第23講 圖解法

1、 第23講 圖解法 有許多應(yīng)用題，其中的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，而通過(guò)畫(huà)圖可以把數(shù)量之間的關(guān)系變得直觀(guān)明了，從而達(dá)到解題目的。這種通過(guò)畫(huà)圖幫助解題的方法就是圖解法。我們通過(guò)下面幾道例題來(lái)講解在各種類(lèi)型的應(yīng)用題中如何使用圖解法解題。例1 甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家荣愐槐P(pán)。到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了4盤(pán)，乙賽了3盤(pán)，丙賽了2盤(pán)，丁賽了1 盤(pán)。問(wèn)：小強(qiáng)已經(jīng)賽了幾盤(pán)？分別與誰(shuí)賽過(guò)？分析與解：這道題按照常規(guī)思路似乎不太好解決，我們畫(huà)個(gè)圖試試。用五個(gè)點(diǎn)分別表示參加比賽的五個(gè)人，如果某兩人已經(jīng)賽過(guò)，就用線(xiàn)段把代表這兩個(gè)人的點(diǎn)連結(jié)起來(lái)。因?yàn)榧滓呀?jīng)賽了4盤(pán)，除了甲以外還有4個(gè)點(diǎn)，所以

2、甲與其他4個(gè)點(diǎn)都有線(xiàn)段相連（見(jiàn)左下圖）。因?yàn)槎≈毁惲?盤(pán)，所以丁只與甲有線(xiàn)段相連。因?yàn)橐屹惲?盤(pán)，除了丁以外，乙與其他三個(gè)點(diǎn)都有線(xiàn)段相連（見(jiàn)右上圖）。因?yàn)楸惲?盤(pán)，右上圖中丙已有兩條線(xiàn)段相連，所以丙只與甲、乙賽過(guò)。由上頁(yè)右圖清楚地看出，小強(qiáng)賽過(guò)2盤(pán)，分別與甲、乙比賽。例2 一群人在兩片草地上割草，大的一片草地比小的正好大1倍。他們先全體在大的一片草地干了半天，下午留下一半人在大草地上繼續(xù)干，收工時(shí)正好把草割完；另一半人到小草地上干，收工時(shí)還余下一塊，這塊再用1人經(jīng)1天也可割完。問(wèn)：這群干活的人共有多少位？分析與解：本題有多種解法，其中利用圖解法十分簡(jiǎn)潔。設(shè)一半人干半天的工作量為1份。因?yàn)樵诖?/p>

3、草地上全體人干了半天，下午一半人又干了半天，正好割完，所以大草地的工作量是3份。由題意，小草地因?yàn)橄挛缬幸话肴嗽谛〔莸厣细闪税胩?，即干?份，所以小草地沒(méi)干完的是例3 A，B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)步行到B地，乙騎摩托車(chē)從B地同時(shí)出發(fā)，不停頓地往返于A，B兩地之間。80分鐘后他們第一次相遇，又過(guò)了20分鐘乙第一次超越甲。求甲、乙速度之比。分析與解：在行程問(wèn)題中，通常先畫(huà)出運(yùn)行圖，這樣直觀(guān)清晰，可以幫助我們分析各個(gè)量之間的關(guān)系。依照題意畫(huà)運(yùn)行圖如下：第一次相遇時(shí)甲、乙各行了80分鐘，到第一次超越時(shí)，甲共行100分鐘，而乙在第一次相遇到第一次超越的這20分鐘內(nèi)行的路程，相當(dāng)于甲行80100=1

4、80（分）的路。所以甲、乙的速度之比為2018019。例4 兩名運(yùn)動(dòng)員在長(zhǎng)為50米的游泳池里來(lái)回游泳。甲運(yùn)動(dòng)員的速度是1米/秒，乙運(yùn)動(dòng)員的速度是0.5米/秒，他們同時(shí)分別在游泳池的兩端出發(fā)，來(lái)回共游了5分鐘，如果不計(jì)轉(zhuǎn)向時(shí)間，那么在這段時(shí)間里共相遇了幾次？分析與解：甲游完一個(gè)全程要50÷1=50（秒），乙游完一個(gè)全程要50÷0.5=100（秒），畫(huà)出這兩人的運(yùn)行圖。圖中實(shí)線(xiàn)段和虛線(xiàn)段的每個(gè)交點(diǎn)表示兩運(yùn)動(dòng)員相遇了一次，從圖上可以看出，甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在5分鐘內(nèi)共相遇了5次，其中，有2次在游泳池的兩端相遇。例4中，如果按照相遇、追及的過(guò)程分別計(jì)算，是十分麻煩的。通過(guò)畫(huà)出運(yùn)行圖，結(jié)果一目了然。例5 容器中有某種酒精含量的酒精溶液，加入一杯水后酒精含量降為25；再加入一杯純酒精后酒精含量升為40。那么原來(lái)容器中酒精溶液的酒精含量是多少？分析與解：把加完水和酒精后的酒精溶液分成5份，因?yàn)榫凭渴?0，所以其中有2份純酒精，3份水（見(jiàn)左下圖，表示純酒精，表示水）。加入純酒精前酒精含量為25，即純酒精與水之比是13，因此應(yīng)該是1個(gè)和3個(gè)（見(jiàn)下中圖），推知加入的一杯純酒精相當(dāng)于1個(gè)，則一杯水是1個(gè)，原來(lái)容器中有1個(gè)和2個(gè)（見(jiàn)右下圖），酒精含量為33.3。例6 有三堆圍棋子，每堆棋子數(shù)相等。第一堆中的黑子與第二堆中的白子部棋子的幾分之幾？分析與解：因?yàn)槿褔遄訑?shù)量相同，我們