同濟第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第07章 空間解析幾何與向量代數(shù)

1、高等數(shù)學(xué)教案 §7空間解析幾乎與向量代數(shù) 第七章 空間解析幾何與向量代數(shù) 教學(xué)目的： 1、理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個向量垂直和平行的條件。3、 理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達式，熟練掌握用坐標(biāo)表達式進行向量運算的方法。4、 掌握平面方程和直線方程及其求法。5、 會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。6、 會求點到直線以及點到平面的距離。7、 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)

2、軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。8、 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。9、 了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會求其方程。教學(xué)重點： 1、向量的線性運算、數(shù)量積、向量積的概念、向量運算及坐標(biāo)運算； 2、兩個向量垂直和平行的條件； 3、平面方程和直線方程； 4、平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的相互位置關(guān)系的判定條件； 5、點到直線以及點到平面的距離； 6、常用二次曲面的方程及其圖形； 7、旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程； 8、空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。教學(xué)難點： 1、向量積的向量運算及坐標(biāo)運算； 2、平面方程和直線方程及其求法； 3、點到直線的距離； 4、二次曲面圖

3、形； 5、旋轉(zhuǎn)曲面的方程；§7. 1 向量及其線性運算 一、向量概念 向量: 在研究力學(xué)、物理學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)時, 常會遇到這樣一類量, 它們既有大小, 又有方向. 例如力、力矩、位移、速度、加速度等, 這一類量叫做向量. 在數(shù)學(xué)上, 用一條有方向的線段(稱為有向線段)來表示向量. 有向線段的長度表示向量的大小, 有向線段的方向表示向量的方向. 向量的符號: 以A為起點、B為終點的有向線段所表示的向量記作. 向量可用粗體字母表示, 也可用上加箭頭書寫體字母表示, 例如, a、r、v、F或、. 自由向量: 由于一切向量的共性是它們都有大小和方向, 所以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點無關(guān)的向

4、量, 并稱這種向量為自由向量, 簡稱向量. 因此, 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 則說向量a和b是相等的, 記為a = b. 相等的向量經(jīng)過平移后可以完全重合. 向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a、的模分別記為|a|、. 單位向量: 模等于1的向量叫做單位向量. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 記作0或. 零向量的起點與終點重合, 它的方向可以看作是任意的. 向量的平行: 兩個非零向量如果它們的方向相同或相反, 就稱這兩個向量平行. 向量a與b平行, 記作a / b. 零向量認(rèn)為是與任何向量都平行. 當(dāng)兩個平行向量的起點放在同一點時, 它們的終點和公共的起點在一條直

5、線上. 因此, 兩向量平行又稱兩向量共線. 類似還有共面的概念. 設(shè)有k(k³3)個向量, 當(dāng)把它們的起點放在同一點時, 如果k個終點和公共起點在一個平面上, 就稱這k個向量共面. 二、向量的線性運算 1向量的加法 向量的加法: 設(shè)有兩個向量a與b, 平移向量使b的起點與a的終點重合, 此時從a的起點到b的終點的向量c稱為向量a與b的和, 記作a+b, 即c=a+b . 三角形法則: 上述作出兩向量之和的方法叫做向量加法的三角形法則. 平行四邊形法則: 當(dāng)向量a與b不平行時, 平移向量使a與b的起點重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形, 從公共起點到對角的向量等于向量a與b的和a+b

6、. A B C A B C D 向量的加法的運算規(guī)律: (1)交換律a+b=b+a; (2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c). 由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律, 故n個向量a1, a2, × × ×, an(n ³3)相加可寫成 a1+a2+ × × ×+an, 并按向量相加的三角形法則, 可得n個向量相加的法則如下: 使前一向量的終點作為次一向量的起點, 相繼作向量a1, a2, × × ×, an, 再以第一向量的起點為起點, 最后一向量的終點為終點作一向量, 這個向量即為所求的和.

