正弦定理和余弦定理

1、正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理正弦定理、余弦定理在厶ABC中，若角A, B, C所對的邊分別是a, b, c, R為厶ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理O 0 .oa b 十 c 2bccosA ；a b c 2Rb2 c2 + a2 2cacosB;內容sinA sinB sinCc2 a2 + b2 2abcosC(1)a 2RsinA, b 2RsinB, c 2RsinC;b2 + c2 aa. b.亠 ccosA 2bc變形(2)sinA 2r , sinB 2r， sinC 2R ；c2 + a2 b：cosB 2ac(3)a : b : c si nA : si nB

2、 : si nC;a2+ b2c2(4)asinB bsinA, bsinC csinB, asinC csinAcosC2ab111abc 1Saabc = qabsinC = qbcsinA = qacsinB = 4R = 2+ b+ c)r(r 是三角形內切圓半徑)，并可由此計算 R、r選擇題在厶ABC中，已知a= 2, b=/6, A = 45°則滿足條件的三角形有（）A. 1個B . 2個C . 0個D .無法確定2解析 I bsinA = ,6X三=,3,二bsinA<a<b,二滿足條件的三角形有2個.V3C. 2 311x/3V3解析 因為S= 2X AB

3、 x ACsinA=十2XAC = 帀，所以AC = 1,B. 3在厶ABC中，A= 60° AB = 2,且厶ABC的面積為 專，貝U BC的長為（ A並2所以 BC2 = AB2+ AC2 2AB ACcos60 = 3,所以 BC =已知在 ABC中，a = x, b= 2, B = 45°若三角形有兩解，則X的取值范圍是（）A. x>2C. 2v XV 2 2D. 2Vxv2 3解析 若三角形有兩解，則必有a>b, x>2,又由sinA = bsinB =鈔今“ 1,可得xV2 2,二X的取值范圍是2VxV2 2.已知銳角三角形的邊長分別為1, 3

4、, x,則X的取值范圍是（B. （2.2, . 10）C. （2 2, 10）A. (8,10)D. (JO, 8)解析 因為3>1，所以只需使邊長為3及X的對角都為銳角即可，故12+ x2>32,12+ 32>x2,即 8<x2<10.又因為x>0，所以2,2<x< . 10.c在厶ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,若b<cosA，則 ABC為（）C.銳角三角形B .直角三角形csin c解析 已知b<cosA，由正弦定理，得 snB<cosA，即 sinC<sinBcosA，所以 sin（A+ B

5、）<sinA .鈍角三角形D.等邊三角形BcosA，即sinBcosA + cosBsinA sinBcosA<0,所以 cosBsinA<0.又 sinA>0,于是有 cosB<0,B 為鈍角，所以 ABC是鈍角三角形.B a + c在厶ABC中，co$2了（a, b, c分別為角A, B, C的對邊），則 ABC的形狀為（A .等邊三角形B .直角三角形C .等腰三角形或直角三角形D .等腰直角三角形解析 v cos2"1 + cosB2b a+ c=2, cos2 =,二(1 + cosB) c= a+ c,a2+ c2 b2 a= cosB c=

6、2,二 2a2 = a2 + c2 b2,二 a2+ b2= c2, / ABC 為直角三角形.在厶ABC中，已知b= 40, c= 20, C= 60°則此三角形解的情況是（）A .有一解B .有兩解C .無解D .有解但解的個數(shù)不確定bb i C 40X爭解析 由正弦定理得snB二snc，:sinB二c二20二3>1.角B不存在，即滿足條件的三角形不存在.若厶 ABC 的三個內角滿足 sinA : sinB : sinC = 5 : 11 ： 13，則 ABC()A 一定是銳角三角形B 一定是直角三角形C. 一定是鈍角三角形D .可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形解析 由

7、正弦定理 聶=爲=盞 =2R(RABC外接圓半徑)及已知條件si nA : sinB : si nC =5x 2+ 11x 2 - 13x 2- 23x25 : 11 : 13，可設 a = 5x， b= 11x， c= 13x(x>0) 貝U cosC=? 5x iix=伯乂 < 0， C為鈍角， ABC為鈍角三角形. ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c,貝廠'a>b”是“ cos2A<cos2B”的()A .充分不必要條件C .充分必要條件B .必要不充分條件D.既不充分也不必要條件3n 代匸nC.4nD6b2 + c2- a2 解析在厶ABC中，

