等差數(shù)列前n項和

1、2.3 等差數(shù)列的前n項和1.1.通過教學(xué)使學(xué)生理解等差數(shù)列的前通過教學(xué)使學(xué)生理解等差數(shù)列的前n n項和公式的項和公式的推導(dǎo)過程，并能用公式解決簡單的問題推導(dǎo)過程，并能用公式解決簡單的問題. .( (重點）重點）2.2.通過公式推導(dǎo)的教學(xué)使學(xué)生進一步體會從特殊通過公式推導(dǎo)的教學(xué)使學(xué)生進一步體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思想方法，通過公式到一般，再從一般到特殊的思想方法，通過公式的運用體會方程的思想的運用體會方程的思想（難點）（難點）高斯高斯(17771855(17771855） 德國著名數(shù)學(xué)家德國著名數(shù)學(xué)家1+2+3+98+99+100=1+2+3+98+99+100=？ 高斯高斯1010

2、歲時曾很快算出這一結(jié)歲時曾很快算出這一結(jié)果，如何算的呢？果，如何算的呢？1+2+3+100=?帶著這個問題，我們進入本節(jié)課的學(xué)習！帶著這個問題，我們進入本節(jié)課的學(xué)習！下面來看下面來看1+2+3+98+99+1001+2+3+98+99+100的高斯算法的高斯算法. .設(shè)設(shè)S S100100=1 + 2 + 3 +98+99+100=1 + 2 + 3 +98+99+100 反序反序S S100100=100+99+98+ 3+ 2 + 1=100+99+98+ 3+ 2 + 1+ + + + + + +作作加加法法+ + + + + + +作作加加法法多少個多少個101 ?101 ?10010

3、0個個1011012S100=101+101+101+101+101+101/ / / / / + + + + + + +作作加加法法探究點探究點1 1：等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和公式項和公式所以所以S S100100= =(1+100)(1+100)100100？首首項項尾尾項項？總總和和？項項數(shù)數(shù)這就是等差這就是等差數(shù)列前數(shù)列前n n項和項和的公式！的公式！=5 050=5 050121()2nnn aaS 1(2） + +得：得：2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a2 2+a+an-1n-1)+(a)+(a3 3+a+an-2n-2)+)+(+(a an

4、 n+a+a1 1). ). 以下證明以下證明aan n 是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，S Sn n是其前是其前n n項和，則項和，則證：證：S Sn n= a= a1 1+ a+ a2 2 + a+ a3 3 + + +a +an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n, ,即即S Sn n= =a a1 1, ,an+ a+ a2 2 + +a+an-1n-1+ +a a3 3a an-2n-2+ + +. .1()2nnn aaS 2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a1 1+a+an n)+ )+ +(a+(a1 1+a+an n) ) 多少個(a1+an) ?共

5、有共有n n個個(a1+an) 由等差數(shù)列的性質(zhì)：由等差數(shù)列的性質(zhì)：當當m+n=p+qm+n=p+q時，時，a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q 知：知：a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2= = =a an n+a+a1 1，所以所以式可化為：式可化為：= n n(a(a1 1+a+an n).).這種求和的這種求和的方法叫倒序方法叫倒序相加法！相加法！因此，因此，. .1()2nnn aaS 探究點探究點2 2：等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和公式的其他形式項和公式的其他形式（1)2nnn aaS 1(1)naa

6、nd （11)2nn nSnad 1,22ddAB a 2nSAnBn例例1 20001 2000年年1111月月1414日教育部下發(fā)了日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小關(guān)于在中小學(xué)實施學(xué)實施 “校校通校校通”工程的通知工程的通知. .某市據(jù)此提出某市據(jù)此提出了實施了實施“校校通校校通”工程的總目標：從工程的總目標：從20012001年起用年起用1010年的時間，在全市中小學(xué)建成不同標準的校園年的時間，在全市中小學(xué)建成不同標準的校園網(wǎng)網(wǎng). .據(jù)測算，據(jù)測算，20012001年該市用于年該市用于“校校通校校通”工程的經(jīng)工程的經(jīng)費為費為500500萬元萬元. .為了保證工程的順利實施，計劃每為了保證工程的順

7、利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加年投入的資金都比上一年增加5050萬元萬元. .那么從那么從20012001年起的未來年起的未來1010年內(nèi)，該市在年內(nèi)，該市在“校校通校校通”工程中的工程中的總投入是多少？總投入是多少？解：解：根據(jù)題意，從根據(jù)題意，從2001200120102010年，該市每年投入年，該市每年投入“校校校校通通” 工程的經(jīng)費都比上一年增加工程的經(jīng)費都比上一年增加5050萬元萬元. .所以，可以建所以，可以建立一個等差數(shù)列立一個等差數(shù)列aan n ，表示從，表示從20012001年起各年投入的資金，年起各年投入的資金，其中，其中， 1 1a a = =5 50 00 0

8、, ,d d = =5 50 0. . 1 10 0那那么么，到到2 20 01 10 0年年（n n = =1 10 0），投投入入的的金金1 10 0 （1 10 0- -1 1）S S= =1 10 05 50 00 0+ +5 50 0 = =7 7 2 25 50 0（萬萬元元）. .2 2資資總總額額為為從從該該總總2 20 00 01 12 20 01 10 0年年，市市在在“校校校校通通”工工程程中中的的投投入入是是7 7 2 2答答：5 50 0萬萬元元. .本題的設(shè)計意圖：本題的設(shè)計意圖： 培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，引導(dǎo)學(xué)生從中提取有培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，引導(dǎo)學(xué)生從中提取有效信息效

