第六部分振動和波

1、第六部分 振動和波第一講 基本知識介紹振動和波的競賽考綱和高考要求有很大的不同，必須做一些相對詳細(xì)的補充。一、簡諧運動1、簡諧運動定義：= k 凡是所受合力和位移滿足式的質(zhì)點，均可稱之為諧振子，如彈簧振子、小角度單擺等。諧振子的加速度：= 2、簡諧運動的方程回避高等數(shù)學(xué)工具，我們可以將簡諧運動看成勻速圓周運動在某一條直線上的投影運動（以下均看在x方向的投影），圓周運動的半徑即為簡諧運動的振幅A 。依據(jù)：x = m2Acos= m2對于一個給定的勻速圓周運動，m、是恒定不變的，可以令：m2 = k 這樣，以上兩式就符合了簡諧運動的定義式。所以，x方向的位移、速度、加速度就是簡諧運動的相關(guān)規(guī)律。從

2、圖1不難得出位移方程： = Acos(t + ) 速度方程： = Asin(t +) 加速度方程：= 2A cos(t +) 相關(guān)名詞：(t +)稱相位，稱初相。運動學(xué)參量的相互關(guān)系：= 2A = tg= 3、簡諧運動的合成a、同方向、同頻率振動合成。兩個振動x1 = A1cos(t +1)和x2 = A2cos(t +2) 合成，可令合振動x = Acos(t +) ，由于x = x1 + x2 ，解得A = ，= arctg 顯然，當(dāng)21 = 2k時（k = 0，±1，±2，），合振幅A最大，當(dāng)21 = （2k + 1）時（k = 0，±1，±2，）

3、，合振幅最小。b、方向垂直、同頻率振動合成。當(dāng)質(zhì)點同時參與兩個垂直的振動x = A1cos(t + 1)和y = A2cos(t + 2)時，這兩個振動方程事實上已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點在二維空間運動的軌跡參數(shù)方程，消去參數(shù)t后，得一般形式的軌跡方程為+2cos(21) = sin2(21)顯然，當(dāng)21 = 2k時（k = 0，±1，±2，），有y = x ，軌跡為直線，合運動仍為簡諧運動；當(dāng)21 = （2k + 1）時（k = 0，±1，±2，），有+= 1 ，軌跡為橢圓，合運動不再是簡諧運動；當(dāng)21取其它值，軌跡將更為復(fù)雜，稱“李薩如圖形”，不是簡諧運動。c、

4、同方向、同振幅、頻率相近的振動合成。令x1 = Acos(1t + )和x2 = Acos(2t + ) ，由于合運動x = x1 + x2 ，得：x =（2Acost）cos（t +）。合運動是振動，但不是簡諧運動，稱為角頻率為的“拍”現(xiàn)象。4、簡諧運動的周期由式得：= ，而圓周運動的角速度和簡諧運動的角頻率是一致的，所以T = 2 5、簡諧運動的能量一個做簡諧運動的振子的能量由動能和勢能構(gòu)成，即= mv2 + kx2 = kA2注意：振子的勢能是由（回復(fù)力系數(shù)）k和（相對平衡位置位移）x決定的一個抽象的概念，而不是具體地指重力勢能或彈性勢能。當(dāng)我們計量了振子的抽象勢能后，其它的具體勢能不能

5、再做重復(fù)計量。6、阻尼振動、受迫振動和共振和高考要求基本相同。二、機械波1、波的產(chǎn)生和傳播產(chǎn)生的過程和條件；傳播的性質(zhì)，相關(guān)參量（決定參量的物理因素）2、機械波的描述a、波動圖象。和振動圖象的聯(lián)系b、波動方程如果一列簡諧波沿x方向傳播，振源的振動方程為y = Acos（t + ），波的傳播速度為v ，那么在離振源x處一個振動質(zhì)點的振動方程便是y = Acost + - ·2= Acos（t - ）+ 這個方程展示的是一個復(fù)變函數(shù)。對任意一個時刻t ，都有一個y（x）的正弦函數(shù)，在x-y坐標(biāo)下可以描繪出一個瞬時波形。所以，稱y = Acos（t - ）+ 為波動方程。3、波的干涉a、波

