直線與圓錐曲線有關(guān)向量的問題

1、直線與圓錐曲線有關(guān)向量的問 題咼考考什么知識(shí)要點(diǎn)：1 直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的情況直線：ax by c 0曲線：f (x, y) 0Ax2 Bx(或 A'y2 B'y C' 0)（1）i）相交ii）相切沒有公共點(diǎn)A 0A 0,0兩個(gè)公共點(diǎn)方程組無解 （2） 個(gè)公共點(diǎn)（3）2.連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，要 能熟練地利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計(jì)算弦長， 常用的弦 長公式：A0,0ABk2x|x23以平面向量作為工具，綜合處理有關(guān)長度、角度、共 線、平行、垂直、射影等問題4.幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容的中點(diǎn);相交, 等于已知的中點(diǎn);線;若存在實(shí)數(shù)點(diǎn)共線

2、 .6) 給出, 等于已知，等于已知的定比分為定比，即給出,即是直角, 等于已知是銳角是鈍角 , 給出, 等于已知是線。的平分，等于已知是菱形;，等于已知是矩形;，等于已知角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；，等于已知的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)） ；，等于已知的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）；的內(nèi)心；等于已知形三條角平分線的交點(diǎn)）；, 等于已知線;高考怎么考主要題型：1三點(diǎn)共線問題； 2公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題； 3弦長問 題；4中點(diǎn)問題； 5定比分點(diǎn)問題； 6對稱問題； 7平 行與垂直問題； 8角的問題。近幾年平面向量與解析幾何交匯試題考查方向?yàn)?（ 1）考查學(xué)生對平面向量知識(shí)的簡單

3、運(yùn)用，如向量 共線、垂直、定比分點(diǎn)。（2）考查學(xué)生把向量作為工具的運(yùn)用能力，如求軌 跡方程， 圓錐曲線的定義， 標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)， 直線與 圓錐曲線的位置關(guān)系。特別提醒： 法和韋達(dá)定理是解決直線和圓錐曲線位置關(guān) 系的重要工具。高考真題1. 2012上海卷若n = （ 2,1）是直線I的一個(gè)法向量，則I的傾斜角的大小為 （結(jié)斜率.1由已知可得直線的斜率 k x =一 1 ,k = 2, k =2tan a,所以直線的傾斜角 a= arctan2.2.2012重慶卷如圖1一3,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn) 0,長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,線段OFi, OF2的中點(diǎn)分別為 Bi,

4、B2,且厶AB1B2 是面積為4的直角三角形.圖1一 3(1) 求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 過B1作直線I交橢圓于P, Q兩點(diǎn)，使PB2丄QB2, 求直線I的方程.解：(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2a2+ 器=1(a> b> 0),右焦點(diǎn)為F2(c,0).因ZAB1B2是直角三角形，又|AB1|= |AB2|, 故ZB1AB2為直角，因此|OA|= |0B2|,得b =號.結(jié)合c2= a2 b2得4b2 =a2 b2,故 a2= 5b2, c2 = 4b2，所以離心率 e= a= 5 5.在 Rt ABiB2 中，OA丄B1B2,故SABiB2= 1 |BiB2| |O

5、A| = |OB2| |OA|=號 b = b2.由題設(shè)條件S4BiB2=4,得b2= 4,從而a2= 5b2 =20.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:1.由(1)知Bi( 2,0), B2(2,0)由題意知直線I的傾斜角不為0,故可設(shè)直線I的方程為：x = my 2.代入橢圓 萬程得(m?+ 5)y2 4my 16= 0.設(shè)P(x1, y”、Q(x2, y2),則y1, y2是上面方程的兩根，因此4m16y1 十 y2= 2廠,y1 y2= m + 5m2 + 5,又B>= (X1 2, y1), B2Q= (X2 2, y2)，所以EB2P B= (x1 2)(x2 2) + yy=(my

6、1 4)(my2 4) + y1y2=(m2+ 1)y1y2 4m(y + y2)+ 1616 m2 + 1m2 + 516m2m2+ 5+ 1616m2 64m2 + 5由 PB2丄QB2,得BP B2Q = 0,即卩 16m2 64= 0,解 得m=翌.所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x + 2y+2= 0 和 x 2y+ 2= 0.3 2012湖北卷設(shè)A是單位圓x2 + y2= 1上的任意一 點(diǎn)，I是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線I與x軸的 交點(diǎn)，點(diǎn) M在直線I上，且滿足|DM| = m|DA|(m>0，且 mH 1) 當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn) M的軌跡為曲線C.(1) 求

