壓軸題中路徑最值問題

1、路徑最值問題11 21、如圖，已知直線 y= x+1與y軸父于點(diǎn)A,與X軸父于點(diǎn)D,拋物線y = x + bx + C與直線父于 A22E兩點(diǎn)，與X軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)。(1)求該拋物線的解析式；(2)動(dòng)點(diǎn)P在軸上移動(dòng)，當(dāng) PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)P。(3)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使|AM -MC |的值最大，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)。72、如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ c與y軸交于點(diǎn)A(0 , 3),與x軸分別交于B(1 , 0)、C(5 , 0)兩點(diǎn).(1)求此拋物線的解析式；(2)若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A勺中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn) E),再到達(dá)拋

2、物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn) (設(shè)為點(diǎn)F),最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A.求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn) E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長.3、已知，如圖11,二次函數(shù)y =ax2+2ax _3a (a #0)圖象的頂點(diǎn)為 H,與x軸交于A、B兩點(diǎn)(B在A點(diǎn)右 側(cè))，點(diǎn)H、B關(guān)于直線l : y=43x十并對(duì)稱.31(1)求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線l上；(2)求二次函數(shù)解析式；(3)過點(diǎn)B作直線BK / AH交直線l于K點(diǎn)，M、N分別為直線 AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、 NM、MK ,求HN +NM +MK和的最小值.4、為(3,0(1),(圖 13,拋物線 y=ax2+bx + c(a0)的頂

3、點(diǎn)為(1,4 ),交x軸于A、B,交y軸于D,其中B點(diǎn)的坐標(biāo)y如為PQ上一動(dòng)點(diǎn)，則3,總4/過點(diǎn)A的直線與拋物必于這叫肺及G H的坐標(biāo)衣存下(3)如1歐拋物線上是否存在十點(diǎn)T，足雷普在一點(diǎn)H,使請(qǐng)說明理由x.T作x的垂線,F,其中E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,若直線PQ為拋物線的D G F、H四點(diǎn)圍成的四邊形周長最小 .若存在，垂足為 M,過點(diǎn)M作直線MM BD,交線段AD于點(diǎn)N,連接翻1口使 DNMhABMI若存在，落前蛾 T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由路徑最值問題11 21、如圖，已知直線 y= x+1與y軸父于點(diǎn)A,與X軸父于點(diǎn)D,拋物線y = x + bx + C與直線父于 A22E兩點(diǎn)，與X軸交于

4、B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)。(1)求該拋物線的解析式；(2)動(dòng)點(diǎn)P在軸上移動(dòng)，當(dāng) PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)P。解：(1)將A (0, 1)、B (1, 0)坐標(biāo)代入尸二弓才+以右=13b 3/1得匕,解得NT；拋物線的解折式為L1 3 31(2)設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m則它的縱坐標(biāo)為3濯2m即E點(diǎn)的坐標(biāo)m+又二點(diǎn)E在直線¥1 2 3, 1,-m -m +1 = -m + l八.222 解得飛二° (舍去)，叫二%(I)當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AP，D豉x軸于P1點(diǎn)，DO OA 2 11由 RtzXAO。RtzXPOA五=而 即=£ , a= , 11

5、(n)同理，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，左點(diǎn)坐標(biāo)為(亍，0)；(m)當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過E作EF，x軸于F,設(shè)R (b、+ ctv個(gè)片Pl FN=Jt + 12上.E的坐標(biāo)為（4, 3）;設(shè)P （a, 0）易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2, 0）1P1（3 , 0）；3）(3)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使|AM -MC |的值最大，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)。1 , 由/OPA+FPE=90 ,得/OPA=FEP Rt/AO OP 1 _b由尸F(xiàn)即得43,解得4=3'幺=1綜上所述，滿足條件的點(diǎn)p的坐標(biāo)為(3 , 0).3(m)拋物線的對(duì)稱軸為二3，: R c關(guān)于工 要使MC|最大，即是使aw-MS I最二 由三角

6、形兩邊之差小于第三邊得，工A、R M® 易知直線AB的解折式為y=-x+1,3x= ='3 _ 1 由得卜一一，/.M 丁，。AOD RtAPFE，此時(shí)的點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(1,0)或(3, 0)11或(1, 0)或(3, 0)或(7, 0);3=3 對(duì)稱， MC=MB1同一直線上時(shí)的值山1一最大，2、如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ c與y軸交于點(diǎn)A(0 , 3),與x軸分別交于B(1 , 0)、C(5 , 0)兩點(diǎn).(1)求此拋物線的解析式；(2)若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A勺中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn) E),再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F),最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A.求使

7、點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn) E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長.解：(1)型據(jù)題修，c=3'川+ 3濃3 ? 18 2A所以y乂廠口/一u.解得所以拋物線解析式為55。(3如中:襁意工可得 M (0, 1)點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 M' (0,-靖點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸 x=3的對(duì)稱點(diǎn)為A' (6, 3),連結(jié)A'M'根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，A'M'的長就是所求點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑的長所以A'M'與x軸的交點(diǎn)為所求 E點(diǎn)，與直線x=3的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)33可求得直線A'M的解析式為y=4X- 23可得E點(diǎn)