6、的疊加。幾列波在同一介質(zhì)種傳播時，能獨立的維持它們的各自形態(tài)傳播，在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加（包括位移、速度和加速度的疊加）。b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差恒定時，在同一介質(zhì)中的疊加將形成一種特殊形態(tài)：振動加強的區(qū)域和振動削弱的區(qū)域穩(wěn)定分布且彼此隔開。我們可以用波程差的方法來討論干涉的定量規(guī)律。如圖2所示，我們用S1和S2表示兩個波源，P表示空間任意一點。當(dāng)振源的振動方向相同時，令振源S1的振動方程為y1 = A1cost ，振源S1的振動方程為y2 = A2cost ，則在空間P點（距S1為r1 ，距S2為r2），兩振源引起的分振動分別是y1= A1cos（t ）y2= A2cos（t

7、 ）P點便出現(xiàn)兩個頻率相同、初相不同的振動疊加問題（1 = ，2 = ），且初相差= （r2 r1）。根據(jù)前面已經(jīng)做過的討論，有r2 r1 = k時（k = 0，±1，±2，），P點振動加強，振幅為A1 + A2 ；r2 r1 =（2k 1）時（k = 0，±1，±2，），P點振動削弱，振幅為A1A2。4、波的反射、折射和衍射知識點和高考要求相同。5、多普勒效應(yīng)當(dāng)波源或者接受者相對與波的傳播介質(zhì)運動時，接收者會發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生變化。多普勒效應(yīng)的定量討論可以分為以下三種情況（在討論中注意：波源的發(fā)波頻率f和波相對介質(zhì)的傳播速度v是恒定不變的）a、只有接收者

8、相對介質(zhì)運動（如圖3所示）設(shè)接收者以速度v1正對靜止的波源運動。如果接收者靜止在A點，他單位時間接收的波的個數(shù)為f ，當(dāng)他迎著波源運動時，設(shè)其在單位時間到達(dá)B點，則= v1 ，、在從A運動到B的過程中，接收者事實上“提前”多接收到了n個波n = = = 顯然，在單位時間內(nèi)，接收者接收到的總的波的數(shù)目為：f + n = f ，這就是接收者發(fā)現(xiàn)的頻率f1 。即f1 = f 顯然，如果v1背離波源運動，只要將上式中的v1代入負(fù)值即可。如果v1的方向不是正對S ，只要將v1出正對的分量即可。b、只有波源相對介質(zhì)運動（如圖4所示）設(shè)波源以速度v2正對靜止的接收者運動。如果波源S不動，在單位時間內(nèi)，接收者

9、在A點應(yīng)接收f個波，故S到A的距離：= f 在單位時間內(nèi)，S運動至S，即= v2 。由于波源的運動，事實造成了S到A的f個波被壓縮在了S到A的空間里，波長將變短，新的波長= = = = 而每個波在介質(zhì)中的傳播速度仍為v ，故“被壓縮”的波（A接收到的波）的頻率變?yōu)閒2 = = f 當(dāng)v2背離接收者，或有一定夾角的討論，類似a情形。c、當(dāng)接收者和波源均相對傳播介質(zhì)運動當(dāng)接收者正對波源以速度v1（相對介質(zhì)速度）運動，波源也正對接收者以速度v2（相對介質(zhì)速度）運動，我們的討論可以在b情形的過程上延續(xù)f3 = f2 = f 關(guān)于速度方向改變的問題，討論類似a情形。6、聲波a、樂音和噪音b、聲音的三要素

