球的體積和表面積(附答案)

1、球的體積和外表積學(xué)習(xí)目標(biāo)外表積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的外表積和體積 2能解決與球有關(guān)的組合體的計(jì)算 問題退梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一球的體積公式與外表積公式4v= 3 n3(其中r為球的半徑).外表積公式s= 4n2.思考 球有底面嗎？球面能展開成平面圖形嗎？答球沒有底面，球的外表不能展開成平面知識點(diǎn)二球體的截面的特點(diǎn)1球既是中心對稱的幾何體，又是軸對稱的幾何體，它的任何截面均為圓，它的三視圖也都 是圓.2利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問 題的主要途徑.題型探究重點(diǎn)突破題型一球的外表積和體積例1(1)球的外表積為 64 n求它的體積；球的體積為530n求它

2、的外表積.解 設(shè)球的半徑為 R,那么4n2= 64n解得R= 4,所以球的體積V = 3 tR3 = 4 n-3= 256 n.43 500設(shè)球的半徑為 R,那么33=可 n解得R= 5, 所以球的外表積 S= 4 nR2= 4 nX 52= 100 n.跟蹤訓(xùn)練1一個(gè)球的外表積是16 n,那么它的體積是小64 n “32 nA.64 n B.-3C.32 n D.-3答案 D解析 設(shè)球的半徑為 R,那么由題意可知4冗R2 = 16n,故R= 2.所以球的半徑為 2,體積V= 3 nR33=32=壬n 題型二球的截面問題例2平面a截球00到平面a的距離為2,那么此球的體積為A. .'6

3、4 6 .''3 n答案 B解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為 O ',M為截面圓上任一點(diǎn)，那么 00' = 2, O ' M = 1.OM = .： ,;2 2+ 1 = .'3.即球的半徑為.'3.(3)3 = 4 ,'3 n .跟蹤訓(xùn)練2長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為.3, .'5,15，那么它的外接球外表積為.解析 如圖，是過長方體的一條體對角線AB的截面，設(shè)長方體有公共頂點(diǎn)的三條棱的長分別為 x, y,乙那么由，xy= .'3,x= 3得 yz=<j5,解得 y= 1,zx=15,z= 5.11 3所以球

4、的半徑R=，AB = 2 x2 + y2 + 2= 2，所以 S 球=4 ttR2 = 9 n.解由三視圖可知該幾何體的下部是棱長為2的正方體，上部是半徑為1的半球，該幾何體題型三球的組合體與三視圖 例3某個(gè)幾何體的三視圖如下列圖，求該幾何體的外表積和體積的外表積為1S= 2 X 4nX 12 + 6 X 22 - nX 12 = 24+ n.該幾何體的體積為V= 23+ 2X |nX 13= 8 +跟蹤訓(xùn)練3有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的外表積之比解設(shè)正方體的棱長為 a. 正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心, 切點(diǎn)是

5、正方體六個(gè)面的中心，經(jīng)過四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面， 如圖所示，那么有2門=a,即 ri = q,所以 Si = 4 n2= na2. 球與正方體的的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對角面得截面,如圖所示，那么22= 2a,即卩2 =2ya,所以 S2= 4 n2= 2 nj2. 正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過球心作正方體的對角面得截面,如圖所示，那么有2g= ,3a,即r3=23a,所以 S3= 4 n2= 3 tq2.綜上可得 Si : S2 : S3= 1 : 2 : 3.解題技巧軸截面的應(yīng)用例4有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)部放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使

6、水面沒過鐵球和球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度分析 分別表示出取出鐵球前后水的體積 t由水的體積不變建立等式 t求出所求量解 如圖，OO是球的最大截面，它內(nèi)切于 ABC，球的半徑為r.設(shè)將球取出后，水平面在MN 處，MN 與 CD 交于點(diǎn) E.那么 DO = r, AD = 3r, AB = AC= BC = 2 , 3r, CD = 3r.由圖形知 V圓錐ceV圓錐CD =3nME2 CE13 n AD 2 CD = CE3 : CD3.又/ V圓錐CD =n( 3r)2 3= 3 Tf3,自杳自糾B.36 n 36 nD.144 罵 144 n3435V 圓錐 ce= V 圓

7、錐 cd V 球 o = 3 n 3 n = 3 n3n3 = CE3 : (3r)3, CE = 3 15r.球沉著器中取出后，水的深度為3 15r.當(dāng)堂檢測外表積和體積分別是A.36 n 144 nC.144 n 36 n2.假設(shè)球的體積與其外表積數(shù)值相等，那么球的半徑等于1A.q3兩個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，熔化成一個(gè)球，這個(gè)大球的半徑是 4假設(shè)球的半徑由R增加為2R,那么這個(gè)球的體積變?yōu)樵瓉淼?倍，外表積變?yōu)樵瓉淼谋度缦铝袌D，那么其外表積為 a12T12I正視圖惻閱*1二譴時(shí)電一、選擇題外表積為24,那么其外接球的體積是A.3 nB.#. 3 n .3 n2一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1

8、的球面上，那么正方體的外表積為A.8.2.3.2:3，那么兩個(gè)球的外表積之比為:9: 27: 3: 1外表積為24 cm2, 個(gè)球內(nèi)切于該正方體，那么這個(gè)球的體積是-33238343A. ,6 n crnB. 3 n crnC.3 n cmDn cm5假設(shè)與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r, R,那么球的外表積為A.4 nr+ R2r2R2RrD. nR+ r26.底面邊長為1，側(cè)棱長為寸2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，那么該球的體積為 32 n4A.B.4 n C.2 nD.3 n7.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球