7、曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線， 并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 過原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P, Q兩點(diǎn)， 其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN 交曲線C于另一點(diǎn)H.是否存在m,使得對任意的k>0, 都有PQ丄PH ?若存在，求m的值；若不存在，請說明 理由.解：(1)如圖(1)，設(shè) M(x，y)，A(X0，y°)，則由 |DM| =m|DA|(m>0，且 mH 1)，1可得 x = x0，|y| = m|yo|，所以 xo= x，|yo| =二艸因?yàn)?點(diǎn)A在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以x2 + y0= 1將式代入式即得所求曲線c的方程為x2+mm2= 1(m&

8、gt;0,且 mK 1).因?yàn)閙 (0,1)U (1,+s)，所以當(dāng)0v mv 1時(shí)，曲 線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(一1 m2, 0), ( 1 m2, 0);當(dāng)m> 1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn) 坐標(biāo)分別為(0, m2 1), (0,m2 1).(2)方法1:如圖(2)、(3),對任意的k>0,設(shè)P(X1, kX1), H(X2, y2)，則 Q( X1, kx“, N(0, kx“，直線 QN的方程為y= 2kx + kx1,將其代入橢圓C的方程并整 理可得(m2+ 4k2)x2 + 4k2X1X + k2x1 m2= 0.依題意可知此方程的兩根為

9、X1, X2,于是由韋達(dá)定理可得4k X1 卄 m X1 e-X1 + X2= 22，即X2=2因?yàn)辄c(diǎn)H在直m2 + 4k2m2 + 4k2線QN上，所以y2 kx1=2kx2 =2km2X1m2+4 k2于是 PQ= ( 2x1, 2kx1),2 24k X1 2km X1 用=(X2 X1, y2 kx1) = - m2 + 4k2, m2 + 4k2.4 2 m2 k2x2而pq丄ph等價(jià)于PQ pH =:廠=0,即卩2m2 + 4k2m2 = 0,又 m>0,得 m= 2,故存在m=2，使得在其對應(yīng)的橢圓x2 +二=1上， 對任意的k>0,都有PQ丄PH.方法2：如圖、(3

10、)，對任意xi (0,1),設(shè)P(xi, yi), H(X2, y2)，則 Q( xi, yi), N(0, yi).因?yàn)镻JH兩點(diǎn)在橢圓C上，所以m2x2+yi = m2,m2x2+y2= m2,兩式相減可得 m2(xi x2)+ (y2 y2) = 0 依題意，由點(diǎn)P在第一象限可知，點(diǎn)H也在第一象 限，且P, H不重合，故(xi X2)(xi + X2)半0于是由式可得y1 y2 y1 + y2X1 X2 X1 + X2m.又Q, N , H二點(diǎn)共線，所yi + y2Xl + X2以 kQN = kQH ,即紋=X1于是由式可得kpQ kPHyiX1yi 一 y2xi X2m22 .%-1

11、,又上，1 y1 y2 y1 + y則X1斜率為2的直線I與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足 OA+OB + oP= 0.(1) 證明：點(diǎn)P在C上；(2) 設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、 Q四點(diǎn)在同一圓上.【解答】(1)證明：F(0,1), I的方程為y=2x + 1, 代入x2 +百=1并化簡得4x2 2 2x 1 = 0.設(shè) A(X1, y1), B(X2, y2), P(x3, ys),a/2&V2+V6由題意得 X3= (x1 + X2)= 2 , y3= (y1 + y2)=所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)p的坐標(biāo)一,1滿足方程x2+y2=1, 故點(diǎn)P在橢圓C上.（2）證

12、明：由P 于，一1和題設(shè)知 Q于，1 , PQ 2 的垂直平分線11的方程為y= 2x.設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M詩，1 , AB的垂直平分線72 112的方程為y= 2 x + 4.|NP| =由、得11、|2的交點(diǎn)為N 彳，8 . 亞亠血2亠1 1 2_2 十 8 十 I 88，|AB|=d 1十y/2 2 |X2 xi| =宇，|AM| = ,|MN| =亞十最2十1 12 =也4 十 8 十 28_ = 8，|NA|= |AM|2 + |MN|2= 3 811,故 |NP|= |NA|.又|NP|= |NQ|，|NA|= |NB|， 所以 |NA|= |NP| = |NB|= |NQ|，由