10、：音調(diào)、響度和音品c、聲音的共鳴第二講 重要模型與專題一、簡諧運動的證明與周期計算物理情形：如圖5所示，將一粗細(xì)均勻、兩邊開口的U型管固定，其中裝有一定量的水銀，汞柱總長為L 。當(dāng)水銀受到一個初始的擾動后，開始在管中振動。忽略管壁對汞的阻力，試證明汞柱做簡諧運動，并求其周期。模型分析：對簡諧運動的證明，只要以汞柱為對象，看它的回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿足定義式，值得注意的是，回復(fù)力系指振動方向上的合力（而非整體合力）。當(dāng)簡諧運動被證明后，回復(fù)力系數(shù)k就有了，求周期就是順理成章的事。本題中，可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時位移為x 、水銀密度為、U型管橫截面積為S ，則次瞬時的回復(fù)力F = g2xS

11、= x由于L、m為固定值，可令： = k ，而且F與x的方向相反，故汞柱做簡諧運動。周期T = 2= 2答：汞柱的周期為2 。學(xué)生活動：如圖6所示，兩個相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置，繞各自的軸線等角速、反方向地轉(zhuǎn)動，在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L 、滾輪與木板之間的動摩擦因素為、木板的質(zhì)量為m ，且木板放置時，重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡諧運動，并求木板運動的周期。思路提示：找平衡位置（木板重心在兩滾輪中央處）力矩平衡和F6= 0結(jié)合求兩處彈力求摩擦力合力答案：木板運動周期為2 。鞏固應(yīng)用：如圖7所示，三根長度均為L = 2.00m地質(zhì)量均勻直桿，構(gòu)成一正

12、三角形框架ABC，C點懸掛在一光滑水平軸上，整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。桿AB是一導(dǎo)軌，一電動松鼠可在導(dǎo)軌上運動?，F(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運動，而框架卻靜止不動，試討論松鼠的運動是一種什么樣的運動。解說：由于框架靜止不動，松鼠在豎直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設(shè)松鼠的質(zhì)量為m ，即：N = mg 再回到框架，其靜止平衡必滿足框架所受合力矩為零。以C點為轉(zhuǎn)軸，形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ，它們合力矩為零，即：MN = Mf現(xiàn)考查松鼠在框架上的某個一般位置（如圖7，設(shè)它在導(dǎo)軌方向上距C點為x），上式即成：N·x = f·Lsin60

13、76; 解兩式可得：f = x ，且f的方向水平向左。根據(jù)牛頓第三定律，這個力就是松鼠在導(dǎo)軌方向上的合力。如果我們以C在導(dǎo)軌上的投影點為參考點，x就是松鼠的瞬時位移。再考慮到合力與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿足關(guān)系= k其中k = ，對于這個系統(tǒng)而言，k是固定不變的。顯然這就是簡諧運動的定義式。答案：松鼠做簡諧運動。評說：這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題，問法比較模糊。如果理解為定性求解，以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件，所以做進(jìn)一步的定量運算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運動周期為：T = 2 = 2 = 2.64s 。二、典型的簡諧運動1、彈簧振子物理情形：如圖8

14、所示，用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連著一個質(zhì)量為m的小球，置于傾角為的光滑斜面上。證明：小球在彈簧方向的振動為簡諧運動，并求其周期T 。學(xué)生自己證明。周期T = 2模型分析：這個結(jié)論表明，彈簧振子完全可以突破放置的方向而伸展為一個廣義的概念，且伸展后不會改變運動的實質(zhì)。其次，我們還可以這樣拓展：把上面的下滑力換程任何一個恒力（如電場力），它的運動性質(zhì)仍然不會改變。當(dāng)然，這里的運動性質(zhì)不變并不是所有運動參量均不改變。譬如，振子的平衡位置、振動方程還是會改變的。下面我們看另一類型的拓展物理情形：如圖9所示，兩根相同的彈性系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧，連接一個質(zhì)量為m的滑塊，可以在光滑的水平面上滑動。

