大學(xué)物理第五章機(jī)械振動(dòng)習(xí)題解答和分析

1、5-1 有一彈簧振子，振幅A=2.010-2m，周期T=1.0s，初相=3/4.試寫出它的振動(dòng)位移、速度和加速度方程。分析 根據(jù)振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)形式得出振動(dòng)方程，通過求導(dǎo)即可求解速度和加速度方程。 解：振動(dòng)方程為：x=Acost+=Acos342Tt+ 代入有關(guān)數(shù)據(jù)得：x=0.02cos2t+振子的速度和加速度分別是：v=dx/dt=-0.04sin2t+3434(SI) (SI) a=dx/dt=-0.08cos2t+222(SI)5-2若簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程為x=0.1cos20t+/4m，求：（1）振幅、頻率、角頻率、周期和初相；（2）t=2s時(shí)的位移、速度和加速度.分析 通過與簡(jiǎn)諧振動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比，

2、得出特征參量。解：(1)可用比較法求解.根據(jù)x=Acost+=0.1cos20t+/4 得：振幅A=0.1m，角頻率=20rad/s，頻率=/2=10s 周期T=1/=0.1s，=/4rad（2）t=2s時(shí)，振動(dòng)相位為：=20t+/4=(40+/4)rad22 由x=Acos，=-Asin，a=-Acos=-x得 -1，x=0.0707m,=-4.44m/s,a=-279m/s5-3質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)，按方程x=0.2sin5t-(/6)(SI)沿著x軸振動(dòng).求：（1）t=0時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大?。唬?）作用于質(zhì)點(diǎn)的力的最大值和此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置.分析 根據(jù)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征和已知的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程求

3、解，位移最大時(shí)受力最大。2解：（1）跟據(jù)f=ma=-mx，x=0.2sin5t-(/6) 2將t=0代入上式中，得：f=5.0N2 （2）由f=-mx可知，當(dāng)x=-A=-0.2m時(shí)，質(zhì)點(diǎn)受力最大，為f=10.0N5-4為了測(cè)得一物體的質(zhì)量m，將其掛到一彈簧上并讓其自由振動(dòng)，測(cè)得振動(dòng)頻率1=1.0Hz；而當(dāng)將另一已知質(zhì)量為m的物體單獨(dú)掛到該彈簧上時(shí)，測(cè)得頻率為2=2.0Hz.設(shè)振動(dòng)均在彈簧的彈性限度內(nèi)進(jìn)行，求被測(cè)物體的質(zhì)量.分析 根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率公式比較即可。 解：由=12k/m，對(duì)于同一彈簧（k相同）采用比較法可得：12=mm解得：m=4m5-5一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅A=2.010

4、（1）物體在正方向端點(diǎn)；（2）物體在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；（3）物體在x=1.010-2-2m，周期T=0，當(dāng)t=0時(shí)， m處，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；-2（4）物體在x=-1.010m處，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng).求以上各種情況的振動(dòng)方程。分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量圖由位移和速度確定相位。進(jìn)而得出各種情況的振動(dòng)方程。 解：設(shè)所求振動(dòng)方程為：x=Acos由A旋轉(zhuǎn)矢量圖可求出1=0,2=/2,3=/3,4=2/3 2Tt+=0.02cos4t+題圖5-5（1）x=0.02cos4t(SI)（2）x=0.02cos4t+（3）x=0.02cos4t+32(SI) 23(SI) (SI)（4）x=0.02cos4t+ 25-6

5、在一輕彈簧下懸掛m0=100g砝碼時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)8cm.現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛m=250g的物體，構(gòu)成彈簧振子.將物體從平衡位置向下拉動(dòng)4cm，并給以向上的21cm/s的初速度（令這時(shí)t=0）.選x軸向下，求振動(dòng)方程.分析 在平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，由初始條件得出特征參量。解：彈簧的勁度系數(shù)k=m0g/l。當(dāng)該彈簧與物體m構(gòu)成彈簧振子，起振后將作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可設(shè)其振動(dòng)方程為：x=Acost+ 角頻率為=k/m代入數(shù)據(jù)后求得=7rad/s以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，有：x0=0.04m,v0=-0.21m/s 據(jù)A=x0+(v0/)得：A=0.05m -122據(jù)=cosx0A得=0.64rad由于v00