7、負向量: 設(shè)a為一向量, 與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負向量, 記為-a. 向量的減法: 我們規(guī)定兩個向量b與a的差為b-a=b+(-a). 即把向量-a加到向量b上, 便得b與a的差b-a. 特別地, 當(dāng)b=a時, 有 a-a=a+(-a)=0. - - - 顯然, 任給向量及點O, 有 , 因此, 若把向量a與b移到同一起點O, 則從a的終點A向b的終點B所引向量便是向量b與a的差b-a . 三角不等式: 由三角形兩邊之和大于第三邊的原理, 有|a+b|£|a|+|b|及|a-b|£|a|+|b|, 其中等號在b與a同向或反向時成立. 2向量與數(shù)的乘法 向量與數(shù)

8、的乘法的定義: 向量a與實數(shù)l的乘積記作la, 規(guī)定la是一個向量, 它的模|la|=|l|a|, 它的方向當(dāng)l>0時與a相同, 當(dāng)l<0時與a相反. 當(dāng)l=0時, |la|=0, 即la為零向量, 這時它的方向可以是任意的. 特別地, 當(dāng)l=±1時, 有1a=a, (-1)a=-a. 運算規(guī)律: (1)結(jié)合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； (2)分配律 (l+m)a=la+ma； l(a+b)=la+lb. 例1. 在平行四邊形ABCD中, 設(shè)=a, =b. 試用a和b表示向量、, 其中M是平行四邊形對角線的交點. 解 由于平行四邊形的對角線互相平分, 所以A

9、B C D M a+b, 即 -(a+b), 于是 (a+b). 因為, 所以(a+b). 又因-a+b, 所以(b-a). 由于, 所以(a-b). 例1 在平行四邊形ABCD中, 設(shè), . 試用a和b表示向量、, 其中M是平行四邊形對角線的交點. A B C D M 解 由于平行四邊形的對角線互相平分, 所以 , 于是; . 因為, 所以; 向量的單位化: 設(shè)a¹0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. 于是a=|a|ea. 向量的單位化: 設(shè)a¹0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. 于是a = | a | ea. 定理1 設(shè)向量a ¹ 0

10、, 那么, 向量b平行于a的充分必要條件是: 存在唯一的實數(shù)l, 使 b = la. 證明: 條件的充分性是顯然的, 下面證明條件的必要性. 設(shè)b / a. 取, 當(dāng)b與a同向時l取正值, 當(dāng)b與a反向時l取負值, 即b=la. 這是因為此時b與la同向, 且 |la|=|l|a|. 再證明數(shù)l的唯一性. 設(shè)b=la, 又設(shè)b=ma, 兩式相減, 便得 (l-m)a=0, 即|l-m|a|=0. 因|a|¹0, 故|l-m|=0, 即l=m. 給定一個點及一個單位向量就確定了一條數(shù)軸. 設(shè)點O及單位向量i確定了數(shù)軸Ox, 對于軸上任一點P, 對應(yīng)一個向量, 由/i, 根據(jù)定理1, 必

11、有唯一的實數(shù)x, 使=xi(實數(shù)x叫做軸上有向線段的值), 并知與實數(shù)x一一對應(yīng). 于是 點P«向量= xi«實數(shù)x , 從而軸上的點P與實數(shù)x有一一對應(yīng)的關(guān)系. 據(jù)此, 定義實數(shù)x為軸上點P的坐標(biāo). 由此可知, 軸上點P的坐標(biāo)為x的充分必要條件是 = xi . 三、空間直角坐標(biāo)系 在空間取定一點O和三個兩兩垂直的單位向量i、j、k, 就確定了三條都以O(shè)為原點的兩兩垂直的數(shù)軸, 依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸), 統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸. 它們構(gòu)成一個空間直角坐標(biāo)系, 稱為Oxyz坐標(biāo)系. 注: (1)通常三個數(shù)軸應(yīng)具有相同的長度單位; (2)通常把x 軸和y軸配置在

12、水平面上, 而z軸則是鉛垂線; (3)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則. 坐標(biāo)面: 在空間直角坐標(biāo)系中, 任意兩個坐標(biāo)軸可以確定一個平面, 這種平面稱為坐標(biāo)面. x軸及y軸所確定的坐標(biāo)面叫做xOy面, 另兩個坐標(biāo)面是yOz面和zOx面. 卦限: 三個坐標(biāo)面把空間分成八個部分, 每一部分叫做卦限, 含有三個正半軸的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy面的上方. 在xOy面的上方, 按逆時針方向排列著第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy面的下方, 與第一卦限對應(yīng)的是第五卦限, 按逆時針方向還排列著第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八個卦限分別用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示.