15、試求這個系統(tǒng)的振動周期T 。解說：這里涉及的是彈簧的串、并聯(lián)知識綜合。根據(jù)彈性系數(shù)的定義，不難推導(dǎo)出幾個彈性系數(shù)分別為k1、k2、kn的彈簧串、并聯(lián)后的彈性系數(shù)定式（設(shè)新彈簧系統(tǒng)的彈性系數(shù)為k）串聯(lián)： = 并聯(lián)：k = 在圖9所示的情形中，同學(xué)們不難得出：T = 2當(dāng)情形變成圖10時，會不會和圖9一樣呢？詳細(xì)分析形變量和受力的關(guān)系，我們會發(fā)現(xiàn)，事實上，這時已經(jīng)變成了彈簧的并聯(lián)。答案：T = 2 。思考：如果兩個彈簧通過一個動滑輪（不計質(zhì)量）再與質(zhì)量為m的鉤碼相連，如圖11所示，鉤碼在豎直方向上的振動周期又是多少？解：這是一個極容易出錯的變換因為圖形的外表形狀很象“并聯(lián)”。但經(jīng)過仔細(xì)分析后，會發(fā)

16、現(xiàn)，動滑輪在這個物理情形中起到了重要的作用致使這個變換的結(jié)果既不是串聯(lián)、也不是并聯(lián)。而且，我們前面已經(jīng)證明過，重力的存在并不會改變彈簧振子的振動方程，所以為了方便起見，這里（包括后面一個“在思考”題）的受力分析沒有考慮重力。具體分析如下：設(shè)右邊彈簧的形變量為x2 、滑輪（相對彈簧自由長度時）的位移為x 、鉤子上的拉力為F ，則k1x1 = k2x2x = F = 2 k2x2解以上三式，得到：F = x ，也就是說，彈簧系統(tǒng)新的彈性系數(shù)k = 。答：T = 。再思考：如果兩彈簧和鉤碼通過輕桿和轉(zhuǎn)軸，連成了圖12所示的系統(tǒng)，已知k1 、k2 、m 、a 、b ，再求鉤碼的振動周期T 。思路提示：

17、探討鉤碼位移和回復(fù)力關(guān)系，和“思考”題類似。（過程備考：設(shè)右彈簧伸長x2 ，則中間彈簧伸長x1 = x2 鉤碼的位移量x = x1 + x2 而鉤碼的回復(fù)力F = k1x1結(jié)合以上三式解回復(fù)力系數(shù)k = = ，所以）答：T = 2 。2、單擺單擺分析的基本點，在于探討其回復(fù)力隨位移的變化規(guī)律。相對原始模型的伸展，一是關(guān)于擺長的變化，二是關(guān)于“視重加速度”的變化，以及在具體情形中的處理。至于復(fù)雜的擺動情形研究，往往會超出這種基本的變形，而僅僅是在分析方法上做適當(dāng)借鑒。物理情形1：如圖13所示，在一輛靜止的小車內(nèi)用長為L的輕繩靜止懸掛著一個小鋼球，當(dāng)小車突然獲得水平方向的大小為a的加速度后（ag）

18、，試描述小球相對小車的運動。模型分析：小鋼球相對車向a的反方向擺起，擺至繩與豎直方向夾角= arctg時，達(dá)到最大速度，此位置即是小球相對車“單擺”的平衡位置。以車為參照，小球受到的場力除了重力G外，還有一慣性力F 。所以，此時小球在車中相當(dāng)于處在一個方向傾斜、大小變?yōu)榈男隆爸亓Α钡淖饔?，屬超重情況。這是一種“視重加速度”增加的情形。解說：由于擺長L未變，而g視 = ，如果a很小，致使最大擺角不超過5°的話，小角度單擺可以視為簡諧運動，周期也可以求出來。答案：小球以繩偏離豎直方向= arctg的角度為平衡位置做最大擺角為的單擺運動，如果5°，則小球的擺動周期為T = 2物理

