從歐拉幾何定理到彭色列閉合定理(歐拉--彭色列—大狗熊線)

1、從歐拉幾何定理到彭色列閉合定理(歐拉-彭色列大狗熊線)徐文平（東南大學 南京210096）一、引言1）彭色列閉合定理圖1思考：彭色列閉合定理的本質(zhì)是什么？為什么如此奇妙的首尾相連閉合？2）謝國芳定理謝國芳老師猜想，雙圓錐曲線的內(nèi)接外切四邊形時候，對角線交叉點不變。圖2 思考：如果是三角形的時候，彭色列閉合定理，是什么關鍵點永恒不變啊。3）歐拉幾何定理a)設三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則有（備注： 歐拉定理定理也涉及到圓中圓的問題）b）歐拉線三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線，且外心到重心的距離等于垂心到重心距離

2、的一半。（三角形ABC的垂心H，九點圓圓心V，重心G，外心O共線 ，稱為 歐拉線）圖 3c）歐拉九點圓三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點（連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓。通常稱這個圓為九點圓（nine-point circle），或歐拉圓、費爾巴哈圓。 九點圓具有許多有趣的性質(zhì)，例如：1. 三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；2. 九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中點；3. 三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓，三個旁切圓均相切（費爾巴哈定理）；4. 九點圓心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四點共線，且HG=2OG，OG=2VG，O

3、H=2OV。 圖44）歐拉-彭色列-大狗熊線  大狗熊定理：三角形內(nèi)切圓的切點三角形的垂心H，九點圓圓心V，重心G與三角形內(nèi)心I、外心O共線（歐拉-彭色厲-大狗熊線），三角形作彭色列閉合變換時，五心位置恒定不變。（備注：三角形內(nèi)切圓的切點三角形的外心就是三角形ABC的內(nèi)心I）圖 5 （彭色列閉合變換時切點三角形的重心不變） （三角形在圓中圓中，作彭色列閉合變化時候，切點三角形的垂心H，九點圓圓心V，重心G不變，非常奇妙的發(fā)現(xiàn)，作業(yè)：作圖試試切點三角形的垂心H，九點圓圓心V，重心G，是不是雷打不動?。┲x國芳定理，雙圓錐曲線的內(nèi)接外切四邊形時候，對角線交叉點不變。 

4、大狗熊定理，雙圓錐曲線的內(nèi)接外切三角形時候，切點三角形的五心恒定不變。謝國芳定理和大狗熊定理，揭示了彭色列閉合定理的神秘面紗，找到了命題本質(zhì)。工程應用成果：利用歐拉彭色列-大狗熊線恒定不變特性的攝像機和精密測量儀器標定               （變化中發(fā)現(xiàn)了不變的本質(zhì)）二、歐拉-彭色厲-大狗熊線的簡證 歐拉-彭色列閉合變化作圖發(fā)現(xiàn)，有許多有趣的特性。 （ABC為基本三角形，A1B1C1為切點三角形，A2B2C2為垂足三角形）1、 A2B2C2為垂足三角形與三角形ABC是具有位似關系2、 基本三角形構(gòu)成的六邊形與

5、垂足三角形構(gòu)成的六邊形具有位似關系（黃色）。3、 基本三角形彭色列閉合變化，發(fā)現(xiàn)了大量的平行線關系4、 位似中心S點，也在歐拉彭色列-大狗熊線上，彭色列閉合變化時不變。5、 位似中心S點就是基本三角形ABC外接圓和內(nèi)切圓的位似中心S點 圖 5 （彭色列閉合變換時位似中心現(xiàn)象）1）潘成華老師的研究發(fā)現(xiàn) 思考：可以直接做題證明（也許高中小朋友看不懂重心證明方法?。┮罁?jù)歐拉線，可改為外心O（大圓）、內(nèi)心I（小圓）、垂心H（切點三角形的）共線題目。2） 1995伊朗奧數(shù)競賽的題目 （備注，垂足三角形PQR的外心J點，就是切點三角形DEF的九點圓心V點）3) 彭色列閉合定理（N=3）的位似中心S點 位似

6、中心在基本三角形ABC的頂點和垂足三角形頂點的連線交叉S點。同理：位似中心在基本三角形DEF的頂點和垂足三角形頂點的連線交叉S點。（備注：外接圓和內(nèi)切圓也具有位似關系，位似中心也在S點）   （備注：外接圓和內(nèi)切圓和ABC一起位似變化，位似比相同）   （備注：外接圓和內(nèi)切圓和外接圓和內(nèi)切圓和ABC一起位似變化，位似比相同）。所以，外接圓和內(nèi)切圓、ABC和DEF三者一起位似變化，位似比相同 位似比 ， 位似中心S點在五心狗熊線上，即位似中心S點在五心狗熊線共線。彭色列閉合變換（N=3）時，兩者位似中心S點重合。彭色列閉合變換（N=3）時，中心S點和五心狗

7、熊線恒定不變。 歐拉-彭色厲-大狗熊線（增加了位似中心S點共線）4) 歐拉彭色列-大狗熊線的不變特性簡證（彭色列閉合變化時）1、 位似中心S點在五心狗熊線上，即位似中心S點在五心狗熊線共線。 （具體可以參見上述的1995伊朗奧數(shù)競賽的題目）2、 彭色列閉合變換（N=3）時，切點三角形的的九點圓心V不變方向不變：由于歐拉彭色列-大狗熊線是五心共線， 并且其中二點是不變（三角形內(nèi)心I、外心O在命題中是固定的），所以，彭色列閉合變換前后，九點圓心V必定在三角形內(nèi)心I、外心連線方向。半徑不變：三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半，由于切點三角形的外接圓是固定的（命題的內(nèi)切圓），所以，九點圓的半

