淺談多元函數(shù)微積分學(xué)理論與應(yīng)用

1、淺談多元函數(shù)微積分學(xué)理論與應(yīng)用 機(jī)電工程學(xué)院 力學(xué)1班 劉俊 1203040110摘要：在我們的生活中，很多時(shí)候一個(gè)事物的變化是由許多其他事物共同作用的結(jié)果，反映到數(shù)學(xué)上，就是一個(gè)變量依賴于多個(gè)變量的情形。我們?cè)谘芯窟@類問題時(shí)，需要建立數(shù)學(xué)模型，來更好的研究變量的性質(zhì)和它們之間的作用關(guān)系等等，這就是我們要學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分學(xué)。關(guān)鍵詞：多元函數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、求導(dǎo)、隱函數(shù)等。1、多元函數(shù)的概念例、圓柱體的體積V和它的底半徑r、高h(yuǎn)之間的具有關(guān)系V=r2h 這里r、h在集合（r、h）r>0，h>0內(nèi)取定一對(duì)值（r，h）時(shí)，V的對(duì)應(yīng)值隨之確定。定義 設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集，稱映射f：

2、DR為定義在D上的二元函數(shù)，通常記為 z=f（x，y），（x，y）D，把定義中的D換成n維空間Rn內(nèi)的點(diǎn)集D，映射f：DR就稱為定義在D上的n元函數(shù)。 多元函數(shù)的定義域的求法與一元函數(shù)類似，也是先寫出其構(gòu)成部分的各簡單函數(shù)的定義域的不等式，然后解聯(lián)立不等式組，得出各變量的依存關(guān)系，即定義域。與一元函數(shù)一樣，二元和二元以上的函數(shù)也只與定義域和定義關(guān)系有關(guān)，而與用什么字母表示自變量和因變量無關(guān)。第一節(jié)還有幾個(gè)"集"的概念，比較重要的像連通集：點(diǎn)集D中任意兩點(diǎn)均可用完全落在D中的折線連接起來。2、多元函數(shù)的極限定義 設(shè)二元函數(shù)f（P）= f（x，y）的定義域?yàn)镈，P0（x0，y0

3、）是D的聚點(diǎn)，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)點(diǎn)P（x，y）DU（P0，）時(shí)，都有f（P）-A= f（x，y）-A<成立，那么就稱常數(shù)A為函數(shù)f（x，y）當(dāng)（x，y）（x0，y0）時(shí)的極限，記作lim f（x，y）=A。與一元函數(shù)極限不同的是：二元函數(shù)的極限要求點(diǎn)P（x，y）以任何方式、任何方向、任何路徑趨向于P0（x0，y0）時(shí)，都有f（x，y）f（x0，y0）。3、多元函數(shù)的連續(xù)性定義 設(shè)二元函數(shù)f（P）= f（x，y）的定義域?yàn)镈，P0（x0，y0）是D的聚點(diǎn)，且P0D，如果lim f（x，y）=f（x0，y0），則稱函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）連續(xù)

4、。在有界閉區(qū)域上連續(xù)的函數(shù)有這樣一些性質(zhì)有界性最大值、最小值介值。定義 設(shè)函數(shù)f（x，y）的定義域?yàn)镈，P0（x0，y0）是D的聚點(diǎn)。如果函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）不連續(xù)，則稱P0（x0，y0）為函數(shù)f（x，y）的間斷點(diǎn)。4、偏導(dǎo)數(shù)的定義其實(shí)就是把一個(gè)自變量看成常數(shù)再對(duì)另一個(gè)自變量求導(dǎo)。要注意的就是：對(duì)于多元函數(shù)來說，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，這是因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于P0時(shí)，函數(shù)f（P）趨于f（P0），但不能保證點(diǎn)P按任何方式趨于P0時(shí)，函數(shù)值f（P）都趨于f（P0）。 多元函數(shù)對(duì)子變量可導(dǎo)與否與函數(shù)在某一點(diǎn)是否連續(xù)無關(guān)。