13、 向量的坐標(biāo)分解式: 任給向量r, 對應(yīng)有點M, 使. 以O(shè)M為對角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長方體, 有 , 設(shè) , , , 則 . 上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式, xi、yj、zk稱為向量r沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量. 顯然, 給定向量r, 就確定了點M及, , 三個分向量, 進而確定了x、y、z三個有序數(shù); 反之, 給定三個有序數(shù)x、y、z也就確定了向量r與點M. 于是點M、向量r與三個有序x、y、z之間有一一對應(yīng)的關(guān)系 . 據(jù)此, 定義: 有序數(shù)x、y、z稱為向量r(在坐標(biāo)系Oxyz)中的坐標(biāo), 記作r=(x, y, z); 有序數(shù)x、y、z也稱為點M(在坐標(biāo)系Oxyz)的坐標(biāo), 記為M(x,

14、y, z). 向量稱為點M關(guān)于原點O的向徑. 上述定義表明, 一個點與該點的向徑有相同的坐標(biāo). 記號(x, y, z)既表示點M, 又表示向量. 坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點, 其坐標(biāo)各有一定的特征. 例如: 點M在yOz面上, 則x=0; 同相, 在zOx面上的點, y=0; 在xOy面上的點, z=0. 如果點M在x軸上, 則y=z=0; 同樣在y軸上,有z=x=0; 在z軸上 的點, 有x=y=0. 如果點M為原點, 則x=y=z=0. 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算 設(shè)a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)即 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk ,

15、則 a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk) =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k =(ax+bx, ay+by, az+bz). a-b=(axi+ayj+azk)-(bxi+byj+bzk) =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k =(ax-bx, ay-by, az-bz). la=l(axi+ayj+azk) =(lax)i+(lay)j+(laz)k =(lax, lay, laz). 利用向量的坐標(biāo)判斷兩個向量的平行: 設(shè)a=(ax, ay, az)¹0, b=(bx, by, bz), 向量b/aÛb=l

16、a , 即b/aÛ(bx, by, bz)=l(ax, ay, az), 于是. 例2 求解以向量為未知元的線性方程組,其中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2). 解 如同解二元一次線性方程組, 可得 x=2a-3b, y=3a-5b . 以a、b的坐標(biāo)表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2)=(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16). 例3 已知兩點A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及實數(shù)l¹-1, 在直線AB上求一點M, 使. 解 由于, ,

17、 因此 , 從而 . , 這就是點M的坐標(biāo). 另解 設(shè)所求點為M (x, y, z), 則, . 依題意有, 即 (x-x1, y-y1, z-z1)=l(x2-x, y2-y, z2-z) (x, y, z)-(x1, y1, z1)=l(x2, y2, z2)-l(x, y, z), , , , . 點M叫做有向線段的定比分點. 當(dāng)l=1, 點M的有向線段的中點, 其坐標(biāo)為 , , . 五、向量的模、方向角、投影 1向量的模與兩點間的距離公式 設(shè)向量r=(x, y, z), 作, 則 , 按勾股定理可得 , 設(shè) , , , 有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|, 于

18、是得向量模的坐標(biāo)表示式 . 設(shè)有點A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), 則 =(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1)=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), 于是點A與點B間的距離為 . 例4 求證以M1(4, 3, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形. 解 因為 | M1M2|2 =(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 =14, | M2M3|2 =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 =6, | M1M3|2 =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6, 所以|M2 M3|=|M1