6、由旋轉(zhuǎn)矢量法可知；0=-又 t=1s,t-33=2 =5656t-故：x=0.1cos(3)m題圖5-7（2） P點(diǎn)的相位為0tp+0=56tp-3=0tp=0.4s即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)相應(yīng)狀態(tài)所要的最短時(shí)間為0.4s5-8有一彈簧，當(dāng)下面掛一質(zhì)量為m的物體時(shí)，伸長(zhǎng)量為9.810且規(guī)定向下為正方向.（1）當(dāng)t0時(shí)，物體在平衡位置上方8.010-2-2m.若使彈簧上下振動(dòng)，m，由靜止開始向下運(yùn)動(dòng)，求振動(dòng)方程.(2) 當(dāng)t0時(shí)，物體在平衡位置并以0.6m/s的速度向上運(yùn)動(dòng)，求振動(dòng)方程. 分析 根據(jù)初始條件求出特征量建立振動(dòng)方程。解：設(shè)所求振動(dòng)方程為：x=Acos(t+) mglgl其中角頻率=k/m=/

7、m=，代入數(shù)據(jù)得：=10rad/s（1）以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，根據(jù)題意有：x0=-0.08m,v0=0 據(jù)A=x0+(v0/)得：A=0.08m -122據(jù)=cosx0A得=rad由于v00,不妨取=rad于是，所求方程為：x1=0.08cos(10t+)(SI)（2）以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，根據(jù)題意有：x0=0,v0=-0.6m/s 據(jù)A=x0+(v0/)得：A=0.06m -122據(jù)=cosx0A得=/2rad由于v00,應(yīng)取=/2rad于是，所求方程為：x2=0.06cos(10t+/2)(SI)5-9 一質(zhì)點(diǎn)沿x 軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為x=410-2cos(2t+起到質(zhì)點(diǎn)位置在

8、x=-2cm處，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間.分析 由旋轉(zhuǎn)矢量圖求得兩點(diǎn)相位差，結(jié)合振動(dòng)方程中特征量即可確定最短時(shí)間。 解: 依題意有旋轉(zhuǎn)矢量圖從圖可見= 3)(SI)，求：從 t=0時(shí)刻而=t=2(t0-0)解答圖5-9故所求時(shí)間為：t0=12s5-10兩個(gè)物體同方向作同方向、同頻率、同振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在振動(dòng)過程中，每當(dāng)?shù)谝粋€(gè)物體經(jīng)過位移為A/2的位置向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，第二個(gè)物體也經(jīng)過此位置，但向遠(yuǎn)離平衡位置的方向運(yùn)動(dòng)，試?yán)眯D(zhuǎn)矢量法求它們的相位差.分析 由旋轉(zhuǎn)矢量圖求解。根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度的方向與位移共同確定相位。 解：由于x10=A/由于x20=A/2、v100可求得：2=-/4如圖5-10

9、所示，相位差：=1-2=/2題圖5-10題圖5-11 題圖5-115-11一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如題圖5-11所示，求振動(dòng)方程.分析 利用旋轉(zhuǎn)矢量圖求解，由圖中兩個(gè)確定點(diǎn)求得相位，再根據(jù)時(shí)間差求得其角頻率。 解：設(shè)所求方程為x=Acos(t+)當(dāng)t=0時(shí)：x1=-5cm,v10據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出， t=2=3/2rad所以，2秒內(nèi)相位的改變量=t=2-t=0=3/2-2/3=5/6rad據(jù)=t可求出：=/t=5/12rad/s 于是：所求振動(dòng)方程為：x=0.1cos(512t+23)(SI)5-12 在光滑水平面上,有一作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧振子,彈簧的勁度系數(shù)為K,物體的質(zhì)量為m,振幅為A.當(dāng)物體