13、此知A、P、B、Q四點(diǎn)在以N為圓心，NA為半徑 的圓上.x2 y5 2012福建卷如圖橢圓E : a2 +器=1(a>b>0)的左1焦點(diǎn)為Fi,右焦點(diǎn)為F2,離心率e= 1，過Fi的直線 交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且 ABF2的周長為8.(1) 求橢圓E的方程；(2) 設(shè)動(dòng)直線I: y= kx + m與橢圓E有且只有一個(gè)公 共點(diǎn)P,且與直線x = 4相交于點(diǎn)Q試探究：在坐標(biāo)平 面內(nèi)是否存在定點(diǎn) M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn) M ?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解：解法一：(1)因?yàn)閨AB|+ |AF2|+ |BF2| = 8,即|AF1|+ |F1B|+ |AF2| +

14、|BF2| = 8,又 |AF1|+ |AF2| = |BF1|+ |BF2|= 2a，1 c 1所以4a = 8, a= 2又因?yàn)閑= 2,即a= 2,所以c= 1, 所以 b= a2 c2=3.故橢圓E的方程是:+ £ = 1.y= kx + m,(2)由 x2 y2得(4k2 + 3)x2+ 8kmx + 4m2 12+山=14 十 3',=0.因?yàn)閯?dòng)直線I與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(xo,yo), 所以mM0且= 0,即 64k2m2 4(4k2 + 3)(4m2 12)= 0,化簡得 4k2 m2 + 3= 0.(*)此時(shí)X0 =4k2 + 3 =鶯，yo = k

15、xo + m =洛，所以x = 4,4k 3丄 P m， m .由得 Q(4,4k + m).y= kx + mM滿足條件，由圖形對稱性知，假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)點(diǎn)M必在x軸上.設(shè)M(xi,0),則MP mQ = 0對滿足(*)式的m、k恒成立.因?yàn)?IMP =半X1, ¥ , MQ = (4X1,4k + m), 由IMP MQ = 0,得晉 + 驚4x1 + x2 + 竿 + 3=k整理，得(4X1 4)m + X2 4x1 + 3 = 0.(*)由于(*)式對滿足(*)式的m, k恒成立，4xi 4= 0,所以2解得xi = 1.故存在定點(diǎn)xi 4x1 + 3= 0,M(1,0),

16、使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M.解法二：(1)同解法一.y= kx + m,由x2y2=3 =1,得(4k2 + 3)x2+ 8kmx + 4m2 12=0.因?yàn)閯?dòng)直線I與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(xo,o),所以mM0且= 0,即 64k2m2 4(4k2 + 3)(4m2 12)= 0,化簡得 4k2 m2+ 3= 0.(*)此時(shí)xo =4km 4k4k2 + 3 = m ,_3yo = kxo + m = m,所以4km,y= kx + m,x = 4,得 Q(4,4k + m).假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對稱性知， 點(diǎn)M必在x軸上.取 k = 0, m= 3,此時(shí) P(0,3

17、), Q(4,3),以 PQ 為直徑的圓為(X 2)2 + (y- 3)2= 4,1交 x 軸于點(diǎn) Mi(1,0), M2(3,0);取 k = 2，m = 2, 此時(shí)P1, 2 , Q(4,0),以PQ為直徑的圓為X ；2 +32 45y 4 = 16,交x軸于點(diǎn)M3(1,0), M4(4,0).所以若符合條件的點(diǎn)M存在，則M的坐標(biāo)必為(1,0).以下證明M(1,0)就是滿足條件的點(diǎn)：4k 3因?yàn)镸的坐標(biāo)為(1,0),所以IMP = -m 1, m , MQ=(3,4k + m),從而 IMP MQ =晉3+ 詈+ 3= 0,故恒有IMP丄MQ ,即存在定點(diǎn)M(1,0),使得以PQ為直徑的圓

18、恒過點(diǎn)M.突破重難點(diǎn)例1.過點(diǎn)P(X, y)的直線分別與X軸的正半軸和y軸的正 半軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若BP 2PA且OQ?AB 1,則點(diǎn)P的軌跡方程 是(D )A.3x2-y21(x 0,y 0)B.3x2- y21(x 0, y 0)2 2C3x23y21(x 0, y 0)D.-x23y21(x0, y 0)2 2x2例2.已知橢圓Ci： :+y2= 1,橢圓C2以Ci的長軸為 短軸，且與Ci有相同的離心率.(1)求橢圓C2的方程；設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓Ci和C2 上, OB = 20A，求直線AB的方程.v2 x2解：由已知可設(shè)橢圓C2

