直線與圓圓與圓的位置關(guān)系

1、11. 4直線與圓圓與圓的位置關(guān)系【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】1. 能根據(jù)給定直線、圓的方程，判定直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.3進(jìn)一步體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.【典型例題】2 2 2例1 (1)已知點(diǎn)P(1, 2)和圓C: x y kx 2y k =0，過(guò)P作C的切線有兩條,則k的取值范圍是()243A. k RB .kv -32.33.2.3C .k : 0 D.k :333(2) 設(shè)集合 A= (x,y)|x2+ y2w 4,B=(x,y)|(x 1)2+ (y 1)2朋(0),當(dāng) AA B=B 時(shí)，r 的取 值范圍是()A. (0,2 1)B . (0,

2、1C. (0, 2 2 D . (0,2 (3) 若實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x-2)2 + y 2 = 3，那么必的最大值為()xA. 13過(guò)點(diǎn)M(-3r)且被圓x2八25截得弦長(zhǎng)為8的直線的方程為.、 2 2 2 2(5)圓心在直線 x-y-4=0上，且經(jīng)過(guò)兩圓 x y -4x-3 = 0和x y -4y-3 = 0的交點(diǎn)的圓的方程是.例2若直線1: 2x y仁0和圓C: x2+ y2 2y 仁0相交與A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)I AB I例3圓01的方程為：x2 + (y + 1)2=4,圓02的圓心坐標(biāo)為(2, 1).(1) 若圓O1與圓。2相外切，求圓 。2的方程；(2) 若圓O1與圓O2相交于A

3、、B兩點(diǎn)，且I AB I =2,2，求圓。2的方程.2236例4已知點(diǎn)A(0, 2)和圓C: (X-6) ，(y-4)，條光線從 A點(diǎn)出發(fā)射到x軸上5后沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程【課內(nèi)練習(xí)】. . 2 2 2 2 :.1 .兩圓 x2y26x 4y -3=0 和 xy -6x-，12y-19 = 0 的位置關(guān)系是()A.外切B 內(nèi)切C 相交D外離2 22. 直線x 2y 2k=0與2x 3y k=0的交點(diǎn)在圓x + y =9的外部，則k的取值范圍是()3333A.(汽5 )U( 5 , + m)b. ( 5，5)3333c. (m， 5 u 5 , +m)d. 5

4、, 3. 已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(x-5)2 (y 7)2 =16相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是()A. (x -5)2 (y 7)2 = 25B .(x-5)2(y7)2= 25或(x -5)2(y7)2= 9C .(x5)2(y7)2=92 2 2 2D.(x-5)(y7)=17 或(x-5)(y7)=152 2 24. 已知點(diǎn)M (a, b) (ab0是圓x+y=r內(nèi)一點(diǎn)，直線g是以M為中點(diǎn)的弦所在直線，直線l的方程為ax by r 0,則()a . l/g，且與圓相離B.丨g，且與圓相切c. l/g，且與圓相交d. l g，且與圓相離5. 圓心在直線 2x+y=0上，且與直線 x+y-1

5、=0切于點(diǎn)(2, -1 )圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.2 26. 過(guò)點(diǎn)M (2, 4)向圓C: (x 1) + (y+ 3) =1引兩條切線，切點(diǎn)為P、Q,則P、Q所在 的直線方程是.7. 已知圓系x2 - y2 -2ax 2 a -2 y 2 =0，其中a豐1且a R，則該圓系恒過(guò)定點(diǎn).2 2&點(diǎn)P在直線2x y 10上，PA、PB與圓x y =4相切于A、B兩點(diǎn)，求四邊形PAOB面積的最小值.9.求與圓x2，y2-2x = 0外切且與直線.3y=0相切于點(diǎn)M (3, -3)的圓方程.10.已知圓 C 方程為：x2 y2 -2x-4y-20 = 0，直線 I 的方程為：(2m+ 1)x+ (m+

6、 1)y 7m 4=0.(1) 證明：無(wú)論 m取何值，直線I與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)。(2) 求直線I被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度，并求出此時(shí)的m值.11. 4直線與圓圓與圓的位置關(guān)系21.兩圓xy2二 r2與(x-3)2 (y 1)2 = r2(r >0)外切，則的值是()A. 10C .5x2+y2=1相切，則該直線的斜率是土-3D . ±, 333.直線x+ 7y 5=0分圓x2+y2=1所成的兩部分弧長(zhǎng)之差的絕對(duì)值是2 .過(guò)點(diǎn)(一A. ±12, 0)的直線與圓B . ± C.A4 B2 Cn D4. 已知圓x .若兩圓x2 + y2=m，與x2 + y2+

7、 6x 8y 11=0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是(A . mv 1 B . m > 121 C. 1 < m< 121 D . 1v mv 1212. 若直線x+ .3 y=m與圓x2 + y2=1的兩個(gè)交點(diǎn)都在第一象限，則m的取值范圍是(A. (1, 2)B. ( 2, 2) C. (1, .3 ) D. ( .3 , 2) 23. 已知圓(x 3) + y =4和直線y=mx的交點(diǎn)為P、Q,則|OP| |OQ等于()+y2=25則過(guò)點(diǎn)B (-5, 2)的切線方程是.2 25圓(X -3) (y 1) =1關(guān)于直線x+2y-3=0對(duì)稱的圓的方程是.6. 求圓心為(2,