10、通過平衡位置時(shí),有一質(zhì)量為m的泥團(tuán)豎直落到物體上并與之粘結(jié)在一起.求:（1）m和m粘結(jié)后,系統(tǒng)的振動(dòng)周期和振幅;（2）若當(dāng)物體到達(dá)最大位移處,泥團(tuán)豎直落到物體上,再求系統(tǒng)振動(dòng)的周期和振幅.分析 系統(tǒng)周期只與系統(tǒng)本身有關(guān)，由質(zhì)量和勁度系數(shù)即可確定周期，而振幅則由系統(tǒng)能量決定，因此需要由動(dòng)量守恒確定碰撞前后速度，從而由機(jī)械能守恒確定其振幅。 解:（1）設(shè)物體通過平衡位置時(shí)的速度為v,則由機(jī)械能守恒:12KA=212mv2v=當(dāng)m豎直落在處于平衡位置m上時(shí)為完全非彈性碰撞,且水平方向合外力為零,所以 mv=(m+m)uu=mm+mv此后,系統(tǒng)的振幅變?yōu)锳,由機(jī)械能守恒,有12KA=212(m+m)u

11、=2 A=系統(tǒng)振動(dòng)的周期為: T=2m+mK（2）當(dāng)m在最大位移處m豎直落在m上，碰撞前后系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)量均為零，因而系統(tǒng)的振幅仍為A,周期為2m+mK.5-13 設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m,半徑為R,掛在墻上的釘子上.求它微小振動(dòng)的周期. 分析 圓環(huán)為一剛體須應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，而其受力可考慮其質(zhì)心。解: 如圖所示,轉(zhuǎn)軸o在環(huán)上,角量以逆時(shí)針為正,則振動(dòng)方程為Jddt22=-mgRsin當(dāng)環(huán)作微小擺動(dòng)sin時(shí), ddt22+=0 2=2解答圖5-13J=2mRT=2=2514 一輕彈簧在60 N的拉力下伸長(zhǎng)30 cm現(xiàn)把質(zhì)量為4 kg的物體懸掛在該彈簧的下端并使之靜止 ，再把物體向下拉10 cm，然后

12、由靜止釋放并開始計(jì)時(shí)求 (1) 此小物體是停在振動(dòng)物體上面還是離開它？(2) 物體的振動(dòng)方程；(3) 物體在平衡位置上方5 cm時(shí)彈簧對(duì)物體的拉力；(4) 物體從第一次越過平衡位置時(shí)刻起到它運(yùn)動(dòng)到上方5 cm處所需要的最短時(shí)間(5) 如果使放在振動(dòng)物體上的小物體與振動(dòng)物體分離，則振幅A需滿足何條件？二者在何位置開始分離？分析 小物體分離的臨界條件是對(duì)振動(dòng)物體壓力為零，即兩物體具有相同的加速度，而小物體此時(shí)加速度為重力加速度，因此可根據(jù)兩物體加速度確定分離條件。解： 選平衡位置為原點(diǎn)，取向下為x軸正方向。由：f=kx k=fx=200N/m7.07rad/s (1) 小物體受力如圖設(shè)小物體隨振動(dòng)

13、物體的加速度為a，按牛頓第二定律有 mg-N=maN=m(g-a)當(dāng)N = 0，即a = g時(shí)，小物體開始脫離振動(dòng)物體，已知 A = 10 cm，k=200N/m,題圖514 7.07rad/s系統(tǒng)最大加速度為 amax=A=5ms此值小于g，故小物體不會(huì)離開(2) t=0時(shí)，x0=10cm=Acos,解以上二式得 A=10cmv0=0=-Asin 2-2=0題圖514 振動(dòng)方程x=0.1cos(7.07t)(SI) (3) 物體在平衡位置上方5 cm時(shí)，彈簧對(duì)物體的拉力 f=m(g-a) ，而a=-x=2.5ms f=29.2N 2-2(4) 設(shè)t1時(shí)刻物體在平衡位置，此時(shí)x=0，即0=Ac