19、的方程為V2 +鄉(xiāng)=1(a>2),a 4y!3l a? 4 yl3其離心率為"2",故a = 23,貝V a= 4,故橢圓 C2的方程為袪+ X = 1.解法一：A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(XA, VA), (XB,VB),由OB = 20A及(1)知，0, A, B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A, B不在y軸上，因此可設(shè)直線 AB的方程為y= kx.x2將 y= kx 代入+ y2= 1 中，得(1 + 4k2)x2 = 4,所以xA=41 + 4k2,y2 x2將 y= kx 代入話+= 1 中，得(4 + k2)x2= 16,16所以 xb =2，又由 OB = 20A，得 x

20、b= 4xA,4+ k2164+ k2161 + 4k2,解得k = ±1,故直線AB的方程為y= x或y= x. 解法二：A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xa , yA), (xb ,yB),由O?B = 2OA及(1)知，O, A, B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A, B不在y軸上，因此可設(shè)直線 AB的方程為y= kx.x2將 y= kx 代入才 + y2= 1 中，得(1 + 4k2)x2=4, 所以 xA = 42，由 OB = 2OA,1+ 4k2得xB =161 + 4k2,yB =16k21 + 4k2,y2 x24+ k2將xB , yB代入需+才=1中，得4k2 = 1, 即 4+ k

21、2=1 + 4k2,解得k = ±1,故直線AB的方程為y= x或y = x. 例3.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線1與拋物線y2 = 2x相 交于A B兩點(diǎn).(1) 求證：“如果直線丨過點(diǎn)T (3, 0),那么OA OB =3”是真命題；(2) 寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還 是假命題，并說明理由.解(1)設(shè)過點(diǎn)T(3,0)的直線丨交拋物線y2=2x于 點(diǎn) A(X1,yJ、B(X2, y2).當(dāng)直線丨的鈄率不存在時(shí),直線丨的方程為x=3,此時(shí),直線丨與拋物線相交于點(diǎn) A(3, 6)、B(3, 6). °A OB=3；當(dāng)直線I的鈄率存在時(shí),設(shè)直線I的方程為y k

22、(x 3),其中k o，2y"2由 y 2X 得 ky2 2y 6k 0 y k(x 3)又 X1 !yi2,X2 頭2 ,12y1y2( y1y2)yiy23 ,.uuu uuir OA ?OB Xi X2綜上所述，命題“如果直線i過點(diǎn)T(3,0)，那么oaob=3”是真命題；(2)逆命題是：設(shè)直線I交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn), 如果OA OB=3,那么該直線過點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題.例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2) ?B(1,1)，此時(shí)OA?uuB=3,直線AB的方程為：y f(X i)，而T(3,0)不在直線AB上;說明：由拋物線y2=2X上的點(diǎn)A (xi,yi)、

23、B (x 2,y 2)滿 足 OA OB =3,可得yiy2= 6,或y$2=2,如果yiy2= 6,可證得直線AB過點(diǎn)(3,0);如果yy=2,可證得直線AB過點(diǎn)(i,0),而不過點(diǎn)(3,0).例4已知A,B為拋物線x2=2py(p>0)上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)， Oa c)B 0，點(diǎn) C坐標(biāo)為(0, 2p)(1) 求證：代B,C三點(diǎn)共線；(2) 若AM = BM ( R)且GM1 AB 0試求點(diǎn)M的軌跡方(i)證明：設(shè)2 2A(Xi筍),B(X2,2p),uuu uuu OA OB0 得 XiX2XiX24p2 ,又qACx2 uuu(X1,2P 淚AB(X2Xi,2 2Xi2pXi2 2X

24、2 Xi2p(2p2生)(X2 Xi) 02p0及AMAC/AB，即代B,C三點(diǎn)共線。(2)由(i)知直線AB過定點(diǎn)G又由OMABBM ( R )知OMAB垂足為M所以點(diǎn)M的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點(diǎn)。即點(diǎn) M的軌跡方程為2 2 2x+(y-p) =p(X 0, y 0)。2 2例5橢圓篤右i(a,b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)Fi、F2，點(diǎn)P在橢圓C上，a b且 PF丄 FiF2, | PF巳,| PF|=牛(I )求橢圓C的方程；(II )若直線丨過圓X2+y2+4X-2 y=0的圓心M交橢圓 于A B兩點(diǎn)，且A B關(guān)于點(diǎn)M對稱，求直線丨的方程。解法一：(I )因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以2a

