山西省太原市高中數(shù)學競賽解題策略-幾何分冊第25章九點圓定理

1、第25章九點圓定理九點圓定理三角形三條高的垂足、三邊的中點以及垂心與頂點的三條連線段的中點，這九點共圓如圖25-1，設三條高，的垂足分別為、，三邊、的中點分別為、，又、的中點分別為、，則、九點共圓證法1聯(lián)結，則，即知為平行四邊形，又，知為矩形從而、四點共圓，且圓心為與的交點同理，為矩形，從而、六點共圓，且，均為這個圓的直徑由，知，三點也在這個圓上，故、九點共圓證法2如圖25-1，由，以及注意到是與的公共弦，知，有，亦即，從而知因此，、四點共圓同理，、四點共圓即知、五點共圓同理，、以及、；、；、分別五點共圓故、九點共圓證法3如圖25-1聯(lián)結、，則注意到，則，即又，而，則，即注意到，則由，有因，則

2、同理，、皆等于即、各點皆在以為直徑的圓周上故、九點共圓證法4如圖25-1，注意到為平行四邊形，則么，即知、四點共圓又（注意，），則知、四點共圓即知、在上同理，、也在上故、九點共圓證法5設的外心為，取的中點并記為，聯(lián)結，以為圓心，為半徑作圓，如圖25-1所示由，知在圓上同理，、也在圓上由（可由延長交的外接圓于，得為平行四邊形，此時為的中點，則為的中位線即得），知又，知，從而，且、共線，故在圓上同理，、在圓上由、共線知為圓V的一條直徑又，知、在圓上故、R九點共圓上述圓通常稱為九點圓，也有人叫費爾巴哈圓或歐拉圓顯然，正三角形的九點圓即力其內切圓由上述定理及其證明，我們可得如下一系列推論：推論1九點圓

3、的圓心是其外心與垂心所連接線段的中點，九點圓的半徑是的外位圓半徑的注意到與是以垂心為外位似中心的位似形，位似比是，因此，可得推論2三角形的九點圓與其外接圓是以三角形的垂心為外位似中心，位似比是的位似形；垂心與三角形外接圓上任一點的連線段被九點圓截成相等的兩部分注意到歐拉定理（歐拉線），又可得推論3的外心，重心，九點圓圓心，垂心，這四點（心）共線，且，或和對于和是調和共軛的，即推論4的九點圓與的外接圓又是以的重心為內位似中心，位似比為12的位似形事實上，因為兩相似三角形與的相似中心，而的外接圓即的九點圓推論5一垂心組的四個三角形有一個公共的九點圓；已知圓以已知點為垂心的所有內接三角形有共同的九點

4、圓另外，我們還可推知如下結論：結論1三角形的四個切圓（內切圓和三個旁切圓）與其九點圓相切，垂心組有四個三角形，故有16個切圓與此九點圓相切結論2垂心組的兩個三角形的外心與已知垂心組各點，關于九點圓圓心對稱三角形的垂心組與其外心構成的垂心組有同一九點圓結論3垂心組的九點圓與此重心所成的另一垂心組的九點圓同心下面，運用九點圓定理處理一些問題：例1（2001年全國高中聯(lián)賽題）如圖25-2，中，為外心，三條高，交于點，直線和交于點，和交于點，求證：（1），（2）證明（1）設的外接圓半徑為，由相交弦定理，有，從而由，四點共圓，有，即，亦即故同理，（2）由九點圓定理的推論1，知的中點為DEF的外心又由D，

5、E，A，B及D，分別四點共圓，有，由此，即知，對的外接圓與的外接圓的冪相等，從而，在這兩個外接圓的根軸上，即有，故例2（第31屆預選題）如圖25-3，中，為外心，是垂心，作，和的外接圓，依次記它們的圓心為，求證：，且這兩個三角形的九點圓重合證明則，知外接圓的半徑和外接圓的半徑相等，從而，有是關于的對稱點設是中點，則知，即又，則聯(lián)結與的交點為的中心，即與互相平分于同理，也經過且被它平分，從而與關于中心對稱，故顯然，是九點圓的圓心因此，這個圓關于作中心對稱時不變，它也是的九點圓例3（1994年亞太地區(qū)數(shù)學奧林匹克題）給定非退化的，設外心為，垂心為，外接圓的半徑為，求證：證明設是的重心，是九點圓的圓