8、徑不變。圓心不變：彭色列閉合變換前的垂足三角形的三個頂點，彭色列閉合變換后的垂足三角形的三個頂點，六點是共圓的，所以彭色列閉合變換前后，九點圓圓心不變。彭色列閉合變換（N=3）時，切點三角形的的九點圓心V不變3、 彭色列閉合變換（N=3）時，切點三角形的切點三角形的垂心H，重心G不變。由歐拉線的性質(zhì)可知，三角形的垂心H，重心G，九點圓心V，外心O點（就是基本三角形的內(nèi)心I點），具有這些點互相之間比例關系恒定的，所以，所以彭色列閉合變換前后垂心H，重心G位置不變4、 彭色列閉合變換（N=3）時，兩者位似中心S點重合。外接圓和內(nèi)切圓也具有位似關系。外接圓和內(nèi)切圓和ABC一起位似變化，位似比相同）外

9、接圓和內(nèi)切圓和DEF一起位似變化，位似比相同）外接圓和內(nèi)切圓和外接圓和內(nèi)切圓和ABC一起位似變化，位似比相同）。所以，外接圓和內(nèi)切圓、ABC和DEF三者一起位似變化，位似比相同 三角形的外接圓和內(nèi)切圓是固定的，兩圓具有位似關系,位似比為基本三角形ABC與垂足三角形也具有位似關系，位似比也為，相同。基本三角形DEF與垂足三角形也具有位似關系，位似比也為，相同。因此，三者的位似比也為，相同。ABC和DEF是一樣的位似比，兩者相同，可以一起聯(lián)盟位似變換。因此，彭色列閉合變換前后，兩者位似中心S點重合。結(jié)論：彭色列閉合變換前后，歐拉彭色列-大狗熊線的不變?nèi)?、彭色列閉合定理（N=3）的簡證 彭色列閉合定

10、理非常簡明和美妙，應該有純幾何證明，以便推廣普及和應用。 簡證思路：兒歌唱道，兩只老虎，真奇怪，一個沒有尾巴，一個沒有耳朵。歌詞大意是把二個殘缺的老虎放在一起，可通過對比，小朋友們可想象出老虎殘缺的尾巴和耳朵，畫圖出兩只老虎完美的老虎。 彭色列閉合定理（N=3），在外接圓和內(nèi)切圓固定的前提下（符合歐拉定理），兩個三角形的閉合變換問題。以一個完整的三角形彭色列閉合（一個完整老虎）為背景，分析另外一個殘缺的三角形彭色列閉合在外接圓上（構(gòu)造殘缺的老虎的尾巴和耳朵）。1) 完整的彭色列閉合三角形 圖 8 分析可知：1、基本三角形DEF和切線三角形之垂足三角形是位似關系。2、三角形內(nèi)切圓的切點三角形的垂

11、心H，九點圓圓心V，重心G與基本三角形內(nèi)心I、外心O以及位似點S是六點共線（歐拉-彭色厲-大狗熊線）。 2） 殘缺的彭色列閉合三角形（備注：目標是證明A點在外接圓上，彭色列閉合定理就ok）圖 9殘缺圖形分析可知：1、 基本三角形ABC和切線三角形之垂足三角形是位似關系。（仍然成立） （備注：1995年伊朗奧數(shù)競賽的題目的方法）2、 三角形內(nèi)切圓的切點三角形的垂心H，九點圓圓心V，重心G與基本三角形內(nèi)心I、外心O以及位似點S是六點共線（歐拉-彭色厲-大狗熊線）。（備注：可能A點不在基本外接圓上，導致外接圓有所變動）（備注：可能A點不在基本外接圓上，導致歐拉-彭色厲-大狗熊線變異） 3）對比的二個

12、彭色列閉合三角形（備注：目標是證明A點在外接圓上，彭色列閉合定理就ok）（備注：只需證明歐拉彭色列-大狗熊線是重合位置，彭色列閉合定理就ok）對比圖形分析可知：1、 三角形ABC和切線三角形之垂足三角形是位似關系。2、三角形ABC內(nèi)切圓的切點三角形的垂心H，九點圓圓心V，重心G與基本三角形內(nèi)心I、外心O以及位似點S是六點共線。（備注：兩個基本三角形的歐拉-彭色厲-大狗熊線可能沒有完全重合位置）3、 分析得知，兩個三角形內(nèi)心I，（命題）4、兩個切點三角形的九點圓圓心V位置重合。（兩個垂足三角形六點共圓） 4、依據(jù)歐拉線的比例性質(zhì)，兩個切點三角形的垂心H和重心G位置重合 5、進一步分析得知：兩個基本三角形的位似中心S點位置重合（備注：兩個彭色列閉合變換中，基本三角形和垂足三角形的位似比相同）6、兩個基本三角形的外接圓心O點位置重合（位似比相同），A點在外接圓上彭色列閉合定理（N=3）命題成立四、橢圓情況下彭色列閉合定理（N=3）的簡證彭色列閉合定理在橢圓情況下，也是成立的（備注：按照圓中圓情況的思路，利用極點極線的關系，可以快速簡證）圖 10 通過： 仿射幾何變換，圖10的橢圓中橢圓，可以簡化為橢圓中圓（如11），可以大大簡化證明過程。 證明思路：先構(gòu)造一個基本三