基 師生合作、共同探究師生合作、共同探究 練習(xí)穩(wěn)固、思想提升練習(xí)穩(wěn)固、思想提升 步驟板演、解決問(wèn)題步驟板演、解決問(wèn)題 課堂小結(jié)、布置作業(yè)課堂小結(jié)、布置作業(yè) 這些圖形的面積該怎樣計(jì)算？說(shuō)教學(xué)設(shè)想 曲邊梯形的概念：如下圖，我們

8、曲邊梯形的概念：如下圖，我們把由直線把由直線x=a,x=b(ab),y=0 x=a,x=b(ab),y=0和曲線和曲線y=f(x)y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形所圍成的圖形稱為曲邊梯形 abf(a)f(b)y=f(x)xyO如何求曲邊梯形的面積？說(shuō)教學(xué)設(shè)想說(shuō)教學(xué)設(shè)想 例題阿基米德問(wèn)題：求由拋物例題阿基米德問(wèn)題：求由拋物線線y=x2y=x2與直線與直線x=1,y=0 x=1,y=0所圍成的平面圖所圍成的平面圖形的面積形的面積 Archimedes，約公元前287年約公元前212年問(wèn)題問(wèn)題1 1：我們是怎樣計(jì)：我們是怎樣計(jì)算圓的面積的？圓周率算圓的面積的？圓周率是如何確定的？是如何確定的？問(wèn)

9、題問(wèn)題2 2：“割圓術(shù)割圓術(shù)是是怎樣操作的？對(duì)我們有怎樣操作的？對(duì)我們有何啟示？何啟示？說(shuō)教學(xué)設(shè)想 建構(gòu)主義要求在課堂上表達(dá)思想方法的自主建構(gòu)主義要求在課堂上表達(dá)思想方法的自主建構(gòu)過(guò)程，讓學(xué)生去嘗試，經(jīng)歷挫折，討論、建構(gòu)過(guò)程，讓學(xué)生去嘗試，經(jīng)歷挫折，討論、調(diào)整、選擇更合理的解題思路調(diào)整、選擇更合理的解題思路合作探究：線段線段OBOB近似曲邊近似曲邊OBOB；分割，矩形近似；分割，矩形近似；分割越多，小矩形的分割越多，小矩形的面積之和越接近曲邊梯面積之和越接近曲邊梯形的面積；形的面積；說(shuō)教學(xué)設(shè)想解題思想圖象放大圖象放大“細(xì)分割、近似和、漸逼近 說(shuō)教學(xué)設(shè)想例題：求由拋物線例題：求由拋物線y=xy=

10、x2 2與直線與直線x=1,y=0 x=1,y=0所所圍成的平面圖形的面積圍成的平面圖形的面積 解：1 1分割：將區(qū)間分割：將區(qū)間0,10,1分成分成n n等份：等份：2 2近似代替：用小矩形近似代替：用小矩形代替小曲邊梯形代替小曲邊梯形1111limlim(1)(1)323nnnSSnn2211()()11()(1,2, )iiiiSSfxxnniinnn 11 210,1nnn nn 記記n n個(gè)小曲邊梯形的個(gè)小曲邊梯形的面積分別為：面積分別為：S1, S2, Sn則則S=S1+S2+Sn4 4取極限取極限：3 3求和：求和：1nniiSS說(shuō)教學(xué)設(shè)想例題：求由拋物線例題：求由拋物線y=xy

11、=x2 2與直線與直線x=1,y=0 x=1,y=0所所圍成的平面圖形的面積圍成的平面圖形的面積 練習(xí)練習(xí)：試以區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)值作高，近：試以區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)值作高，近似、求和、取極限，計(jì)算此時(shí)曲邊梯形的似、求和、取極限，計(jì)算此時(shí)曲邊梯形的面積面積 11111( )(1)(1)32nniiSfnnnn1111limlim(1)(1)323nnnSSnn解：如果取如果取(i-1)/n,i/n(i-1)/n,i/n內(nèi)任意點(diǎn)內(nèi)任意點(diǎn)i i的函數(shù)值的函數(shù)值f(f(i i) )作為小矩形的高，作為小矩形的高，以此近似，情況又怎樣呢？以此近似，情況又怎樣呢？ 說(shuō)教學(xué)設(shè)想求曲邊梯形面積的求曲邊梯形面積的“