14、ost1, 此時(shí)物體向上運(yùn)動(dòng)， v0 t1=2,t1=2=0.222s。再設(shè)t2時(shí)物體在平衡位置上方5cm處，此時(shí)x=-5cm，即-5=Acost2,此時(shí)物體向上運(yùn)動(dòng)，v g，小物體能脫離振動(dòng)物體，開始分離的位置由N = 0求得g=a=-xx=-g/=-19.6cm 22即在平衡位置上方19.6 cm處開始分離，由amax=Ag，可得Ag/=19.6cm。5-15在一平板下裝有彈簧，平板上放一質(zhì)量為1.0Kg的重物.現(xiàn)使平板沿豎直方向作上下簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為0.50s，振幅為2.010-222m，求：（1）平板到最低點(diǎn)時(shí)，重物對(duì)板的作用力；（2）若頻率不變，則平板以多大的振幅振動(dòng)時(shí)，重物會(huì)跳離平

15、板？（3）若振幅不變，則平板以多大的頻率振動(dòng)時(shí)，重物會(huì)跳離平板？分析 重物跳離平板的臨界條件是對(duì)平板壓力為零。解：重物與平板一起在豎直方向上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，向下為正建立坐標(biāo)，振動(dòng)方程為：x=0.02cos(4t+)設(shè)平板對(duì)重物的作用力為N，于是重物在運(yùn)動(dòng)中所受合力為：f=mg-N=ma，而a=-x 2據(jù)牛頓第三定律，重物對(duì)平板的作用力N為：N=-N=-m(g+2x)（1）在最低點(diǎn)處：x=A,由上式得，N=12.96N（2）頻率不變時(shí)，設(shè)振幅變?yōu)锳,在最高點(diǎn)處（x=-A）重物與平板間作用力最小，設(shè)N=0可得：A=g/=0.062m 2（3）振幅不變時(shí)，設(shè)頻率變?yōu)?，在最高點(diǎn)處（x=-A）重物與平板間作

16、用力最小，設(shè)N=0可得：=/2=3.52Hz5-16一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.06m，周期為2.0s，當(dāng)t=0時(shí)位移為0.03m，且向軸正方向運(yùn)動(dòng)，求：（1）t=0.5s時(shí)，物體的位移、速度和加速度；（2）物體從x=-0.03m處向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)開始，到達(dá)平衡位置，至少需要多少時(shí)間？ 分析 通過旋轉(zhuǎn)矢量法確定兩位置的相位從而得到最小時(shí)間。解：設(shè)該物體的振動(dòng)方程為x=Acos(t+)依題意知：=2/T=rad/s,A=0.06m x0A據(jù)=cos-1得=/3(rad)由于v00,應(yīng)取=-/3(rad)可得：x=0.06cos(t-/3)（1）t=0.5s時(shí)，振動(dòng)相位為：=t-/3=/6r

17、ad據(jù)x=Acos,得x=0.052m,v=-Asin,v=-0.094m/s,a=-Acos=-x a=-0.512m/s 222（2）由A旋轉(zhuǎn)矢量圖可知，物體從x=-到達(dá)平衡位置時(shí)，mm處向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，A矢量轉(zhuǎn)過的角度為=5/6，該過程所需時(shí)間為：t=/=0.833s題圖5-165-17地球上（設(shè)g=9.8m/s）有一單擺，擺長(zhǎng)為1.0m，最大擺角為5，求：（1）擺的角頻率和周期；（2）設(shè)開始時(shí)擺角最大，試寫出此擺的振動(dòng)方程；（3）當(dāng)擺角為3時(shí)的角速度和擺球的線速度各為多少？分析 由擺角最大的初始條件可直接確定其初相。解：（1）=3.13rad/s T=2/=2.01s2 （2）由t=

18、0時(shí)，=max=5可得振動(dòng)初相=0，則以角量表示的振動(dòng)方程為=36cos3.13t(SI)（3）由=36cos3.13t(SI)，當(dāng)=3時(shí)，有cos=/max=0.6而質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度為：d/dt=-maxsin=-max=-0.218rad/s 線速度為：v=ld/dt=0.218m/s5-18 有一水平的彈簧振子,彈簧的勁度系數(shù)K=25N/m,物體的質(zhì)量m=1.0kg,物體靜止在平衡位置.設(shè)以一水平向左的恒力F=10 N作用在物體上(不計(jì)一切摩擦),使之由平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了0.05m,此時(shí)撤除力F,當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到最左邊開始計(jì)時(shí),求物體的運(yùn)動(dòng)方程. 分析 恒力做功的能量全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)能量，由能