9、信息. .通過對生活實際問題的解決，讓學(xué)生體通過對生活實際問題的解決，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，提高他們學(xué)會到數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，提高他們學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，同時又提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解習數(shù)學(xué)的興趣，同時又提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，促進了理論與實踐的結(jié)合，決實際問題的能力，促進了理論與實踐的結(jié)合，對新知進行鞏固，使教師及時收到教學(xué)反饋對新知進行鞏固，使教師及時收到教學(xué)反饋. .例例2 2 已知一個等差數(shù)列已知一個等差數(shù)列 前前1010項的和是項的和是310310，前，前2020項項的和是的和是1 220.1 220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前由這些條件能確

10、定這個等差數(shù)列的前n n項項和的公式嗎？和的公式嗎？ na分析：分析：將已知條件代入等差數(shù)列前將已知條件代入等差數(shù)列前n n項和的公式后，可項和的公式后，可得到兩個關(guān)于得到兩個關(guān)于 與與d d的二元一次方程，由此可以求得的二元一次方程，由此可以求得與與d d，從而得到所求前，從而得到所求前n n項和的公式項和的公式. .1a1a 10201020n1n11 11 1由由意意知知S=310，S=310，S=1 220,S=1 220,n（n（n-1）n-1）它它代代入入公公式式S = na +d，S = na +d，2 210a +410a +4解解：5d =310，5d =310，得得到到20

11、a +190d =1 220.20a +190d =1 220.題題將將們們 1 11 12 2n n解解于于a a 與與d d的的方方程程，得得到到a a = = 4 4，d d = = 6 6, , n n（n n- -1 1）所所以以S S = = 4 4n n+ +6 6= =3 3n n + +n n. .2 2這這個個關(guān)關(guān)組組技巧方法：技巧方法：此例題的目的是建立等差數(shù)列前此例題的目的是建立等差數(shù)列前n n項和與方程組之間的聯(lián)系項和與方程組之間的聯(lián)系. .已知幾已知幾個量，通過解方程組，得出其余的個量，通過解方程組，得出其余的未知量未知量. .讓我們歸讓我們歸納一下！納一下！ 21

12、32.例例 已已知知數(shù)數(shù)列列的的前前 項項和和為為，求求這這個個數(shù)數(shù)列列的的通通項項公公式式 這這個個數(shù)數(shù)列列是是等等差差數(shù)數(shù)列列嗎嗎？如如果果是是，它它的的首首項項與與公公差差分分別別是是什什么么？nnanSnnn12n-1nn12n-1nn-112n-1n-112n-1根根據(jù)據(jù)S = a +a +a+a 與S = a +a +a+a 與解解S= a +a +a （S= a +a +a （：n 1）n 1），nnn-1nnn-12222可可知知，n 1，n 1，a = S -Sa = S -S111111= n +n-（= n +n-（n-1）n-1）+ （+ （n-1）n-1）= 2n-.

13、= 2n-.222222當當時時 2 21 11 1n nn nn nn n = =1 1，1 13 3 a a = = S S = =1 1 + + 1 1= =，也也足足上上式式. .2 22 21 1所所以以列列 a a的的通通公公式式a a = = 2 2n n- -. .2 23 3由由此此可可知知，列列 a a是是一一首首，公公差差2 2的的等等差差列列. .2 2當當時時滿滿數(shù)數(shù)項項為為數(shù)數(shù)個個項項為為為為數(shù)數(shù)這這個個例例題題給給出出了了等等差差數(shù)數(shù)列列通通項項公公式式的的另另一一個個求求法法（n=1n=1） , ,已已知知前前 項項和和，可可求求出出通通項項（n2n2）這這種種

14、用用數(shù)數(shù)列列的的公公式式來來確確定定的的方方法法對對于于任任何何數(shù)數(shù)列列都都是是可可行行的的，而而且且還還要要注注意意 不不一一定定滿滿足足由由求求出出的的通通項項表表達達式式，所所以以最最后后要要驗驗證證首首項項 是是否否滿滿足足已已求求出出巧巧的的技技方方法法：11111. .nnnnnnnnnnSnSaSSSaaSSaaa 1.1.（20162016全國高考）全國高考）已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列 a an n前前9項的項的和為和為27， ，則，則 （ ）（A）100（B）99（C）98（D）97分析：分析：利用等差數(shù)列的前利用等差數(shù)列的前n n項和公式及通項公式求出項和公式及通項公式求出首

15、項及公差，選首項及公差，選c.c.1.1.（20132013安徽高考）設(shè)安徽高考）設(shè)S Sn n為等差數(shù)列為等差數(shù)列a an n的前的前n n項和，項和，8374 ,2Sa a，則，則a a9 9= =（ ）A.-6 B.-4 C.-2 D.2A.-6 B.-4 C.-2 D.2分析：分析：利用等差數(shù)列的前利用等差數(shù)列的前n n項和公式及通項公式求出項和公式及通項公式求出首項及公差首項及公差. .8311718 7484 (2 ),2622 Saadadaad由110,2ad91810 166aad解析：解析：選選A.A.由由聯(lián)立解得聯(lián)立解得，所以，所以. . 根根據(jù)據(jù)下下列列條條件件，求求相相應(yīng)應(yīng)的的等等差差數(shù)數(shù)列列的的前前n n項項和和1102.(1)5,95,10.nnaSaan1 10 01 10 0 ( (5 5+ +9 95 5) )S S= = =：2 2解解5 50 00 0. .1(2)100,2,50.adn 50505050 （50-1)50-1)S=50S=50 100+100+ (-2)= 2 (-2)= 2 解解2 2：550.550.1(3)14