8、 1),且與已知圓x2 y2 -3x =0的公共弦所在直線過(guò)點(diǎn)(5, -2)的圓的方程.7.兩圓x2 y2 4 0,x2 y2 2(a - 1)x 2y a2 =0在交點(diǎn)處的切線互相垂直，求實(shí)數(shù)a的值.2 2 2&已知圓O： x y =1和拋物線y =x - 2上三個(gè)不同的點(diǎn) A、B、51 m22B. 1 + m C. 5 D . 10C,如果直線 AB和AC都與圓O相切，求證：直線 BC也與圓O相切.4.過(guò)點(diǎn)P (3, 0)作圓x2 + y2 8x 2y+ 12=0的弦，其中最短的弦長(zhǎng)為.5. 直線x=2被圓(x a)2+ y2=4所截得的弦長(zhǎng)等于2 3 ,則a的值為.6. 求圓心在

9、直線 5x-3y=8上，且與坐標(biāo)軸相切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.&當(dāng)a取不同的非零實(shí)數(shù)時(shí),(1)這些圓的圓心是否共線?如果不共線，請(qǐng)說(shuō)明理由.7. 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (- 2, 4),且以兩圓：x2 + y2-6x=0, x2 +=4公共弦為一條弦的 圓的方程.由方程x2 + y2 2ax 2 ，3 ay+ 3a2=o,可以得到不同的圓， 問(wèn):(2)這些圓是否有公切線， 如果共線，試求出公切線的方程；11. 4直線與圓圓與圓的位置關(guān)系【典型例題】例1、(1) D .提示：P在圓外.(2) C 提示：兩圓內(nèi)切或內(nèi)含.(3) D 提示：從純代數(shù)角度看，設(shè) t=,則y=tx，代入已知的二元二次方程，用 0可x

10、解得t的范圍。從數(shù)形結(jié)合角度看，1是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，切線的斜率是邊界.x(4) 3x 4y *15=0或x *3=0 .提示：用點(diǎn)到直線的距離公式，求直線的斜率.(5) x2 y2 -6x 2y-3 = 0提示：經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓的方程可用圓系方程形式設(shè)出，其中的一個(gè)待定系數(shù)，可依據(jù)圓心在已知直線上求得.例2、解法一已知圓的方程可化為標(biāo)準(zhǔn)式 x2+( y 1) 2=2,圓心是(0, 1)，半徑r= .'2 ,設(shè)圓心到直線I的距離為d,則 d=弦長(zhǎng)AB =2斤2 305解法由方程組22X；y 一仁° 消去 y 得:x y -2y i = 05x2 8x+ 2=0z設(shè) A

11、 (Xi,yi),B( X2,y2),xi、X2 是方程(探)的兩根 * 8 xi x22XiX25I Xi X2 I = XiI AB I = , i + k2 I例 3、(1 )圓 Oi2 , 2 6 x2 ； 4x25Xi-X2I =12255的方程為：X2+ (y + i)2=4,圓心 Oi ( 0, i),半徑ri=2.設(shè)圓02的半徑為2,由兩圓外切知IOiO2 I = ri +2而 I OQ2 I = -(2二0)2仆“2 =2 2二2= I OiO2 I ri=2 2 2圓。2 的方程為(X 2)2 + (y i)2=i2 8 2(2)設(shè)圓。2的方程為(X 2)2+ (y i)2

12、=22,又圓Oi的方程為：X2 + (y+ i)2=4，兩方程 的二次相系數(shù)相同，兩式相減得兩圓公共弦AB所在的直線方程為：4x+ 4y + Q2 8=0,作 OiH 丄 AB 于 H，則 I AH I =2 I AB I = ,224x0 +4乂(_i)+r2-8叮-i24 2r22 -i242圓。2 的方程為(X 2)2 + (y i)2=4 或(X 2)2+ (y i)2=20例4、解法一 設(shè)反射光線與圓相切于D點(diǎn)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 Ai (0, 2 ),則光從A點(diǎn)到切點(diǎn)所走的路程為丨Ai D | .在 RtAAi CD 中，2 CD=2，得 r22=4 或 r22=202AD

13、= AC2 =(-6)2(-2 -4)2 -36 = 36 955I Aid l =空.5即光線從A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程是18、.55解法二 設(shè)圓心C (6, 4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 C ( 6, 4),過(guò)點(diǎn)A作圓C'的切線，切點(diǎn) 為E,則光從A點(diǎn)到切點(diǎn)所走的路程等于l AE | .36936 -55在 RtAAC E 中，2 2 2 2AE =AC -C E =(0 6) +(2+4)18.55即光線從A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程是18、55【課內(nèi)練習(xí)】1. D .提示:將圓心之距與半徑的和、差比大小.2. A .提示:求出交點(diǎn)坐標(biāo)(X0,y°),令X02+ y°2v