19、量守恒可確定系統(tǒng)的振幅。 解: 設(shè)所求方程為x=Acos(t+0)=5rad/s因?yàn)椴挥?jì)摩擦,外力做的功全轉(zhuǎn)變成系統(tǒng)的能量,故Fx=12KAA=2=0.2m又 t=0,x0=-A,0=故所求為 x=0.2cos(5t+)(SI)5-19如題圖519所示，一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)( t = 0 )，經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過B點(diǎn)，再經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率，且AB = 10 cm求：(1) 質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2) 質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)處的速率分析 由質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率可知A、B兩點(diǎn)在平衡位置兩側(cè)距平衡位置相等距

20、離的位置，再聯(lián)系兩次經(jīng)過B點(diǎn)的時(shí)間即可確定系統(tǒng)的周期，而相位可由A、B兩點(diǎn)位置確定。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖和 vA=vB 可知 T2=4s,T=8s,=18s,-1題圖5-19=2=4rads-1(1)以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸指向右方 t=0時(shí)，x=-5cm=Acost=2s時(shí)，x=5cm=Acos(2+)=-Asin由上二式解得 tg=1因?yàn)樵贏點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的速度大于零，所以=A=x/cos=-34或54題解圖5-19 振動(dòng)方程x=10dxdt-23cos(-)SI)44t(2) 速率v=t4-34)(SI)當(dāng)t = 0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)v=dxdt=10-2sin(-34)=3.9310-2ms-1

21、5-20一物體放在水平木板上，這木板以=2Hz的頻率沿水平直線作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，物體和水平木板之間的靜摩擦系數(shù)s=0.50，求物體在木板上不滑動(dòng)時(shí)的最大振幅Amax. 分析 物體在木板上不滑動(dòng)的臨界條件是摩擦力全部用來產(chǎn)生其加速度。解：設(shè)物體在水平木板上不滑動(dòng),豎直方向：N-mg=0水平方向：fx=-ma且fxsN又有a=-Acos(t+)2(1)(2)(3)(4)由(1)(2)(3)得amax=smg/m=sg再由此式和(4)得Amax=sg/=sg/(4)=0.031m2225-21在一平板上放一質(zhì)量為m=2kg的物體，平板在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)周期（1）物體對(duì)平板的壓力的表達(dá)式. T=0

22、.5s，振幅A=4cm，求：（2）平板以多大的振幅振動(dòng)時(shí)，物體才能離開平板？分析 首先確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，再根據(jù)物體離開平板的臨界位置為最高點(diǎn)，且對(duì)平板壓力為零。解：物體與平板一起在豎直方向上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，向下為正建立坐標(biāo)，振動(dòng)方程為：x=0.04cos(4t+)(SI)設(shè)平板對(duì)物體的作用力為N，于是物體在運(yùn)動(dòng)中所受合力為：f=mg-N=ma=-mx（1）據(jù)牛頓第三定律，物體對(duì)平板的作用力N為：N=-N=-m(g+x)即：N=-m(g+16x)=-19.6-1.28cos(4t+)（2）當(dāng)頻率不變時(shí)，設(shè)振幅變?yōu)锳，在最高點(diǎn)處（x=-A）物體與平板間作用力最小 令N=0可得：A=g/=0.062m5

