二次型的標(biāo)準(zhǔn)型與規(guī)范型（課堂PPT）

1、 不難看出，二次型不難看出，二次型 (4.5) 的矩陣的矩陣 B 為為 n 階對(duì)角階對(duì)角矩陣矩陣.即即B = CTAC = diag(d1 , d2 , , dr , 0 , , 0). 0021rddd),.,(21nyyy nrryyyyy1212222211.rrydydyd rydydydrr的的秩秩為為2222211. .,2 . 4212222211的的全全部部特特征征值值是是二二次次型型的的矩矩陣陣其其中中把把它它化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形使使得得經(jīng)經(jīng)過過正正交交替替換換一一定定存存在在正正交交矩矩陣陣對(duì)對(duì)于于二二次次型型定定理理AyyyQyxQXAXnnnT .,14. 31為為對(duì)對(duì)

2、角角陣陣使使得得正正交交矩矩陣陣且且存存在在一一定定與與對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣相相似似實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣定定理理AQQQA 用正交線性替換化下列二次型為標(biāo)用正交線性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形準(zhǔn)形, 并求出所作的正交線性替換并求出所作的正交線性替換:;222 )(323121321xxxxxx,x,xxf 111111 A|E|,)1)(2(2 .1113 p,21101121 p,p,01121111 ppe,21161222 ppe.11131333 ppe一般地，用正交線性替換將二次型一般地，用正交線性替換將二次型f ( x1 , x2 , xn ) = xTAx (其中其中 AT = A) 化

3、為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟如下化為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟如下: 求出二次型矩陣求出二次型矩陣 A 的全部特征值的全部特征值 1 , 2 , , n ; 求出正交矩陣求出正交矩陣 P，使，使PTAP = diag( 1 , 2 , , n) ; 作正交線性替換作正交線性替換 X = PY ，其中，其中Y = (x1 , x2 , , xn )T Rn ，則二次型，則二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形 1y12 + 2y22 + + nyn2 . 用配方法把三元二次型用配方法把三元二次型32312123222132184432),(xxxxxxxxxxxxf 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線

4、性替換及變換矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性替換及變換矩陣. 用配方法化二次型用配方法化二次型323121321622),(xxxxxxxxxf 為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形.即任何一個(gè)對(duì)稱矩陣都與一個(gè)對(duì)角矩陣合同即任何一個(gè)對(duì)稱矩陣都與一個(gè)對(duì)角矩陣合同. .,A對(duì)對(duì)任任意意對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣為為對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣使使得得矩矩陣陣ACCT,C存存在在可可逆逆矩矩陣陣即即為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣使使都存在一個(gè)可逆矩陣都存在一個(gè)可逆矩陣對(duì)任意對(duì)稱矩陣對(duì)任意對(duì)稱矩陣定理定理, 3 . 4ACCCAT線線性性替替換換化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形每每個(gè)個(gè)二二次次型型都都可可經(jīng)經(jīng)可可逆逆定定理理3 . 4,AxxT對(duì)對(duì)任任意意二二次次型

5、型為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形使得使得yACCyTT)(,Cyx 存存在在可可逆逆線線性性替替換換 EA EAPsTP2TP1TAP1P2PsP1P2Ps3231212322218241212312xxxxxxxxxf 用初等變換法化二次型用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形. 用初等變換法化二次型用初等變換法化二次型323121321622),(xxxxxxxxxf 為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形.標(biāo)準(zhǔn)形唯一嗎？標(biāo)準(zhǔn)形唯一嗎？ 標(biāo)準(zhǔn)形不唯一標(biāo)準(zhǔn)形不唯一!323121321622),(xxxxxxxxxf 如果二次型如果二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = xTAx (其中其中 AT =A) 通過可逆線性替換可以化為通過可逆線性替換可以化為則稱上式為該二次型的則稱上式為該二次型的 規(guī)范形中規(guī)范形中, ,正項(xiàng)的個(gè)數(shù)正項(xiàng)的個(gè)數(shù) p 稱為二次型的稱為二次型的, ,負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)rp 稱為二次型的稱為二次型的. . r 是二次型的秩是二次型的秩. . p ( r p ) = 2p r 稱為二次型的稱為二次型的 推論推論1 任一實(shí)對(duì)稱矩陣任一實(shí)對(duì)稱矩陣A A都與對(duì)角矩陣都與對(duì)角矩陣合同合同, ,其中其中 1 和和1的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)共有共有r個(gè)個(gè), ,r 為二次型的秩為二次型的秩. . OEEprp推論推論 2 兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件是它們具有相同的正慣指數(shù)