8、由b= c，得cosA =2bc2b2- a22&2，又 a2= 2b2(1 sinA)，所以 cosA = sinA，即 tanA = 1，又知 A 6(0，nn，所以A = 4，故選c.解析 因為在 ABC 中，a> b? si nA > sin B? si n2A > si n2B? 2si n2A > 2si n2B? 1-2si n2A< 1-2si n2Bcos2A<cos2B，所以 “a>b” 是 “cos2A<cos2B” 的充分必要條件.已知 b= c，a2 = 2b2(1 - si nA),貝 U A=在厶ABC中，角

9、A，B，C的對邊分別是a，b，c，在厶 ABC 中，AB = Q3, AC = 1，B = 30° ABC 的面積為專，則 C =()A. 30B. 45C. 60D. 75解析 T Szabc =1 AB AC si nA = -23,即 1況徐 1X sinA 二誓,二 si nA = 1,由 A(0° 180°,二 A = 90°,二 C= 60°,故選 C已知 ABC的內角A, B, C的對邊分別為a, b, c,c bsi nA且c a sinC + sinB，貝B 等于(nA6nB4nC33nDPa b解析根據(jù)正弦定理2R sinA

10、 sinB sinC ，c b 得sinAc a si nC + sinB c+ b'a2 + c2 b2即 a2 + c2 b2 = ac,得 cosB=20c1=2,n故B = 3,故選C.在厶ABC中，角2 nC對應的邊分別為a, b, c,若A =2n，a= 2, b=5 nBEn、5 neg或石2 n解析/ A = -3-,a= 2,b =穿，.由正弦定理sin A = siB可得，sinB = asinA =/ A = 2n3，設厶ABC的內角A, B, C所對邊的長分別為a,2 nn3 nA虧BqC.匸nBnb, c,若 b+ c= 2a,3sinA = 5sinB,則角

11、 C5 nDW等于（）解析 因為3sinA= 5sinB，所以由正弦定理可得33a = 5b.因為 b+ c=2比所以 c = 2a-3a=7a.令 a= 5,b = 3, c= 7,則由余弦定理 c2= a2+ b2 2abcosC，得 49= 25+ 9 2X3X5cosC,解得cosC= 1所以C= 2nnn在厶ABC中，內角A, B, C所對的邊分別是a, b,c,若 宀（a b）2 + 6, ABC的面積是（）9 .333B. 2C. 2解析 / C= (a b)2 + 6, C = a2 + b2 2ab+ 6.I C_n,c2_ a2+ b2 2abcosn_ a2 + b2 a

12、b.由得一ab+ 6_0, 即 ab_6, Saabc_ 1absinC_蘇623_J3.填空題 ABC中，若bcosC+ ccosB = as"人，則厶ABC的形狀為解析 由已知得 sinBcosC+ cosBsinC= sin2A, sin(B + C) = sin2A, sinA = sin2A,n又sinA工0, sinA = 1, A =刁 ABC為直角三角形.在厶ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,若角A, B, C依次成等差數(shù)列，且3 ,則Sa= 1, b= ABC =解析因為角A, B, C依次成等差數(shù)列，所以60。.由正弦定理，得晶1 譎，。解得

13、得 sinA=舟,i因為0°<AV 180°所以A = 30°或150°舍去），此時C = 90°所以Saabc =藝匕=專sin2A在厶 ABC 中，a_ 4 , b_ 5 , c_6,則 _b2 + c2 a2 25 + 36 16 解析 由余弦定理：cosA =2bc_2X5X 63， si nAa2+ b2 c2 16+ 25 36 cosC =2ab_ 12X4X 5 _8,W7 sinC 8 ,3.7sin2A_ 2X 4X 4 _ sinC _ 3一7 _ 1"8-在厶ABC中，角A,B, C的對邊分別為a, b,

14、 c若(a2 + c2 b2)tanB_V3ac,貝蛹B的值為a2+ c2 b2J3n 2解析由余弦定理，得 20c_cosB ,結合已知等式得 cosBtanB_牙, sinB_三", B_3或在厶ABC中,角A , B , C的對邊分別為a , b , c ,已知bcosC+ 3bsinC a c_ 0,則角B_解析 由正弦定理知，sin BcosC+ 3si nBsi nC si nA si nC = 0 / sinA = sin(B+ C) = sinBcosC+ cosBsinC,代入上式得 3sinBsinC cosBsinC sinC= 0nn 1sinC>0,