12、四步曲四步曲：1 1分割分割化整為零化整為零2 2近似代替近似代替以直代曲以直代曲3 3求和求和積零為整積零為整4 4取極限取極限刨光磨平刨光磨平說(shuō)教學(xué)設(shè)想 作業(yè)：求直線作業(yè)：求直線x=0,x=2,y=0 x=0,x=2,y=0與曲線與曲線y=xy=x2 2所圍成所圍成的曲邊梯形的面積的曲邊梯形的面積 課后探究：以區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)課后探究：以區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)i i的函數(shù)值的函數(shù)值f(f(i i) )作高，求此時(shí)曲邊梯形的面積作高，求此時(shí)曲邊梯形的面積 研究性課題：利用所學(xué)知識(shí)，編寫計(jì)算曲邊研究性課題：利用所學(xué)知識(shí)，編寫計(jì)算曲邊梯形面積的梯形面積的QBASICQBASIC程序程序 “ “一沙一世界，一花

13、一天國(guó)掌上有無(wú)窮，瞬一沙一世界，一花一天國(guó)掌上有無(wú)窮，瞬時(shí)即永恒時(shí)即永恒 勃萊克英勃萊克英國(guó)國(guó) 在準(zhǔn)備本節(jié)課時(shí)，我首先注意到了以下幾個(gè)方在準(zhǔn)備本節(jié)課時(shí)，我首先注意到了以下幾個(gè)方面：一是如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生面：一是如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生“想想學(xué)、樂(lè)學(xué)、自主的去學(xué)學(xué)、樂(lè)學(xué)、自主的去學(xué)；二是從學(xué)生的角度來(lái)；二是從學(xué)生的角度來(lái)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的建構(gòu)過(guò)程，與同學(xué)們共享成長(zhǎng)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的建構(gòu)過(guò)程，與同學(xué)們共享成長(zhǎng) ；三是盡量采用符合同學(xué)們思維習(xí)慣的、易于承受三是盡量采用符合同學(xué)們思維習(xí)慣的、易于承受的講授方式；再就是，我非常關(guān)心學(xué)生在學(xué)習(xí)本的講授方式；再就是，我非常關(guān)心學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之后，將

14、得到怎樣的開(kāi)展？為此，我從數(shù)學(xué)情課之后，將得到怎樣的開(kāi)展？為此，我從數(shù)學(xué)情感上進(jìn)展了滲透，描繪了定積分的美！感上進(jìn)展了滲透，描繪了定積分的美！ 在課堂上，我將始終重視在課堂上，我將始終重視“以直代曲以直代曲“逼近逼近思想的滲透，強(qiáng)調(diào)思想的滲透，強(qiáng)調(diào)“分割、近似、求和、取極分割、近似、求和、取極限的步驟，讓同學(xué)們認(rèn)真演練限的步驟，讓同學(xué)們認(rèn)真演練“四步曲，最四步曲，最后通過(guò)課后探究，探討后通過(guò)課后探究，探討ii的任意性對(duì)面積逼近過(guò)的任意性對(duì)面積逼近過(guò)程的影響，實(shí)現(xiàn)思想的升華這種迂回包抄、螺程的影響，實(shí)現(xiàn)思想的升華這種迂回包抄、螺旋上升的處理方式，正是建構(gòu)主義的處理方式旋上升的處理方式，正是建構(gòu)主義的處理方式 我想通過(guò)這樣的教學(xué)過(guò)程，讓同學(xué)們?cè)谂d趣的我想通過(guò)這樣的教學(xué)過(guò)程，讓同學(xué)們?cè)谂d趣的帶動(dòng)下帶動(dòng)下“想學(xué)，在教師的幫助下想學(xué)，在教師的幫助下“能學(xué)，在能學(xué)，在數(shù)學(xué)思想的滲透和感化下數(shù)學(xué)思想的滲透和感化下“堅(jiān)持學(xué)，真正喜歡堅(jiān)持學(xué)，真正喜歡上數(shù)學(xué)，欣賞到數(shù)學(xué)的美上數(shù)學(xué)，欣賞到數(shù)學(xué)的美曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積曲邊梯形曲邊梯形的概念的