19、情形2：某秋千兩邊繩子不等長，且懸點不等高，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖14所示，且有a2 + b2 = + ，試求它的周期（認(rèn)為人的體積足夠小）。模型分析：用C球替代人，它實際上是在繞AB軸擺動，類似將單擺放置在光滑斜面上的情形。故視重加速度g視 = gcos= g ，等效擺長l = ，如圖15所示。由于a2 + b2 = + 可知，ACCB ，因此不難求出= ，最后應(yīng)用單擺周期公式即可。答案：T = 2 。相關(guān)變換1：如圖16所示，質(zhì)量為M的車廂中用長為L的細(xì)繩懸掛著一個質(zhì)量為m的小球，車輪與水平地面間的摩擦不計，試求這個系統(tǒng)做微小振動的周期。分析：我們知道，證明小角度單擺作簡諧運動用到了近似處理。在本題

20、，也必須充分理解“小角度”的含義，大膽地應(yīng)用近似處理方法。解法一：以車為參照，小球?qū)⑾鄬σ粋€非慣性系作單擺運動，在一般方位角的受力如圖17所示，其中慣性力F = ma ，且a為車子的加速度。由于球在垂直T方向振動，故回復(fù)力F回 = Gsin+ Fcos= mgsin+ macos *由于球作“微小”擺動，其圓周運動效應(yīng)可以忽略，故有T + Fsin mgcos 再隔離車，有 Tsin= Ma 解式得 F回 = *再由于球作“微小”擺動，sin20 ，所以 F回 = 令擺球的振動位移為x ，常規(guī)處理 sin 解即得 F回 = x 顯然， = k是恒定的，所以小球作簡諧運動。最后求周期用公式即可。

21、解法二：由于車和球的系統(tǒng)不受合外力，故系統(tǒng)質(zhì)心無加速度。小球可以看成是繞此質(zhì)心作單擺運動，而新擺長L會小于L 。由于質(zhì)心是慣性參照系，故小球的受力、回復(fù)力的合成就很常規(guī)了。若繩子在車內(nèi)的懸掛點在正中央，則質(zhì)心在水平方向上應(yīng)與小球相距x = Lsin，不難理解，“新擺長”L= L 。（從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊饬x上來講，這個“擺長”并不固定：隨著車往“平衡位置”靠近，它會加長。所以，這里的等效擺長得出和解法一的忽略圓周運動效應(yīng)事實上都是一種相對“模糊”的處理。如果非要做精準(zhǔn)的運算，不啟用高等數(shù)學(xué)工具恐怕不行。）答：T = 2 。相關(guān)變換2：如圖18所示，有一個均質(zhì)的細(xì)圓環(huán)，借助一些質(zhì)量不計的輻條，將一個與環(huán)等質(zhì)

22、量的小球固定于環(huán)心處，然后用三根豎直的、長度均為L且不可伸長的輕繩將這個物體懸掛在天花板上，環(huán)上三個結(jié)點之間的距離相等。試求這個物體在水平方向做微小扭動的周期。分析：此題的分析角度大變。象分析其它物理問題一樣，分析振動也有動力學(xué)途徑和能量兩種途徑，此處若援用動力學(xué)途徑尋求回復(fù)力系數(shù)k有相當(dāng)?shù)碾y度，因此啟用能量分析。本題的任務(wù)不在簡諧運動的證明，而是可以直接應(yīng)用簡諧運動的相關(guān)結(jié)論。根據(jù)前面的介紹，任何簡諧運動的總能都可以表達(dá)為E = kA2 而我們對過程進(jìn)行具體分析時，令最大擺角為（為了便于尋求參量，這里把擺角夸大了）、環(huán)和球的質(zhì)量均為m ，發(fā)現(xiàn)最大的勢能（即總能）可以表達(dá)為（參見圖19）E =