19、M3|, 即D M1 M2 M3為等腰三角形. 例5 在z軸上求與兩點A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距離的點. 解 設(shè)所求的點為M(0, 0, z), 依題意有|MA|2=|MB|2, 即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得, 所以, 所求的點為. 例6 已知兩點A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求與方向相同的單位向量e. 解 因為, , 所以 . 2方向角與方向余弦 當(dāng)把兩個非零向量a與b的起點放到同一點時, 兩個向量之間的不超過p的夾角稱為向量a與b的夾角, 記作或. 如果向量a與b中有一個是零向量,

20、 規(guī)定它們的夾角可以在0與p之間任意取值. 類似地, 可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角. 非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角. 向量的方向余弦: 設(shè)r=(x, y, z), 則 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 稱為向量r的方向余弦. , , . 從而 . 上式表明, 以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量e r . 因此cos2a+cos2b+cos2g=1. 例3 設(shè)已知兩點)和B (1, 3, 0), 計算向量的模、方向余弦和方向角. 解 ; ; , , ; , , . 3向量在

21、軸上的投影 設(shè)點O及單位向量e確定u軸. 任給向量r, 作, 再過點M作與u軸垂直的平面交u軸于點M¢(點M¢叫作點M在u軸上的投影), 則向量稱為向量r在u軸上的分向量. 設(shè), 則數(shù)l稱為向量r在u軸上的投影, 記作Prjur或(r)u . 按此定義, 向量a在直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)ax, ay, az就是a在三條坐標(biāo)軸上的投影, 即 ax=Prjxa, ay=Prjya, az=Prjza. 投影的性質(zhì): 性質(zhì)1 (a)u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j), 其中j為向量與u軸的夾角; 性質(zhì)2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+

22、b)= Prjua+Prjub); 性質(zhì)3 (la)u=l(a)u (即Prju(la)=lPrjua); §7. 2 數(shù)量積 向量積 一、兩向量的數(shù)量積 數(shù)量積的物理背景: 設(shè)一物體在常力F作用下沿直線從點M1移動到點M2. 以s表示位移. 由物理學(xué)知道, 力F所作的功為 W = |F| |s| cosq , 其中q 為F與s的夾角. 數(shù)量積: 對于兩個向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積, 記作a×b, 即a·b=|a| |b| cosq . 數(shù)量積與投影: 由于|b| cosq =|b|cos(a, b)

23、, 當(dāng)a¹0時, |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是a·b = |a| Prj ab. 同理, 當(dāng)b¹0時, a·b = |b| Prj ba. 數(shù)量積的性質(zhì): (1) a·a = |a| 2. (2) 對于兩個非零向量 a、b, 如果 a·b =0, 則 ab; 反之, 如果ab, 則a·b =0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直, 則ab Û a·b =0. 數(shù)量積的運算律: (1)交換律: a·b = b·a; (2)分配律: (a+b)×

24、;c=a×c+b×c . (3) (la)·b = a·(lb) = l(a·b), (la)·(mb) = lm(a·b), l、m為數(shù). (2)的證明: 分配律(a+b)×c=a×c+b×c的證明: 因為當(dāng)c=0時, 上式顯然成立; 當(dāng)c¹0時, 有 (a+b)×c=|c|Prjc(a+b) =|c|(Prjca+Prjcb) =|c|Prjca+|c|Prjcb =a×c+b×c . 例1 試用向量證明三角形的余弦定理.證: 設(shè)在ABC中, BCA=

25、q (圖7-24), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c, 要證 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q . 記=a, =b, =c, 則有 c=a-b, 從而 |c|2=c × c=(a-b)(a-b)=a × a+b × b-2a × b=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a,b), 即 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q . 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a=(ax, ay, az ), b=(bx, by, bz ), 則 a·b=axbx+ayby+azbz .提示: 按數(shù)量積的運算規(guī)律可得 a·

26、b =( ax i + ay j + az k)·(bx i + by j + bz k) =ax bx i·i + ax by i·j + ax bz i·k +ay bx j ·i + ay by j ·j + ay bz j·k +az bx k·i + az by k·j + az bz k·k = ax bx + ay by + az bz . 兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示: 設(shè)q=(a, b), 則當(dāng)a¹0、b¹0時, 有 . 提示: a·b=|a|b|c

