證明不等式的基本方法

1、證明不等式的基本方法考綱要求：1.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，并能利用它們證明一些簡單不等式2能夠利用三維的柯西不等式證明一些簡單不等式，解決最大(小)值問題基礎(chǔ)真題體驗(yàn)考查角度利用均值不等式證明不等式1(2014·課標(biāo)全國卷)若a>0，b>0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并說明理由2(2014·課標(biāo)全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)|xa|(a>0)(1)證明：f(x)2；(2)若f(3)<5，求a的取值范圍考查角度利用柯西不等式證明不等式3(2014·福建高考)已知定義在

2、R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23. 命題規(guī)律預(yù)測(cè)命題規(guī)律從近幾年的高考試題看，利用基本不等式求最值和證明不等式是高考命題的熱點(diǎn)，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)相結(jié)合是命題的新動(dòng)向考向預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)2016年高考仍會(huì)以基本不等式為載體，重點(diǎn)考查不等式的最值求法和證明不等式，難度不大.考向一 不等式證明的基本方法 典例剖析【例1】證明下列不等式：(1)若ab0，則3a32b33a2b2ab2；(2)a24b29c22ab3ac6bc；(3)a68b6c62a2b2c2.不等式證明的常用方法有：比較法、綜合法與分析法其中運(yùn)

3、用綜合法證明不等式時(shí)，主要是運(yùn)用基本不等式與柯西不等式證明，與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明常用絕對(duì)值三角不等式證明過程中一方面要注意不等式成立的條件，另一方面要善于對(duì)式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形對(duì)點(diǎn)練習(xí)1.設(shè)a，b，c0，且abbcca1.求證：(1)abc；(2)(考向二 放縮法證明不等式典例剖析【例2】求證：12(n2，nN)用放縮法證明不等式的常用方法：(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如a2a122.(2)將分子或分母放大(或縮小)，如2()；2()(kN，k1)；.(3)利用真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：若0ab，m0，則.(4)利用基本不等式，如ab2(a0，b0)(5)利用絕對(duì)值不等式定理：|a|b|a±

4、b|a|b|.(6)利用函數(shù)的單調(diào)性對(duì)點(diǎn)練習(xí)2.(2014·天津高考)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)設(shè)集合M0,1,2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1,2，n(1)當(dāng)q2，n3時(shí)，用列舉法表示集合A；(2)設(shè)s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1,2，n.證明：若an<bn，則s<t.考向三 利用基本不等式或柯西不等式求最值典例剖析【例3】已知a，b，cR，且abc1，求的最大值利用基本不等式或柯西不等式求最值時(shí)，首先要觀察式子特點(diǎn)，構(gòu)造出基本不等式或柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式，其次要注意取得最值的條件是否成立

5、對(duì)點(diǎn)練習(xí)3.已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為.(1)求m的值；(2)若a，b，c(0，)，且m，求證：a2b3c9.滿分指導(dǎo)24不等式的證明典例剖析【典例】(10分)(2014·長春模擬)已知a，b為正實(shí)數(shù)(1)求證：ab；(2)利用(1)的結(jié)論，求函數(shù)y(0x1)的最小值 對(duì)點(diǎn)練習(xí)4.(2014·福建模擬)若a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc2.(1)求abc的最大值；(2)證明：.練習(xí)1已知abc0，abbcac0，abc0，用反證法求證a0，b0，c0時(shí)的反設(shè)為()Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca、b、c不全是正數(shù)Dabc02已知|a|b|，

6、m，n，則m，n之間的大小關(guān)系是()AmnBmnCmnDmn3(2014·陜西高考)設(shè)a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則 的最小值為_4(2014·江蘇高考)已知x>0，y>0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.作業(yè)一、選擇題(每小題5分，共60分)1若ab，則必成立的不等關(guān)系是() Aa2b2 B.1 Clg(ab)0 D.2已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，ab0，則下列不等式中成立的是()Abcad Bbcad C. D.3若a，b，c，則()Aa<b<c Bc<b<a Cc<a<b Db<a<c4設(shè)

7、a(m21)(n24)，b(mn2)2，則()Aab Bab Cab Dab5使不等式>1成立的正整數(shù)a的最大值為()A10 B11 C12 D136已知a，bR，則使成立的一個(gè)充分不必要條件是()Aab0 Bab(ab)0 Cba0 Dab7要證a2b21a2b20，只要證()A2ab1a2b20Ba2b210 C.1a2b20 D(a21)(b21)0 8設(shè)a，b，cR，且a，b，c不全相等，則不等式a3b3c33abc成立的一個(gè)充要條件是()Aa，b，c全為正數(shù) Ba，b，c全為非負(fù)數(shù)Cabc0 Dabc>09若kN，則下列不等式成立的是()A.2() B.2()C.2()

8、D.2()10設(shè)ta2b.Sab21，則下列關(guān)于t與S的大小關(guān)系中，正確的是()AtS BtS CtS DtS11如果loga3logb3，且ab1，那么()A0ab1 B0ba1 C1ab C1ba12若a，b，c為三角形三邊，記Sa2b2c2，Pabbcca，則()AS2P BPS2P CSP DPS2P二、填空題(每小題5分，共20分)13若a，b0，且abab3，則ab的取值范圍是_14函數(shù)(x1)的值域是_15設(shè)a，b是正實(shí)數(shù)，且ab1，則的最大值為_16如果abab，那么實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是_三、解答題(本大題共6小題，共70分)17(本小題滿分11分)設(shè)a，b，cR，求證：ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc.18(本小題滿分11分)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，求證：.19(本小題滿分12分)設(shè)f(x)x2axb，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.20(本小題滿分12分)求證：1