立體幾何中二面角的求法教師版

1、高二文科數(shù)學(xué)培優(yōu)： 立體幾何中二面角的求法編寫：林洪兵2016-1-6一、定義法： 例1:如圖1，設(shè)正方形ABCD-A1B1C1D！中，E為CC1中點(diǎn)，求截面A1BD和EBD所成二面角的度數(shù)。分析與解：本題可用定義法直接作出兩截面A1BD、EBD所成二面角的平面角，設(shè)AC、BD交于O，連EO，A1O，由EB=ED，A1B=A1D即知EOBD，A1OBD，故EOA1為所求二面角的平面角。變式1：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值為 .分析與略解：“小題”不必“大做”，由圖1知所求二面角為二面角C-BD-C1的“補(bǔ)角”.教材中根本就沒有“二面角的補(bǔ)角”這個概念，但通

2、過幾何直觀又很容易理解其意義，這就叫做直覺思維，在立體幾何中必須發(fā)展這種重要的思維能力.易知COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tanCOC1=。將題目略作變化，二面角A1-BD-C1的余弦值為 .在圖1中，A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，設(shè)出正方體的棱長，用余弦定理易求得cosA1OC1=二、三垂線法這是最典型也是最常用的方法，當(dāng)然此法仍扎“根”于二面角平面角的定義.A圖3PBl此法最基本的一個模型為：如圖3，設(shè)銳二面角，過面內(nèi)一點(diǎn)P作PA于A，作ABl于B，連接PB，由三垂線定理得PBl，則PBA為二面角的平面角，故稱此法為三垂線法.最重要的是在“變形(形狀改變)”和“變

3、位(位置變化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在該角所在的三角形(最好是直角三角形，如圖3中的RtPAB)中求解.對于鈍二面角也完全可以用這種方法，銳角的補(bǔ)角不就是鈍角嗎？例2 如圖3，設(shè)三棱錐V-ABC中，VA底面ABC，ABBC，DE垂直平分VC，且分別交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度數(shù)。分析與解   本題應(yīng)用垂線法作出二面角的平面角，因VBC為等腰三角形，E為VC中點(diǎn)，故BEVC，又因DEVC，故VC平面BED，所以BDVC，又VA平面ABC，故VABD，從而BD平面VAC。圖4B1AA1BlEF例3(2006年陜西試題)如

4、圖4，平面平面，=l，A，B，點(diǎn)A在直線l上的射影為A1，點(diǎn)B在l的射影為B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：()略；()二面角A1ABB1的正弦值.分析與略解：所求二面角的棱為AB，不像圖3的那樣一看就明白的狀態(tài)，但本質(zhì)卻是一樣的，對本質(zhì)的觀察能力反映的是思維的深刻性.作A1EAB1于AB1于E，則可證A1E平面AB1B.過E作EFAB交AB于F，連接A1F，則得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=，A1B=，A1E=，A1F=，則在RtA1EF中，sinA1FE=.三、垂面法：例3 如圖6，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、

5、C1D1的中點(diǎn)。（1）求證：A1、E、C、F四點(diǎn)共面；（2）求二面角A1-EC-D的正切值的大小。分析與證明 （1）要證A1、E、C、F四點(diǎn)共面，可證：A、F/EC，取DC中點(diǎn)H，連AH、FH，則AHEC，又FHA1A。故A1F/AH，即A1F/EC，從而A、E、C、F四點(diǎn)共面。（2）要求二面角A1-EC-D的大小，先要作出二面角的平面角，本題可用三垂線法，因FH底面ABCD于H，過H作HMEC于M，連FM，則由三垂線定理知FMEC。    所以HMF為所求二面角A1-EC-D的平面角。    例4空間的點(diǎn)P到二面角的面、及棱l的距離

6、分別為4、3、，求二面角的大小.分析與略解：如圖5，分別作PA于A，PB于B，則易知l平面PAB，設(shè)l平面PAB=C，連接PC，則lPC.分別在RtPAC、RtPBC中，PC=，PA=4，PB=3，則AC=，BC=.因?yàn)镻、A、C、B四點(diǎn)共圓，且PC為直徑，設(shè)PC=2R，二面角的大小為.分別在PAB、ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()，則可解得cos=，=120o，二面角的大小為120o.四、延伸法例4. 如圖10，設(shè)正三棱柱ABC-A'B'C'各棱長均為，D為CC1中點(diǎn)，求平面A'BD與平面ABC所成二面角的度數(shù)。分析與解  由圖，平面A'BD與平面ABC只出現(xiàn)一個交點(diǎn)，故延長A'D交AC延長線于F點(diǎn)，連BF，則BF為所求二面角的棱。因CD=C'D，則A'C'=CF=BC=AC，所以ABF=90°，取BF中點(diǎn)E，連DE，則CEBF，又DC平面ABF，即DEBF，從而DEC為所求二面角的平面角。說明  本題也可用射影法求二面角的度數(shù)。五、射影法例5如圖12，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為AA1上點(diǎn)，A1M:MA=3:1,求截面B