5、它的幾何意義就是：Z在x0，y0處對(duì)X的偏導(dǎo)數(shù)表示曲面Z= f（x，y）與平行與xoz平面y= y0x交線上過點(diǎn)（x0，y0）的切線斜率。一般講求某點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是先求偏導(dǎo)函數(shù)，然后再求偏導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)處的值。多元函數(shù)求偏導(dǎo)問題的實(shí)質(zhì)仍是一元函數(shù)的求導(dǎo)問題，故一元函數(shù)的求導(dǎo)公式、法則仍可直接應(yīng)用。求偏導(dǎo)時(shí)，關(guān)鍵是要分清對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，把哪個(gè)變量暫時(shí)當(dāng)作常量。 分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)用定義求。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)固定在，而在處有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，并記作即 (1)類似地，函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)定義為如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)都

6、存在，那未這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是的函數(shù)，稱它為函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作 。類似地，可以定義函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，并記作由偏導(dǎo)函數(shù)概念可知，在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，其實(shí)就是偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值；就是偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值。高階偏導(dǎo)數(shù):二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān)，同樣，二階以上的高階混合偏導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)高階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下也與求導(dǎo)的次序無關(guān)。設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)于是，在內(nèi)、均是的函數(shù)，若這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。按照對(duì)變量求導(dǎo)次序有下列四種二階偏導(dǎo)數(shù)其中：稱、為二階混合偏導(dǎo)數(shù)，類似地，可得到三階、四階和更高階的導(dǎo)數(shù)。

7、二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。對(duì)于二階偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，有必要引入如下簡潔記法：，5、全微分的定義如果函數(shù)z=f(x, y) 在(x, y)處的全增量z=f(x+x，y+y)-f(x,y)可以表示為z=Ax+By+o()，其中A、B不依賴于x, y，僅與x,y有關(guān)，=根號(hào)下（x）2+（y）2），此時(shí)稱函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)（x，y）處可微分，Ax+By稱為函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)處的全微分，記為dz即dz=Ax +By。該表達(dá)式稱為函數(shù)z=f(x, y) 在(x, y)處(關(guān)于x, y)的全微分。6.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形如果函數(shù)及都

8、在點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形設(shè)，復(fù)合而得復(fù)合函數(shù) 如果及都在點(diǎn)具有對(duì)及對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算： 7隱函數(shù)的求導(dǎo)二元方程所確定的隱函數(shù)的情形由二元方程可確定一個(gè)一元的隱函數(shù),將之代入原方程,得到一個(gè)恒等式對(duì)恒等式兩邊關(guān)于變量求導(dǎo),左邊是多元復(fù)合函數(shù),它對(duì)變量的導(dǎo)數(shù)為右邊的導(dǎo)數(shù)自然為,于是有解出,得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。由多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)定理可知,當(dāng)在具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),而在可導(dǎo)時(shí),才可求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若時(shí),才有這一求導(dǎo)方法,實(shí)際上就是以往的直接求導(dǎo)數(shù)。由三元方程所確定的二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)既然二元方程可以確定一個(gè)一元的隱函數(shù),那么三元方程便可確定一個(gè)二元的隱函數(shù)。下面,我們介紹用直接求導(dǎo)法求此函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。對(duì)兩邊關(guān)于變量求偏導(dǎo),并注意是的函數(shù),有解出,得到二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 。類似地，可得到, 。例如：設(shè) , 求 。解: 將方程中的視為的隱函數(shù),對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)有再一次對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),仍然將視為的隱函數(shù)有小結(jié)：以上內(nèi)容對(duì)多元函數(shù)微分法做了一個(gè)簡單的總結(jié)，它能更好的使我們對(duì)多元函數(shù)的微分法的了解和學(xué)習(xí)，有一個(gè)總體的認(rèn)識(shí)。參考文獻(xiàn)：高等數(shù)學(xué)柳翠華、熊德之主編，科學(xué)出