14、9.3. B .提示：注意內(nèi)且與外切均有可能.4. A .提示：考慮兩直線的斜率關(guān)系 (相等)，再考慮原點(diǎn)到直線的距離與半徑的大小比較.5. V圓與直線 x+y-1=0相切，并切于點(diǎn) M ( 2,-1),則圓心必在過(guò)點(diǎn) M (2,-1 )且垂直于 x+y-1=0的直線I上，I的方程為y=x-3,y =x 3x =1由1二，2x+y =0 y=-2即圓心為C (1 , -2),r= .(2 -1)2(-12)2 二 2,所求圓的方程為：2 2(x-1) +(y+2)=2.6. x + 7y + 19=0 提示：求直線方程，只須求直線上兩點(diǎn)同時(shí)滿足的一個(gè)二元一次方程， 將P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)統(tǒng)一設(shè)為(

15、x,y),找x、y滿足的方程只須使用相切與點(diǎn)在圓上即可.從另一角度講，點(diǎn) M、圓心C、切點(diǎn)P、Q四點(diǎn)共圓，直線 PQ為該圓與已知圓的公共 弦所在的直線。故將兩圓方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1,相減即得.7. (1, 1).提示：將a取兩個(gè)特殊值，得兩個(gè)圓的方程，求其交點(diǎn)，必為所求的定點(diǎn)，故求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，只須再驗(yàn)證即可。另一方面，我們將方程按字母a重新整理，要使得原方程對(duì)任意a都成立，只須a的系數(shù)及式中不含 a的部分同時(shí)為零.& &提示：四邊形可以分成兩個(gè)全等的直角三角形，要面積最小，只要切線長(zhǎng)最小，亦即 P到圓心距離要最小.9.設(shè)所求圓的方程為(x-a)2 (y-b)2 =r2(r

16、0),由題知所求圓與圓x2 y2 - 2x = 0外切則(a-1)2%2二r ：；1又所求圓過(guò)點(diǎn) M的切線為直線x .、3y =0，故b 3 _3a _33 -3b| _r 2解由組成的方程組得a =4,b = 0,r =2或a =0,b3,r = 6 故所求圓的方程為 (x _4)2y2 =4或x2 - (y - 4.3)2 =36 .10提示：(1)用點(diǎn)到直線的距離公式，證明r2 d2> 0恒成立.(2)求(1)中r2 d2的最小值，得直線I被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度為 4.5 ,此時(shí)的3 m值為4 11. 4直線與圓圓與圓的位置關(guān)系A(chǔ)組1. D 提示：圓心之距等于半徑之和.2. C

17、 提示：數(shù)形結(jié)合或用點(diǎn)到直線的距離公式.3. B 提示：弦所對(duì)的圓心角是直角.4. 21x-20y+145=0或x=-5 .提示：求過(guò)點(diǎn)B的圓的切線方程，當(dāng)斜率存在時(shí)可設(shè)為點(diǎn)斜式，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑列出方程，求出斜率k的值；斜率不存在時(shí)，結(jié)合圖形驗(yàn)證.19 23 25. (x ) (y )=1 .提示：求圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，半徑不變.556. (x-2)2 +(y-1)2 =4 .提示：根據(jù)圓心坐標(biāo)設(shè)出圓的方程，應(yīng)用相交弦方程的求法，通過(guò)比 較系數(shù)確定未知圓的半徑.7. ±2.提示：一圓的切線經(jīng)過(guò)另一圓的圓心，兩圓半徑及圓心距構(gòu)成直角三角形.8 .設(shè) A (a, a2

18、 -2) , B (b,b2 -2) , C (c,c2 -2),則直線 AB、AC、BC 的方程分別為 (a b)xyab2 = 0 , (a c)xyac2 = 0,(b c)xybe2 = 0 ,由于AB是圓O的切線，貝Uab2£2=1，整理得(a2 _1)b2 2ab 3 -a2 = 0 .(a b)21同理(a2 -1)c2 2ac 3 -a2 =02 b、c 是方程(a2 -1)x2，2ax，3-a2 =0 的兩根，b c= bc=a3，于是圓1a1a2心O到直線BC的距離d =_|bc_2|_(b c) 11 -a24a2|故BC也與圓O相切.1. C .提示：圓心之距不大于半徑之和，同時(shí)不小于半徑之差的絕對(duì)值.2. D.提示：考慮兩個(gè)特殊位置時(shí)m的取值，一是直線過(guò)(0, 1)點(diǎn)，二是直線與圓在第一 象限相切.3. C.提示用切割線定理.4. 2 3 .提示：弦長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)P是弦的中點(diǎn).5. 1或3提示：用圓心到直線的距離的平方等于半徑的平方減弦長(zhǎng)一半的平方.6. 設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,T圓與坐標(biāo)軸相切，a=±b,r= | a |又圓心(a,b)在直線5x-3y=8上.-5a-3b=8,a =&#