6、心，和對于和是共線且調和共軛的，考察以點為起點的向量，則因此僅當時等號成立，這是不可能的，故例4（第30屆試題）如圖25-4，銳角中，的平分線與三角形的外接圓交于另一點，點，與此類似直線與，兩角的外角平分線交于，點，與此類似，求證：（1）的面積是六邊形面積的2倍（2）的面積至少是的面積的4倍證明（1）令的內心為（），則又是的垂心（內、外角平分線互相垂直）顯然，的外接圓是的九點圓，即知，分別為，的中點，于是得，從而同理，故（2）由（1），有故只要證記，則同理，于是例5（第23屆試題）如圖25-5，是一非等腰三角形，它的邊長分別為，其中是的對邊，是邊的中點的內切圓圓切邊于點，是關于平分線的對稱點，

7、求證：，三線共點證明由題設，知，下面證由和，和分別關于直線對稱，有同理故有即是等腰的頂點，有從而同理，又，于是和的對應邊兩兩平行，故這兩個三角形或全等或位似由于內接于的內切圓，而內接于的九點圓，且不為正三角形，故其內切圓與九點圓不重合，所以與位似，這就證明了，共點（于位似中心）例6（2007年臺灣數(shù)學奧林匹克題）給定及其外接圓證明：的外接上對徑的兩點對應的西姆松線相互垂直，且它們的交點在的九點圓上證明如圖25-6，設、為的外接圓的對徑點，這兩點的西姆松絨與交于點因為，所以，記、的西姆松線分別為，則于由西姆松線的性質1，知知（為的垂心）的中點，過的中點，即知又外心為的中點，則過的中點，且為九點圓

8、圓心故為九點圓直徑因為，所以，點在的九點圓上綜上所述，欲證結論獲證例7求證：三角形的外心至各頂點聯(lián)結線的中點所連成的三角形，與原三角形的中點三角形有共同的九點圓（三角形三邊中點所連成的三角形為原三角形的中點三角形）證明如圖25-7，因，；，；，所以為的垂心，于是、與三邊的交點所得的外接圓是的九點圓又，分別是，的中點，所以又是的九點圓，故與有共同的九點圓例8設是的外心，連、分別交、于、，則直徑分別為、的圓同切于的九點圓證明如圖25-8，設為垂心，則的九點圓圓心在的中點設直徑為的圓的圓心為，為在邊的射影，則在上，也在上作于，于且交于，連交于，則，從而，即有，即為的中點，亦即與重合此時，即與相切同理

9、，以、為直徑的圓亦與相切例9在中，是邊上的高，分別是、過點，命在上的射影為，聯(lián)結與設交于點圓，且圓心與同在的九點圓上證明如圖25-9，、，則由、；、分別四點共圓，知，即知點在上（即為九點圓）聯(lián)結、，則知、均為等腰三角形，分別過、作、的垂線交于點，則，而在上，從而點在上例10四點（沒有三點共線）兩兩連成四個三角形，它們的九點圓共點證明如圖25-10，、為沒有三點共線的四點，分別是、的九點圓設、的中點分別為、由九點圓定義知，過點、三點，過、三點既然與已有一個交點，它們應當有第二個交點聯(lián)結、，則但和都是平行四邊形，因而且，代入得聯(lián)結，即知也為平行四邊形，于是以此代入，便有這說明點、四點共圓，即通過點同理，也通過點故，相交于一點注：當、中有三點共線時，那么有一個九點圓變態(tài)為一直線這時結論仍成立，但四點共線就沒有意義了練習題二十五1設是的重心，是這個三角形的外接圓上任一點，聯(lián)結并延長至，使，則點在的九點圓上2試證：的垂心與其外接圓上的點的連線被其九點圓平分3設，分別為的內心和外心，為由三個旁心所組成的的外心，則，三點共線4設的邊，的中點分別為，從向作垂線和的九點圓相交于點，再作關于的平分線對稱的線段，則5設的的平分線為，從作內切圓的切線，其切點為，設的中點為，延長和這個圓的另一交點為，則在的九點圓上6（