23、 2m·gL(1 cos) 且振幅A可以表達(dá)為A = 2Lsin 解式易得：k = 最后求周期時應(yīng)注意，中間的球體未參與振動，故不能納入振子質(zhì)量（振子質(zhì)量只有m）。答：T = 。三、振動的合成物理情形：如圖20所示，一個手電筒和一個屏幕的質(zhì)量均為m ，都被彈性系數(shù)為k的彈簧懸掛著。平衡時手電筒的光斑恰好照在屏幕的正中央O點?，F(xiàn)在令手電筒和屏幕都在豎直方向上振動（無水平晃動或扭動），振動方程分別為y1 = Acos(t + 1)，y2 = Acos(t + 2) 。試問：兩者初位相滿足什么條件時，可以形成這樣的效果：（1）光斑相對屏幕靜止不動：（2）光斑相對屏幕作振幅為2A的振動。模型

24、分析：振動的疊加包括振動的相加和相減。這里考查光斑相對屏幕的運動事實上是尋求手電筒相對屏幕的振動，服從振動的減法。設(shè)相對振動為y ，有y = y1 y2 = Acos(t + 1) Acos(t + 2) = 2Asinsin()解說：（1）光斑相對屏幕靜止不動，即y = 0 ，得 1 = 2 （2）要振幅為2A ，必須 = 1 ，得1 2 = ±答案：初位相相同；初位相相反。相關(guān)變換：一質(zhì)點同時參與兩個垂直的簡諧運動，其表達(dá)式分別為x = 2cos(2t +2) ，y = sint 。（1）設(shè) = ，求質(zhì)點的軌跡方程，并在xOy平面繪出其曲線；（2）設(shè) = ，軌跡曲線又怎樣？解：兩

25、個振動方程事實已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點軌跡的參數(shù)方程，我們所要做的，只不過是消掉參數(shù)，并尋求在兩個具體值下的特解。在實際操作時，將這兩項工作的次序顛倒會方便一些。（1）當(dāng) = 時，x = 2(1 2sin2t) ，即 x = 4y2 2描圖時應(yīng)注意，振動的物理意義體現(xiàn)在：函數(shù)的定義域 1 y 1 (這事實上已經(jīng)決定了值域 2 x 2 )（2）當(dāng) =時，同理 x = 2(1 2sin2t)= 2 4y2 答：軌跡方程分別為x = 4y2 2和x = 2 4y2 ，曲線分別如圖21的（a）（b）所示四、簡諧波的基本計算物理情形：一平面簡諧波向x方向傳播，振幅A = 6cm ，圓頻率= 6rad/s ，當(dāng)t

26、= 2.0s時，距原點O為12cm處的P點的振動狀態(tài)為yP = 3cm ，且vP 0 ,而距原點22cm處的Q點的振動狀態(tài)為yQ = 0 ，且vQ 0 。設(shè)波長10cm ，求振動方程，并畫出t = 0時的波形圖。解說：這是一個對波動方程進(jìn)行了解的基本訓(xùn)練題。簡諧波方程的一般形式已經(jīng)總結(jié)得出，在知道A、的前提下，加上本題給出的兩個特解，應(yīng)該足以解出v和值。由一般的波動方程y = Acos（t - ）+ （說明：如果我們狹義地理解為波源就在坐標(biāo)原點的話，題目給出特解是不存在的因為波向x方向傳播所以，此處的波源不在原點。同學(xué)們自己理解：由于初相的任意性，上面的波動方程對波源不在原點的情形也是適用的。）參照簡諧運動的位移方程和速度方程的關(guān)系，可以得出上面波動方程所對應(yīng)質(zhì)點的速度（復(fù)變函數(shù)）v = Asin（t - ）+ 代t = 2.0s時P的特解，有yP = 6cos6（2 - ）+ = 3 ，vP = 36sin6（2 - ）+ 0即 6（2 - ）+ = 2k1 - 代t = 2.0s時Q