9、面恰好接觸水面時(shí)測得水深為 6 cm, 如果不計(jì)容器厚度，那么球的體積為 500 n 3866 n 3B.-3cmC.1 372 ncmD.2 048 ncmA. 3 cm3、填空題8.個(gè)幾何體的三視圖單位：m如下列圖，那么該幾何體的體積為m3.9. 一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.假設(shè)球的體積為寧，那么正方體的棱長為10. 正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，假設(shè)該棱錐的高為4,底面邊長為2，那么該球的外表積是.11.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水，假設(shè)放入三個(gè)相同的球球的半徑與圓柱的底面半徑相同后，水恰好淹沒最上面的球 如下列圖，那么球的半徑是 cm.三、解答題12.如下列圖，半徑為 R的

10、半圓內(nèi)的陰影局部以直徑 體，求該幾何體的外表積其中/ BAC = 30°AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何13.一個(gè)高為16的圓錐內(nèi)接于一個(gè)體積為972 n的球，在圓錐內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)切球，求:1圓錐的側(cè)面積；2圓錐的內(nèi)切球的體積.當(dāng)堂檢測答案1答案B解析 球的半徑為 3,外表積 S= 4 n 傘36 n,體積 V = £n 士 36n.2答案 D解析 設(shè)球的半徑為R,那么4kR2= fnR3,所以R= 3.33答案3 2解析 設(shè)大球的半徑為R,那么有3 n3= 2X 4 nX 13,33R3= 2, R= 3 2.4答案 8 44解析 球的半徑為R時(shí)，球的體積為 Vi= 4

11、 tR3,外表積為Si = 4 tR2,半徑增加為2R后，球432的體積為V2= 3 n3= y n3,外表積為S2 = 4n (R)2= 16 %R2.所以ViS2= 16 R2=S1= 4 tR2 =即體積變?yōu)樵瓉淼?8倍，外表積變?yōu)樵瓉淼?4倍.5. 答案 3 n解析由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)半徑為 1的半球，其外表積為半個(gè)球面面積與截面面1積的和，即?X 4 n+ n= 3 n.課時(shí)精練、選擇題1答案C解析 由題意可知，6a2= 24, a= 2.設(shè)正方體外接球的半徑為R,那么4.3a= 2R, R= ,3 - V 球=3 泯'=4：3n.2答案A解析球的半徑為1,且正方體內(nèi)

12、接于球， a，那么有 3a2= 4,即卩 a2 = £.34正方體的外表積為 6a2= 6X 3= 8.33. 答案 A解析 由外表積公式知，兩球的外表積之比為: r2= 1 : 9.4. 答案 D解析 由正方體的外表積為 24 cm2,得正方體的棱長為 2 cm，故這個(gè)球的直徑為 2cm，故4這個(gè)球的體積為3 n cm5. 答案C解析 方法一 如圖，設(shè)球的半徑為ri,那么在Rt CDE中，DE = 2門， CE = R- r, DC = R+ r.由勾股定理得 4帚=(R+ r)2- (R r)2,解得 ri =.Rr.故球的外表積為 S球=4 ni = 4 jRr.方法二 如圖，

13、設(shè)球心為 0,球的半徑為 ri，連接 0A, OB,那么在RtA A0B中，0F是斜邊ABOF2= BF AF = Rr，即r?= Rr，故ri= . Rr，故球的外表積為 S球 =4 uRr.6. 答案D解析正四棱柱 的底面 邊長為1 ,側(cè)棱 長為.'2 , 正四棱 柱的體 對角線 的長為.;1 + 1 + ,2 2T正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上，正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑， 球的半徑 R= 1.44故球的體積為V = - nR3= 3n.337答案A解析 利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解1 1如圖，作出球的一個(gè)截面，那么MC = 8-6 = 2(cm), BM = *AB

14、=8= 4(cm). V 球=3 nX 53 =500設(shè)球的半徑為 R cm，貝U R2= 0M2+ MB2= (R- 2)2 + 42, / R= 5,、填空題8答案 9 n+ 18解析將三視圖復(fù)原為實(shí)物圖后求解由三視圖知，幾何體下面是兩個(gè)球，球半徑為上面是長方體，其長、寬、高分別為6、3、1 ,427所以 V = nx vX 2+ 1 X 3X 6= 9n+ 18.389答案.3解析a,球半徑為R,那么3dR3= 2n, - R= 2， /3a = 3, - a3.10.答案8147t解析R,球心為O,正四棱錐底面中心為E,貝U OE= |4- R|,所以(4 R)2+ (,'2)

15、2= R2,解981 n得r= 4.所以球的外表積 S= 4 n2= 4 .11. 答案 4解析設(shè)球的半徑為r，那么圓柱形容器的高為8cm的水的體積為"3個(gè)球的體積和為3 X 4宀"3,由題意得6宀8宀4R解得 r = 4(cm).三、解答題12. 解 如下列圖,過 C 作 COi±AB 于 01.在半圓中可得 / BCA = 90° / BAC = 30° AB = 2R, AC = 3R, BC = R, COi =S 球=4 tR2,錐 AO1ffi§圓錐ao1« = nX-23RX 3R = |tR2,S圓錐旳1側(cè)=說R=2?nRl，S幾何體表=S球+ §圓錐AO1« + S圓錐BO1fttR2=化宀.故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的外表積為11 + .、32n213. 解(1)如圖作軸截面，那么等腰三角形CAB內(nèi)接于O O, O 01內(nèi)切于 ABC.£設(shè)O O的半徑為R,由題意，得4 nR3= 972 n,3所以 R3= 729, R= 9,所以 CE = 18.CD = 16,所以ED = 2.連接AE,因?yàn)镃