函數(shù)解析式的七種求法

1、一）求函數(shù)的解析式1、函數(shù)的解析式表示函數(shù)與自變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系，是函數(shù)與自變量建立聯(lián)系的一座橋梁，其一般形式是yf（x），不能把它寫成f（x，y）0；2、求函數(shù)解析式一般要寫出定義域，但若定義域與由解析式所確定的自變量的范圍一致時(shí)，可以不標(biāo)出定義域；一般地，我們可以在求解函數(shù)解析式的過程中確保恒等變形；3、求函數(shù)解析式的一般方法有：（1）直接法：根據(jù)題給條件，合理設(shè)置變量，尋找或構(gòu)造變量之間的等量關(guān)系，列出等式，解出y。（2）待定系數(shù)法：若明確了函數(shù)的類型，可以設(shè)出其一般形式，然后代值求出參數(shù)的值；（3）換元法：若給出了復(fù)合函數(shù)fg（x）的表達(dá)式，求f（x）的表達(dá)式時(shí)可以令tg（x），以

2、換元法解之；（4）構(gòu)造方程組法：若給出f（x）和f（x），或f（x）和f（1/x）的一個(gè)方程，則可以x代換x（或1/x），構(gòu)造出另一個(gè)方程，解此方程組，消去f（x）（或f（1/x）即可求出f（x）的表達(dá)式；（5）根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)解析式：設(shè)定或選取自變量與因變量后，尋找或構(gòu)造它們之間的等量關(guān)系，列出等式，解出y的表達(dá)式；要注意，此時(shí)函數(shù)的定義域除了由解析式限定外，還受其實(shí)際意義限定。 （二）求函數(shù)定義域1、函數(shù)定義域是函數(shù)自變量的取值的集合，一般要求用集合或區(qū)間來表示；2、常見題型是由解析式求定義域，此時(shí)要認(rèn)清自變量，其次要考查自變量所在位置，位置決定了自變量的范圍，最后將求定義域問題化歸為解

3、不等式組的問題；3、如前所述，實(shí)際問題中的函數(shù)定義域除了受解析式限制外，還受實(shí)際意義限制，如時(shí)間變量一般取非負(fù)數(shù)，等等；4、對復(fù)合函數(shù)yfg（x）的定義域的求解，應(yīng)先由yf（u）求出u的范圍，即g（x）的范圍，再從中解出x的范圍I1；再由g（x）求出yg（x）的定義域I2，I1和I2的交集即為復(fù)合函數(shù)的定義域；5、分段函數(shù)的定義域是各個(gè)區(qū)間的并集；6、含有參數(shù)的函數(shù)的定義域的求解需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，若參數(shù)在不同的范圍內(nèi)定義域不一樣，則在敘述結(jié)論時(shí)分別說明；7、求定義域時(shí)有時(shí)需要對自變量進(jìn)行分類討論，但在敘述結(jié)論時(shí)需要對分類后求得的各個(gè)集合求并集，作為該函數(shù)的定義域； （三）求函數(shù)的值域1、

4、函數(shù)的值域即為函數(shù)值的集合，一般由定義域和對應(yīng)法則確定，常用集合或區(qū)間來表示；2、在函數(shù)f：AB中，集合B未必就是該函數(shù)的值域，若記該函數(shù)的值域?yàn)镃，則C是B的子集；若CB，那么該函數(shù)作為映射我們稱為“滿射”；3、分段函數(shù)的值域是各個(gè)區(qū)間上值域的并集；4、對含參數(shù)的函數(shù)的值域，求解時(shí)須對參數(shù)進(jìn)行分類討論；敘述結(jié)論時(shí)要就參數(shù)的不同范圍分別進(jìn)行敘述；5、若對自變量進(jìn)行分類討論求值域，應(yīng)對分類后所求的值域求并集；6、求函數(shù)值域的方法十分豐富，應(yīng)注意總結(jié)函 數(shù) 解 析 式 的 七 種 求 法 一、 待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法。例1 設(shè)是一次函數(shù)，且，求解：設(shè) ，則 二、 配湊

5、法：已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求的解析式，的表達(dá)式容易配成的運(yùn)算形式時(shí)，常用配湊法。但要注意所求函數(shù)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是的值域。 例2 已知 ，求 的解析式解：， 三、換元法：已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，還可以用換元法求的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例3 已知，求解：令，則， 四、代入法：求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對稱函數(shù)時(shí)，一般用代入法。例4已知：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，求的解析式解：設(shè)為上任一點(diǎn)，且為關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn) 則，解得： ，點(diǎn)在上 把代入得： 整理得 五、構(gòu)造方程組法：若已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡約，則可以對變量進(jìn)行置換，設(shè)法構(gòu)造方程組，通過解方程組求得函數(shù)解析式。例5 設(shè)求解 顯然將換成，得： 解 聯(lián)立的方程組，得：例6 設(shè)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，又試求的解析式解 為偶函數(shù)，為奇函數(shù)， 又 ，用替換得： 即 解 聯(lián)立的方程組，得 ， 六、賦值法：當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時(shí)，往往可以對具有“任意性”的變量進(jìn)行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。 例7 已知：，對于任意實(shí)數(shù)x、y，等式恒成立，求解對于任意實(shí)數(shù)x、y，等式恒成立，不妨令，則有 再令 得函數(shù)解析式為：七、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進(jìn)關(guān)系，則可以遞推得出系列關(guān)系式