27、osq . 例2 已知三點M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求ÐAMB . 解 從M到A的向量記為a, 從M到B的向量記為b, 則ÐAMB 就是向量a與b的夾角. a=1, 1, 0, b=1, 0, 1. 因為 a×b=1´1+1´0+0´1=1, , . 所以 . 從而 . 例3設(shè)液體流過平面S 上面積為A的一個區(qū)域, 液體在這區(qū)域上各點處的流速均為（常向量)v. 設(shè)n為垂直于S的單位向量（圖7-25(a)）, 計算單位時間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P(液體的密度為). 解 單位

28、時間內(nèi)流過這區(qū)域的液體組成一個底面積為A、斜高為| v |的斜柱體(圖7-25(b).這柱體的斜高與底面的垂線的夾角就是v 與n的夾角q , 所以這柱體的高為| v | cosq, 體積為 A| v | cos q = A v ·n.從而, 單位時間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量為 P=rAv ·n. 二、兩向量的向量積 在研究物體轉(zhuǎn)動問題時, 不但要考慮這物體所受的力, 還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩. 設(shè)O為一根杠桿L的支點.有一個力F作用于這杠桿上P點處. F與的夾角為q . 由力學(xué)規(guī)定, 力F對支點O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于與F所決定的平面

29、, M的指向是的按右手規(guī)則從以不超過p的角轉(zhuǎn)向F來確定的. 向量積: 設(shè)向量c是由兩個向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 為a與b間的夾角; c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定. 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作a´b, 即c = a´b. 根據(jù)向量積的定義, 力矩M等于與F的向量積, 即. 向量積的性質(zhì): (1) a´a = 0 ; (2) 對于兩個非零向量a、b, 如果a´b = 0, 則a/b; 反之, 如果a/b, 則a´b = 0. 如果認(rèn)為零向

30、量與任何向量都平行, 則a/b Û a´b = 0. 數(shù)量積的運算律: (1) 交換律a´b = -b´a; (2) 分配律: (a+b)´c = a´c + b´c. (3) (la)´b = a´(lb) = l(a´b) (l為數(shù)). 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k. 按向量積的運算規(guī)律可得a´b = ( ax i + ay j + az k) ´ ( bx i + by j + bz

31、k) = ax bx i´i + ax by i´j + ax bz i´k+ay bx j´i + ay by j´j + ay bz j´k +az bx k´i + az by k´j + az bz k´k. 由于i´i = j´j = k´k = 0, i´j = k, j´k = i, k´i = j, 所以a´b = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - a

32、y bx) k. 為了邦助記憶, 利用三階行列式符號, 上式可寫成 =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. . 例4 設(shè)a=(2, 1, -1), b=(1, -1, 2), 計算a´b . 解 =2i-j-2k-k-4j-i =i-5j -3k. 例5 已知三角形ABC的頂點分別是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積. 解 根據(jù)向量積的定義, 可知三角形ABC的

33、面積. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是 . 例6 設(shè)剛體以等角速度w 繞l 軸旋轉(zhuǎn), 計算剛體上一點M的線速度. 解 剛體繞l 軸旋轉(zhuǎn)時, 我們可以用在l 軸上的一個向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手規(guī)則定出: 即以右手握住l 軸, 當(dāng)右手的四個手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時, 大姆指的指向就是w的方向. 設(shè)點M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a , 再在l軸上任取一點O作向量r =, 并以q 表示w與r的夾角, 那么a = |r| sinq . 設(shè)線速度為v, 那么由物理學(xué)上線速度與角速度間的關(guān)系可知, v的大小為 |v|

34、=| w|a = |w| |r| sinq ; v的方向垂直于通過M點與l軸的平面, 即v垂直于w與r, 又v的指向是使w、r、v符合右手規(guī)則. 因此有v = w´r. ; §7. 3 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 在空間解析幾何中, 任何曲面都可以看作點的幾何軌跡. 在這樣的意義下, 如果曲面S與三元方程F(x, y, z)=0有下述關(guān)系: (1) 曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程F(x, y, z)=0; (2) 不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程F(x, y, z)=0, 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z