8、坐標(biāo)為(2, 0) , F點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 4)15由勾股定理可求出 A'M'= .15所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑(ME+EF+FA的長為工。3、已知，如圖11,二次函數(shù)y =ax2+2ax _3a (a #0)圖象的頂點(diǎn)為 H,與x軸交于A、B兩點(diǎn)(B在A點(diǎn)右 側(cè))，點(diǎn)H、B關(guān)于直線l : y=W3x+*對(duì)稱.31(1)求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線l上；(2)求二次函數(shù)解析式；(3)過點(diǎn)B作直線BK / AH交直線l于K點(diǎn)，M、N分別為直線 AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、 NM、MK ,求HN +NM +MK和的最小值.x="Q上；y解：(B點(diǎn)H/y依題意，

9、得 ax2+2ax-3a=0 (aA點(diǎn)右側(cè)，J A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3(2)圈/1H B關(guān)于過A點(diǎn)的直線I:x +O一 .點(diǎn)A在直線I x,解得 x1=- 3, x2=1,B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),對(duì)稱，AH=AB=4,代入二次函數(shù)解析式，解得次函數(shù)解析式為上的+哼過頂點(diǎn)H作HCX AB交AB于C點(diǎn),則 40 = ？4® = 2 HC = 2V3Vs(3)直線AH的解析式為yly = yx+6# + 3V5，直線bk的解析式為y =-落6,解得= 即* 3 2v3?則BK=4, .點(diǎn)H B關(guān)于直線AK對(duì)稱,. HN+MN勺最小值是MB KD = KE = 2Vq過點(diǎn)K作直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接

10、 QK交直線AH于E,貝U QM=MkQE = EK = 2v'3, AE£ qkBM+MK勺最小值是 BQ 即 BQ的長是HN+NM+MK最小值，BK/ AH/ BKQh HEQ=90 ,由勾股定理得 QB=3. HN+NM+MK最小值為8,4、如圖13,拋物線y=ax2+bx + c(a W0)的頂點(diǎn)為(1,4),交x軸于A B,交 y軸于D,其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)。(1)求拋物線的解析式(2)如圖14,過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn) E,交y軸于點(diǎn)F,其中E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,若直線PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為PQ上一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)求出這個(gè)最小值及 G H的坐標(biāo)

11、；若不存在，請(qǐng)說明理由H,使D G F、H四點(diǎn)圍成的四邊形周長最小.若存在,(3)如圖15,拋物線上是否存在一點(diǎn)T,過點(diǎn)T作x的垂線，垂足為 M,過點(diǎn)M作直線MM BD,交線段AD于點(diǎn)N,連接MD使 DNMhABMI若存在，求出點(diǎn) T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：(1)設(shè)所求拋物線的解析式為：¥ =次¥-1得：a=- 1所求拋物線的解析式為：.'',(2)如圖6,在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I ,使得點(diǎn)4 ,依題意，將點(diǎn)B (3, 0)代入，得： 或-尸4=0在x軸上取一點(diǎn) H,連接 HR HI、HG GD GE則HE HI設(shè)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=k

12、x + b (kw0), 點(diǎn)E在拋物線上且點(diǎn) E的橫坐標(biāo)為2,將x = 2代入拋物線3 =山切+4 ,得y -T- 點(diǎn)E坐標(biāo)為(2, 3)又拋物線y心切+4 圖像分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A B、D.,.當(dāng) y= 0 時(shí)， -一如+4=0, .x一1 或 x= 3當(dāng) x=0 時(shí)，y= 1 + 4=3, 點(diǎn) A ( 1, 0),點(diǎn) B (3, 0),點(diǎn) D (0, 3)又.拋物線的對(duì)稱軸為：直線 x=1, 點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，GD= GE分別將點(diǎn) A ( 1, 0)、點(diǎn)E (2, 3)代入y=kx+b,得：-:求+5 = 3解得：b = l1)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y= x+ 1當(dāng)x=

13、0時(shí)，y= 1 ，點(diǎn)F坐標(biāo)為(0,.陽=2又.點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)I坐標(biāo)為(0, 1)= DG G* HI最小即可又.要使四邊形 DFHG勺周長最小，由于 DF是一個(gè)定值，只要使 由圖形的對(duì)稱性和、，可知，DG GH+ HF= EG+ GH HI只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG+ GM HI最小設(shè)過 E (2, 3)、I (0, 1)兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為:分別將點(diǎn)E (2,3)、點(diǎn)I (0, 1)代入二松十，,得:ffc = 2解得：-過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y = 2x 1當(dāng) x= 1 時(shí)，y=1;當(dāng) y=0 時(shí)，x=上； 點(diǎn)G坐標(biāo)為(1, 1),點(diǎn)H坐標(biāo)為(四邊形 DFHG勺周長最小為： DF+ DU GM HF= DF+ EI由和，可知：DF+EI=2 + 2收.,四邊形DFHG勺周長最小為2 + 2加(3)如圖7,由題意可知，/ NMD= / MDB_陽要