23、-22一氫原子在分子中的振動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng).已知?dú)湓淤|(zhì)量m=1.6810頻率=1.0101422222-27振動(dòng)Kg，Hz，振幅A=1.010-11m.試計(jì)算：(1)此氫原子的最大速度；(2)與此振動(dòng)相聯(lián)系的能量.分析 振動(dòng)能量可由其最大動(dòng)能（此時(shí)勢(shì)能為零）確定。解：(1)最大振動(dòng)速度：vm=A=2A=6.2810m/s(2)氫原子的振動(dòng)能量為：E=12mvm=3.31102-203J5-23 一物體質(zhì)量為0.25Kg，在彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，彈簧的勁度系數(shù)k=25N/m，如果起始振動(dòng)時(shí)具有勢(shì)能0.06J和動(dòng)能0.02J，求：(1)振幅；(2)動(dòng)能恰等于勢(shì)能時(shí)的位移；(3)經(jīng)過平衡位置時(shí)物

24、體的速度.分析 簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量守恒，其能量由振幅決定。 解：（1）E=EK+EP=A=2(EK+EP)/k1/212kA 2=0.08(m)(2)因?yàn)镋=EK+EP=2212kA，當(dāng)EK=EP時(shí)，有2EP=E，又因?yàn)镋P=kx/2 =0.0566(m) 22得：2x=A，即x=A/(3)過平衡點(diǎn)時(shí)，x=0，此時(shí)動(dòng)能等于總能量E=EK+EP=v=2(EK+EP)/m1/212mv 2=0.8(m/s)5-24 一定滑輪的半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，其上掛一輕繩，繩的一端系一質(zhì)量為m的物體，另一端與一固定的輕彈簧相連，如題圖524所示.設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，繩與滑輪間無滑動(dòng)，且忽略軸的摩擦力及空氣阻力.

25、現(xiàn)將物體m從平衡位置拉下一微小距離后放手，證明物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求出其角頻率.分析 由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律確定其加速度與位移的關(guān)系即可得到證明。解：取如圖x坐標(biāo),平衡位置為原點(diǎn)O，向下為正，m在平衡位置時(shí)彈簧已伸長(zhǎng)x0 mg=kx0(1)設(shè)m在x位置，分析受力，這時(shí)彈簧伸長(zhǎng)x+x0T2=k(x+x0)(2) 由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程：mg-T1=maT1R-T2R=J(3) (4) a=R(5)k(J/R)+m2題圖5-24 聯(lián)立(1)(2)(3)(4)(5)解得a=-x由于x系數(shù)為一負(fù)常數(shù)，故物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率為:=k(J/R)+m2=kR22J+mR題圖5-245-25兩個(gè)同

26、方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為:x1=410x2=310-2-2cos2(t+18)(SI),cos2(t+-2)(SI)求：（1）合振動(dòng)的振幅和初相；（2）若另有一同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)x3=510cos(2t+)(SI)，則為多少時(shí)，x1+x3的振幅最大？又為多少時(shí)，x2+x3的振幅最?。糠治?合振動(dòng)的振幅由其分振動(dòng)的相位差決定。 解：（1）x=x1+x2=Acos(2t+)按合成振動(dòng)公式代入已知量，可得合振幅及初相為A=10-2=6.4810-2m=arctg4sin(/4)+3sin(/2)4cos(/4)+3cos(/2)-2=1.12rad所以，合振動(dòng)方程為x=6.4810cos(

27、2t+1.12)(SI)(2)當(dāng)-1=2k，即=2k+/4時(shí)，x1+x3的振幅最大. 當(dāng)-2=(2k+1)，即=2k+3/2時(shí)，x2+x3的振幅最小.5-26有兩個(gè)同方向同頻率的振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為0.2m，合振動(dòng)的相位與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為/6，第一個(gè)振動(dòng)的振幅為0.173m，求第二個(gè)振動(dòng)的振幅及兩振動(dòng)的相位差。 分析 根據(jù)已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。 解：采用旋轉(zhuǎn)矢量合成圖求解取第一個(gè)振動(dòng)的初相位為零，則合振動(dòng)的相位為=/6 據(jù)A=A1+A2可知A2=A-A1,如圖：A2=A1+A-2AA1cos=0.1(m) 22由于A、A1、A2的量值恰好滿足勾股定理， 故A1與A2垂直.即第二振動(dòng)與第一振動(dòng)的相位差為=/2527一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為x1=510-2題圖5-26 cos(4t+/3)(SI)，x2=310-2sin(4t-/6)(SI)畫出兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量