15、3sinB cosB 1= 0,二2sin B g = 1,即 sin B 石=.在厶ABC中,已知si nA : si nB = J2 ： 1 , c2= b2+J2bc,則三內角 A , B , C的度數(shù)依次是解析 由題意知 a= 2b , aF= b2+ c2 2bccosA ,即 2b2 = b2 + c2 2bccosA , 又 c2= b2 + 2bc , cosA = ¥ , A = 45° ° sinB = 2 , B = 30° ° C= 105°.c=1設厶ABC的內角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,且

16、a= 2, cosC= 4, 3sinA= 2sinB,則解析 由 3sinA = 2sinB 及正弦定理，得 3a = 2b ,又 a=2,所以 b = 3,故 c2 = a2 + b2 2abcosC= 4+ 9 2X 2X 3X 4 = 16 ,所以 c= 4.n設厶ABC的內角A, B, C的對邊分別為a , b , c.若a= 3 , sinB = q, C = &,則b =1解析因為sinB = 2且B (0, n)所以B =5 nB =石.nn2 n又 C = 6 , B + C< n ,所以 B = g , A = n B C= "3.又a= 3 ,由正

17、弦定理得snA=而,即2n= nsin -3 sin在厶 ABC 中,A= 60° ° AC = 2 , BC = 3 ,貝U AB =解析 T A = 60°, AC = 2, BC = yJ3,設AB = x，由余弦定理，得BC2 = AC2+ AB2 2AC ABcosA ,即 AB = 1.化簡得 x2 2x+ 1 = 0, x = 1 ,在 ABC 中，A=守，a= 3c ,則 b =2i解析 在厶ABC 中，a2= b2+ c2 2bccosA，將 A =才,a= 3c代入，可得(，3c)2= b2 + c2 2bc ,整理得2c2= b2+ bc,

18、t cm 0, 等式兩邊同時除以c2,得2= ;2 + 2,可解得b= 1c cc在厶ABC中，內角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,已知 ABC的面積為唧15, b c= 2, cosA14則a的值為解析 t cosA = 4, 0v A v n, si nA = 尹,11/15Saabc = qbcsinA = qbcx 4 = 3/15, bc= 24,又 b c= 2, b2 2bc+ c2 = 4, b2 + c2= 52,由余弦定理得，a2 =b2 + c2 2bccosA = 52 2X 24 x14 = 64,二 a= 8.解答題在厶ABC中，內角A, B, C所對的

19、邊分別是a, b,c,已知A=4,b2 a2=護求tanC的值;(2)若厶ABC的面積為3,求b的值.1解(1 )由b2 a2 = 2c2及正弦定理得1冗qsin2C.所以一cos2B = sin2C.又由 A = 4,33cos2B = cos24 n C = cos 2 n 2C = sin2C = 2sinCcosC,，由 tanC= 2, C (0,冗得 sinC= 2-5, cosC = , 因為 si nB = sin (A + C) = sin n+ C，所以 si nB = ；0, 由正弦定理得c= 2§2b,又因為A =才，*bcsinA = 3,所以bc= 62,

20、故b= 3.sin 2B3即B + C=4冗,由解得tanC= 2已知a, b, c分別為 ABC三個內角 A, B, C的對邊，a= . 3bsinA acosB.求角B;若b= 2,ABC的面積為.3,求a, c.解 (1)由 a= 3bsi nA acosB 及正弦定理，得 si nA= 3s in B si nA sin A osB, t 0<A<n,si nA>0,n 1n n 5 nn寸3sinB cosB = 1，即卩 sin B 召=2，又 v 0<B< n石<B 6<6，二 B =31 I S= qacsinB = 3, ac= 4,

21、，又：b2= a2 + c2 2accosB，即 a2+ c2= 8. 由聯(lián)立解得a = c= 2.如圖，在 ABC中，D是BC上的點，AD平分/ BAC， ABD面積是 ADC面積的2倍. 求邀；若AD = 1, DC=¥，求BD和AC的長. abd = 2aB ADsin / BAD， Saadc =1AC AD si n/ CAD.因為Sa ABD=2Saadc，/ BAD = /CAD，所以AB = 2AC,由正弦定理可得 黑=緒=亦(2)因為 Saabd : Saadc = BD : DC，所以 BD = 2.在厶ABD和厶ADC中，由余弦定理，知AB2 = AD2+ BD