25、PFil PF2 6 ,a=3.在Rt PFF2中，F(xiàn)iF2 J|PF2|2 |PF 2J5,故橢圓的半焦距C= 5,從而b2=a2-c2=4,所以橢圓C的方程為與匚=i.94(n )設(shè) A, B的坐標(biāo)分別為(Xi,yi)、( X2,y2). 由圓的方程為(x+2) 2+(y- i)2=5,所以圓心M的坐 標(biāo)為(2/1). 從而可設(shè)直線丨的方程為y=k(x+2)+i, 代入橢圓C的方程得(4+9k2) x2+(36 k2+i8k) x+36k2+36k 27=0.2因?yàn)锳 B關(guān)于點(diǎn)M對稱.所以地與2.724 9k解得k 9 ,所以直線I的方程為y f(x 2) i, 即8x-9y+25=0.（

26、經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意）解法二：（I）同解法一.（n）已知圓的方程為（x+2） 2+（y-1）2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（一2，1）設(shè)A B的坐標(biāo)分別為（Xi,yi）,（ X2, y2）.由題意Xi X2 且2X29由彳得(Xi X2)(Xi X2) (yi y2)(yi y?)094因?yàn)锳 B關(guān)于點(diǎn)M對稱，所以Xi+X2=4, yi+y2=2, 代入得乂=I，即直線1的斜率為專,所以直線I的方程為y 1 = 9 （ x+2）,即8x 9y+25=0.（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.）2例6設(shè)Fi、F2分別是橢圓X- y2 1的左、右焦點(diǎn).4（I）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PFi PF,的 最大值

27、和最小值；（n）設(shè)過定點(diǎn)M（0,2）的直線I與橢圓交于不同 的兩點(diǎn)A、B,且/ AOB為銳角（其中0為坐標(biāo) 原點(diǎn)），求直線I的斜率k的取值范圍.解：（I）解法一：易知 a 2,b 1,c ，3 ,所以 Fi 3,0 , F2 ' 3,0，設(shè) P x,y ,UULT LLLU2 22X2i 2貝U PFi PF2' 3 x, y , 3 x, y x y 3 x i 3 3x 844因?yàn)閤 2,2，故當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，Pf! Pb有最小值-2當(dāng)x= 2,即點(diǎn)p為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，Pur pu有最大值i 解法二：易知 a 2,b 1,c J，所以 Fl , 3,0 ,

28、F2 ,3,0，設(shè) P x,y，則UULT uumPF1 PF2UULTPFiuuuuPF2cos F1PF2UULTPFiUUUPF121UULUPF21 1 r2UUUUF1F222PF1uuouPF2UULUPF2.3,312x2 y2 3 (以下同解法一)(n)顯然直線x o不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線i：ykx 2,A Xi, y2 ,B 他、 ,聯(lián)立x2kx 2，消去y ,y2 1整理得:x2 4kx 3X2k24k4X2k24k4k0得：k又00A0B 900 cosA0B 0UUU UUUOA OBUUT又y2k 2 kx? 2k2x-!x2 2k 為 x2UUU0,OA OB%x

29、232 1k4k212 1k40，即 k2 43k2.2 1k48k2.2 1k42故由、得2 k、 - 2 2例7已知橢圓=f321的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2，過 F1的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且AC BD，垂足為P.2 2(I)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo,y°)，證明：生互1 ；32(U)求四邊形ABC啲面積的最小值。(I)證明：橢圓的半焦距c .r2 1,由AC丄BD知點(diǎn)P在以線段F1F2為直徑的圓上，故x0 y 1,所以,(n) (i)當(dāng)BD的斜率k存在且k 0時(shí)，BD的方程為制、,22代入橢圓方程Xr + 1 ,并化簡得(3k2 2)x32r k

30、(x 1),設(shè) B(X1, y1), D(X2, y2)，則:x1x26k23k23kl , “2 3k2x1x2FiOF2DC60x所以,AC四1S -? BD ? AC2_ 14 3 卩 14 巧(k2 1)k_右2形224(k 1)2 22k2(3k22)(2 k2 3)ABCD(k2 1)2 2 2 (3k2)(2 k 3)2的9625 'BDJi k2 ? x1X2I.,-(1 k2)?(X2 X2)2 4x1X24J(2k 因?yàn)锳C與BC相交于點(diǎn)P,且AC的斜率為 ；3k 2當(dāng)k2=1時(shí),上式取等號.(ii)當(dāng)BD的斜率k=0或斜率不存在時(shí)，四邊形ABCD勺面積S=4.綜上