35、)=0的圖形. 常見的曲面的方程: 例1 建立球心在點M0(x0, y0, z0)、半徑為R的球面的方程. 解 設(shè)M(x, y, z)是球面上的任一點, 那么|M0M|=R. 即 , 或 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 這就是球面上的點的坐標(biāo)所滿足的方程. 而不在球面上的點的坐標(biāo)都不滿足這個方程. 所以 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 就是球心在點M0(x0, y0, z0)、半徑為R的球面的方程. 特殊地, 球心在原點O(0, 0, 0)、半徑為R的球面的方程為 x2+y2+z2=R2. 例2 設(shè)有點A(1, 2, 3)和B(2, -1, 4)

36、, 求線段AB的垂直平分面的方程. 解 由題意知道, 所求的平面就是與A和B等距離的點的幾何軌跡. 設(shè)M(x, y, z)為所求平面上的任一點, 則有|AM|=|BM|, 即 . 等式兩邊平方, 然后化簡得2x-6y+2z-7=0. 這就是所求平面上的點的坐標(biāo)所滿足的方程, 而不在此平面上的點的坐標(biāo)都不滿足這個方程, 所以這個方程就是所求平面的方程. 研究曲面的兩個基本問題: (1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時, 建立這曲面的方程; (2) 已知坐標(biāo)x、y和z間的一個方程時, 研究這方程所表示的曲面的形狀. 例3 方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎樣的曲面？ 解 通過配方, 原方程可

37、以改寫成 (x-1)2+(y+2)2+z2=5. 這是一個球面方程, 球心在點M0(1, -2, 0)、半徑為. 一般地, 設(shè)有三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0, 這個方程的特點是缺xy , yz , zx 各項, 而且平方項系數(shù)相同, 只要將方程經(jīng)過配方就可以化成方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 的形式, 它的圖形就是一個球面. 二、旋轉(zhuǎn)曲面 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面, 這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸. 設(shè)在yO z 坐標(biāo)面上有一已知曲線C, 它的方程為f (y, z) =0, 把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周

38、, 就得到一個以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面. 它的方程可以求得如下: 設(shè)M(x, y, z)為曲面上任一點, 它是曲線C上點M1(0, y1, z1)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的. 因此有如下關(guān)系等式, , , 從而得 , 這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 在曲線C的方程f(y, z)=0中將y改成, 便得曲線C繞z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 同理, 曲線C繞y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 例4 直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周, 所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面. 兩直線的交點叫做圓錐面的頂點, 兩直線的夾角a ()叫做圓錐面的半頂角. 試建立頂點在坐標(biāo)原點O, 旋轉(zhuǎn)軸為z軸, 半頂角為a的圓錐面的方程. 解 在

39、yO z 坐標(biāo)面內(nèi), 直線L的方程為 z=ycot a , 將方程z=ycota 中的y改成, 就得到所要求的圓錐面的方程 , 或 z2=a2 (x2+y2), 其中a=cot a . 例5. 將zOx坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 繞x軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為; 繞z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 這兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面. 三、柱面 例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？ 解 方程x2+y2=R2在xOy 面上表示圓心在原點O、半徑為R的圓. 在空間直角坐標(biāo)系中, 這方程不含豎坐標(biāo)z, 即不論空間點的豎坐標(biāo)z怎樣,

40、 只要它的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y能滿足這方程, 那么這些點就在這曲面上. 也就是說, 過xOy 面上的圓x2+y2=R2, 且平行于z軸的直線一定在x2+y2=R2表示的曲面上. 所以這個曲面可以看成是由平行于z軸的直線l 沿xOy 面上的圓x2+y2=R2移動而形成的. 這曲面叫做圓柱面, xOy 面上的圓x2+y2=R2叫做它的準(zhǔn)線, 這平行于z軸的直線l 叫做它的母線. 例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？ 解 在空間直角坐標(biāo)系中, 過xOy 面上的圓x2+y2=R2作平行于z軸的直線l , 則直線l上的點都滿足方程x2+y2=R2, 因此直線l一定在x2+y2=R2表示的曲面上. 所