22、2 2AD BDcos/ ADB，AC2=AD2+ DC2 2AD DCcos/ ADC.故 AB2+ 2AC2= 3AD2+ BD2+ 2DC2= 6,由(1)知 AB = 2AC，所以 AC = 1.在 ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a cfb，si nB= 6si nC求cosA的值;n求cos2A 6的值.解(1) ABC 中，由爲=sfc，及 sinB = V6sinC，可得 b=V6c，6,b2 + c2 a2"b,有 a = 2c，所以 cosA=2bc =(2)在 ABC 中，由 cosA；6，可得 si nA =于是，cos2A = 2coW

23、A 1 = 1 sin2A = 2sinA cosA 二544又由a c=6c2 + c24c264所以，cos2A 冒=cos2Acosg+ sin2Asin&= 4115 3已知 a, b, c分別為 ABC 三個內角 A, B, C 的對邊，a= 2,且(2+ b)(sinA sinB) = (c b)sinC,則厶ABC面積的最大值為.解析由正弦定理，可得(2 + b)(a b) = (c b) -a 2, a? b?= c? bc, 即卩 b?+ c? a?= bc由余弦定理，得cosA-瓷空-2, AsinA-母由 b2 + c2 bc= 4, 得 b2 + c2= 4+

24、bc.1T b2+ c2>2bc,即 4+ bc> 2bc,二 bc< 4,二 Sabc = bc sinAW ,3,即(Smbc) max 二 3.在厶ABC中，內角A, B , C所對的邊分別為a, b, c.已知a b, c/3, cos2A co$B=3si nAcosA3s in BcosB.(1)求角C的大小；4若sinA = 5,求厶ABC的面積.1 + cos2A 1 + cos2B -Jq血解 由題意得 22-si n2A -si n2B,-J31jq1n即 c sin2A：cos2A o sin2B cos2B, sin 2A - sin 2B 22226

25、nn由 ab,得 A工 B，又 A+ B (0, n)所以 2A + 2B gt.4 a c8由 c 3，sinA 5, sinA sinC，得 a 5，3由 avc,得 AvC,從而 cosA 5,4+ 3也故 sinB = sin(A + C)= sinAcosC + cosAsinC =10,18也+18所以， ABC的面積為S acsinB 25在厶ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a,2 nn,即 A + B = 2",所以 C =b, c.已知 cosB,si n(A + B)n3.sinA和c的值.解 在厶ABC 中，由 cosB =馬3 得 sinB =

26、65;6，因為 A + B + C= n,所以 sinC= sin(A + B)= . 因為sinCvsinB,所以CvB，可知C為銳角.所以cosC= 53.因此 si nA = si n(B + C) = sin BcosC + cosBs in C= fx 5933396=22.2/2由聶二金，可得 a= sinC= _76 二 2 3c，又 ac= 2 3 所以 c= 1.9專項能力提升在厶 ABC 中，AC= 7, BC = 2,VB弩B = 60°貝U BC邊上的高等于（）C.3+62D.,3+ ,394二 c= 3(負值舍去）. BC邊上的高為 AB sinB = 3x

27、.3 3；32 = 2解析 設 AB = c,則由 AC2 = AB2+ BC2 2AB BC osB 知 7= c2 + 4-2c,即 c2-2c 3 = 0在厶ABC中，內角 A, B, C所對的邊長分別是 a, b, c,若c-acosB = (2a- b)cosA，則 ABC的形狀為()A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形解析 I c acosB = (2a b)cosA, C= n (A + B),由正弦定理得 sinC sinAcosB = 2sinAcosA sinBcosA, sin AcosB + cosAs inB sin AcosB = 2sin AcosA sin BcosA cosA(sinB sinA)= 0, cosA = 0 或 sinB = sinA, A=2或 B = A 或 B = n A(舍去)， ABC為等腰或直角三角形.在厶ABC中，三個內角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, '若 Sa ABC =2 3, a+ b= 6,acos B + bcos Ac=2cosC,則 c=()A. 2