31、，四邊形ABCD勺面積的最小值為9525例8已知函數(shù)y kx與y X2 2(x a 0)的圖象相交于 A(x” yi), B(X2, y2), h ,，分別是y x2 2(x > 0)的圖象在A, B兩點(diǎn)的切線，M，N 分別是li , 12與x軸的交點(diǎn).(I )求k的取值范圍；(II )設(shè)t為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，當(dāng)xi x2時(shí)，寫出t以xi為自變量 的函數(shù)式，并求其定義域和值域；(III )試比較OM與ON的大小，并說明理由(O是坐標(biāo)原 點(diǎn)).解：(I )由方程y曹消y得x2 kx 2 0 . y x 22 依題意，該方程有兩個(gè)正實(shí)根，故 k 8 0，解 為 x2 k 0,得 k 2 2 .(

32、II )由f(x) 2X，求得切線11的方程為y 2xi(x xi) yi ,由yi Xi2 2，并令y 0，得t x丄Xi , X2是方程的兩實(shí)根，且2 XiXi X2，、故Xi p 42= , k 2 2 , Xi是關(guān)于k的減函數(shù)，2k Vk 8所以Xi的取值范圍是(0,2) . t是關(guān)于Xi的增函數(shù)，定義域?yàn)?(0,2),所以值域?yàn)?，0),(III )當(dāng) Xi X2 時(shí)，由(II )可知 OM t ,丄.2 x 類似可得ON|生丄.|OM| ON|7 7 .2 x22xix2由可知XiX2 2 從而0M| |0叫0當(dāng)X2 xi時(shí)，有相同的結(jié)果0M| |0N 0 所以0M| |0N .自

33、我提升1、平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A(3, 1)， B(-1 ? 3)，若點(diǎn)C滿足0C 0A 0B，其中 R且 =1, 則點(diǎn)C的軌跡方程為(D )A. 3x+2y-11=0 B . (x-1) 2+(y-2) 2=5 C 2 x-y =0 D.x+2y-5=02、已知i,j是x,y軸正方向的單位向量，設(shè)a=(x 2)i yj , b=(x 2)i yj ,且滿足 | a| + | b|=4.則點(diǎn) P(x, y)的軌跡是.(C )A.橢圓 B.雙曲線C.線段D.射線3、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0，±52)的橢圓被 直線3x y 2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為*，則橢圓方

34、程為(C )A圧圧1 B.N巫1 C.M丄1 D蘭丄125757525257575254、直線y=kx+1與橢圓乞厶1恒有公共點(diǎn)，則m的取值5 m范圍是(A).A 、ml 且 5B、m 1C、5D nrC55、 已知i,j是x,y軸正方向的單位向量，設(shè)a=(x 3)i yj , b=(x 3)i yj ,且滿足| a|-| b |=2.則點(diǎn)P( x, y)的軌跡C的方 程為.( x2 洼 1(x 0).5. 2012許昌一模設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2 £ = 1的左、右焦點(diǎn)若點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1 PF2= 0,則|PFi + Pf2|=()A 厶 2 2B. 10C . 4 2

35、D. 2 105. D 解析根據(jù)已知厶PF1F2是直角三角形，向量PFi + P2= 2PO,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出沖1畀2= 0,則|麗1 + P2|= 2|PO| = |F1F2|= 2 10.6 .已知A、B為拋物線x2=2py (p>0)上兩點(diǎn)，直線 AB過焦點(diǎn)F, A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為 C、D則y 軸上恒存在一點(diǎn) K,使得KA?kf 0 :CF?df 0 :存在實(shí) 數(shù) 使得AD AO :若線段AB中點(diǎn)P在在準(zhǔn)線上的射影 為T,有FT?AB 0。中說法正確的為 . 27. 已知橢圓亍y2 1,過P(1,0)作直線I，使得I與該橢圓交于A,B兩點(diǎn),與y軸的交點(diǎn)為Q 且AQ PB，求直線丨的方程。解：直線丨過P(1,0),故可設(shè)方程為y=k(x-1),因?yàn)閍q Puu,所以AB的中點(diǎn)與PQ的中點(diǎn)重合.24k21 2k2，又由省 y2 1 得(1+2 k2) x2-4 k2x+2(k2-1)=0 所以 xy k(x 1)Xp+XcF1故嚴(yán)話1得k -2，所求的直線方程為y ¥(x 1)8. 2012瑞安質(zhì)檢設(shè)橢圓M :字+專=1(a>V2)的 a2右焦點(diǎn)為Fl,直線I: X = a c與x軸交