41、以這個曲面可以看成是由平行于z軸的直線l 沿xOy 面上的圓x2+y2=R2移動而形成的. 這曲面叫做圓柱面, xOy 面上的圓x2+y2=R2叫做它的準(zhǔn)線, 這平行于z軸的直線l 叫做它的母線. 柱面: 平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面, 定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線, 動直線L叫做柱面的母線. 上面我們看到, 不含z的方程x2+y2=R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面, 它的母線平行于z軸, 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的圓x2+y2=R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)=0, 在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z 軸的柱面, 其準(zhǔn)線是xOy 面上的曲線C: F(x

42、, y)=0. 例如, 方程y2=2x表示母線平行于z軸的柱面, 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的拋物線y2 =2x, 該柱面叫做拋物柱面. 又如, 方程 x-y=0表示母線平行于z軸的柱面, 其準(zhǔn)線是xOy 面的直線 x-y=0, 所以它是過z 軸的平面. 類似地, 只含x、z而缺y的方程G(x, z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y, z)=0分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面. 例如, 方程 x-z=0表示母線平行于y軸的柱面, 其準(zhǔn)線是zOx 面上的直線 x-z=0. 所以它是過y軸的平面. 四、二次曲面 與平面解析幾何中規(guī)定的二次曲線相類似, 我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.

43、把平面叫做一次曲面. 怎樣了解三元方程F(x, y, z)=0所表示的曲面的形狀呢? 方法之一是用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截, 考察其交線的形狀, 然后加以綜合, 從而了解曲面的立體形狀. 這種方法叫做截痕法. 研究曲面的另一種方程是伸縮變形法: 設(shè)S是一個曲面, 其方程為F(x, y, z)=0, S ¢是將曲面S沿x軸方向伸縮l倍所得的曲面. 顯然, 若(x, y, z)ÎS, 則(lx, y, z)ÎS¢ 若(x, y, z)ÎS¢, 則. 因此, 對于任意的(x, y, z)ÎS¢, 有, 即是曲

44、面S¢的方程. 例如，把圓錐面沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面的方程為, 即. (1)橢圓錐面 由方程所表示的曲面稱為橢圓錐面. 圓錐曲面在y軸方向伸縮而得的曲面. 把圓錐面沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面稱為橢圓錐面. 以垂直于z軸的平面z=t截此曲面, 當(dāng)t=0時得一點(0, 0, 0); 當(dāng)t¹0時, 得平面z=t上的橢圓 . 當(dāng)t變化時, 上式表示一族長短軸比例不變的橢圓, 當(dāng)|t|從大到小并變?yōu)?時, 這族橢圓從大到小并縮為一點. 綜合上述討論, 可得橢圓錐面的形狀如圖. (2)橢球面 由方程所表示的曲面稱為橢球面. 球面在x軸、y軸或z軸方向伸縮而得的曲面. 把x2+y

45、2+z2=a2沿z軸方向伸縮倍, 得旋轉(zhuǎn)橢球面; 再沿y軸方向伸縮倍, 即得橢球面. (3)單葉雙曲面 由方程所表示的曲面稱為單葉雙曲面. 把zOx面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn), 得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面; 再沿y軸方向伸縮倍, 即得單葉雙曲面. (4)雙葉雙曲面 由方程所表示的曲面稱為雙葉雙曲面. 把zOx面上的雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn), 得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面; 再沿y軸方向伸縮倍, 即得雙葉雙曲面. (5)橢圓拋物面 由方程所表示的曲面稱為橢圓拋物面. 把zOx面上的拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn), 所得曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面, 再沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面叫做橢圓拋物面 (6)雙曲拋物面. 由方程所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙

46、曲拋物面又稱馬鞍面. 用平面x=t截此曲面, 所得截痕l為平面x=t上的拋物線 , 此拋物線開口朝下, 其項點坐標(biāo)為. 當(dāng)t變化時, l的形狀不變, 位置只作平移, 而l的項點的軌跡L為平面y=0上的拋物線 . 因此, 以l為母線, L為準(zhǔn)線, 母線l的項點在準(zhǔn)線L上滑動, 且母線作平行移動, 這樣得到的曲面便是雙曲拋物面. 還有三種二次曲面是以三種二次曲線為準(zhǔn)線的柱面: , , , 依次稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面. §7. 4 空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程 空間曲線可以看作兩個曲面的交線. 設(shè)F(x, y, z)=0和G(x, y, z)=0是兩個曲面方程, 它們

47、的交線為C. 因為曲線C上的任何點的坐標(biāo)應(yīng)同時滿足這兩個方程, 所以應(yīng)滿足方程組. 反過來, 如果點M不在曲線C上, 那么它不可能同時在兩個曲面上, 所以它的坐標(biāo)不滿足方程組. 因此, 曲線C可以用上述方程組來表示. 上述方程組叫做空間曲線C的一般方程. 例1 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示母線平行于z軸的圓柱面, 其準(zhǔn)線是xOy 面上的圓, 圓心在原點O, 半行為1. 方程組中第二個方程表示一個母線平行于y軸的柱面, 由于它的準(zhǔn)線是zOx 面上的直線, 因此它是一個平面. 方程組就表示上述平面與圓柱面的交線. 例2 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示球心在

48、坐標(biāo)原點O, 半行為a的上半球面. 第二個方程表示母線平行于z軸的圓柱面, 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的圓, 這圓的圓心在點, 半行為. 方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線. 例2¢ 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示球心在坐標(biāo)原點O, 半行為2a的上半球面. 第二個方程表示母線平行于z軸的圓柱面, 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的圓, 這圓的圓心在點(a, 0) , 半行為a . 方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線. 二、空間曲線的參數(shù)方程 空間曲線C的方程除了一般方程之外, 也可以用參數(shù)形式表示, 只要將C上動點的坐標(biāo)x、y、z表示為參數(shù)t的函數(shù): . 當(dāng)給定t=t1時,

49、 就得到C上的一個點(x1, y1, z1); 隨著t的變動便得曲線C上的全部點. 方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程. 例3 如果空間一點M 在圓柱面x2+y2=a2 上以角速度w繞z軸旋轉(zhuǎn), 同時又以線速度v 沿平行于z軸的正方向上升(其中w、v都是常數(shù)), 那么點M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線. 試建立其參數(shù)方程. 解 取時間t為參數(shù). 設(shè)當(dāng)t=0時, 動點位于x軸上的一點A(a, 0, 0)處. 經(jīng)過時間t, 動點由A運動到M(x, y, z)(圖7-44). 記M在xOy 面上的投影為M¢, M¢的坐標(biāo)為x, y,0. 由于動點在圓柱面上以角速度w 繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 所以

50、經(jīng)過時間t,AOM¢= w t. 從而 x=|OM¢|cosAOM¢=acos w t, y=|OM¢|sinAOM¢=asin w t,由于動點同時以線速度v 沿平行于 z 軸的正方向上升, 所以 z=MM¢=vt .因此螺旋線的參數(shù)方程為 , 也可以用其他變量作參數(shù); 例如令q=w t, 則螺旋線的參數(shù)方程可寫為 , 其中, 而參數(shù)為q . *曲面的參數(shù)方程 曲面的參數(shù)方程通常是含兩個參數(shù)的方程, 形如 . 例如空間曲線G (a£t£b), 繞z軸旋轉(zhuǎn), 所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 (a£t£b, 0£q£2p). (4)這是因為, 固定一個t, 得G上一點M1(j(t), y(t), w(t), 點M1繞z軸旋轉(zhuǎn), 得空間的一個圓, 該圓在平面z=w(t)上, 其半徑為點M1到z軸的距離, 因此, 固定t的方程(4)就是該圓的參數(shù)方程. 再令t在a, b內(nèi)變動, 方程(4)便是旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 例如直線 繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 . (上式消t和q, 得曲面的直角坐標(biāo)方程為) 又如球面x2+y2+z2=a2可看成