《高等數(shù)學(xué)》(同濟(jì)六版)教學(xué)課件★第6章定積分的應(yīng)用

1、第六章利用元素法解決利用元素法解決: 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用定積分的應(yīng)用目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第一節(jié)定積分的元素法元素法 一、什么問(wèn)題可以用定積分解決一、什么問(wèn)題可以用定積分解決 ? 二二 、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題 ? 第六六章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 表示為niiixfU10)(lim一、什么問(wèn)題可以用定積分解決一、什么問(wèn)題可以用定積分解決 ? 1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的2) U 對(duì)區(qū)間 a , b 具有可加性 , 即可通過(guò)“大化小大化小, 常代變常代變,

2、近似和近似和, 取極限取極限”baxxfd)(niiixf10)(lim定積分定義一個(gè)整體量 ;目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二二 、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題 ?第一步第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的微分表達(dá)式xxfUd)(d第二步第二步 利用“ 積零為整 , 無(wú)限累加 ” 求出整體量的積分表達(dá)式Uxxfbad)(這種分析方法稱(chēng)為元素法元素法 (或微元分析法微元分析法 )元素元素的幾何形狀常取為: 條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等近似值精確值第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充補(bǔ)充) 三、已知平

3、行截面面積函數(shù)的三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積第二節(jié)一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積二、二、 平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ybxa)(2xfy )(1xfy O一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線(xiàn))0()(xfy與直線(xiàn))(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfAd)(dxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxd目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算兩條拋物線(xiàn)22,xyxy在第一象限所

4、圍圖形的面積 . 解解: 由xy 22xy 得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0(xxxAd)(d22332x01331x3110AxyOxy 22xy xxxd) 1 , 1 (1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Oxy224 xyxy例例2. 計(jì)算拋物線(xiàn)xy22與直線(xiàn)的面積 . 解解: 由xy224 xy得交點(diǎn))4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有42Ayyyd目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ab例例3. 求橢圓12222byax解解: 利用對(duì)稱(chēng)性 , xyAdd所圍圖形的面積 .

5、 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式xxxdxyO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxabOabOyx一般地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 )()(tytx給出時(shí), 按順時(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形面積21d)()(tttttA)(1axt對(duì)應(yīng))(1bxt對(duì)應(yīng)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xya2O例例4. 求由擺線(xiàn))cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .)cos1

6、(tadA解解:ttad)cos1 ( ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Attad)cos1 (2022目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線(xiàn))(r及,射線(xiàn)圍成的曲邊扇形的面積 .)(r d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A xO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)應(yīng) 從 0 變例例5. 計(jì)算阿基米德螺線(xiàn)解解:)0( aardd)(212a20A22a331022334a到 2 所圍圖形面

7、積 . a2xO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 心形線(xiàn) xa2Ottadcos82042例例6. 計(jì)算心形線(xiàn)所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對(duì)稱(chēng)性)2t令28a43212223a心形線(xiàn)心形線(xiàn)(外擺線(xiàn)的一種)xyaO2222yxaxayx即)cos1 ( ar點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停 尖點(diǎn):)0,0( 面積:223 a 弧長(zhǎng):a8參數(shù)的幾何意義目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2coscos21)2cos1 (21aa2xyO例例7. 計(jì)算心形線(xiàn)與圓所圍圖形的面積 . 解解: 利用對(duì)稱(chēng)性 ,)0()cos1 (aar所

8、求面積ar d)cos1 (2122a2221aA 22221aad)2cos21cos223(2432122aa22245aa 2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 a2sin2a例例8. 求雙紐線(xiàn)所圍圖形面積 . 解解: 利用對(duì)稱(chēng)性 ,2cos22ar d2cos212a404A402a)2(d2cos0則所求面積為42a思考思考: 用定積分表示該雙紐線(xiàn)與圓sin2ar 所圍公共部分的面積 .2Adsin2026ad2cos21462a4答案答案:4yxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)二、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)定義定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線(xiàn) ,0M1iMiMnM當(dāng)折線(xiàn)段的最

9、大邊長(zhǎng) 0 時(shí), 折線(xiàn)的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限 ,此極限為曲線(xiàn)弧 AB 的弧長(zhǎng) , 即并稱(chēng)此曲線(xiàn)弧為可求長(zhǎng)的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線(xiàn)弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)ni 10lims則稱(chēng)OAByx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 sdabyxO(1) 曲線(xiàn)弧由直角坐標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長(zhǎng)元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長(zhǎng)xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 曲線(xiàn)弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長(zhǎng)元素(弧微分) :因此所求弧長(zhǎng)tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(d

10、dyxs目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3) 曲線(xiàn)弧由極坐標(biāo)方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長(zhǎng)d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長(zhǎng)元素(弧微分) :(自己驗(yàn)證)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )ch(cxccxccsh1例例9. 兩根電線(xiàn)桿之間的電線(xiàn), 由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成懸鏈線(xiàn) .求這一段弧長(zhǎng) . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22eechxxx )(chx2eeshxxx )(sh xxshxchcxbbOy下垂懸鏈線(xiàn)方程為目錄 上頁(yè) 下

11、頁(yè) 返回 結(jié)束 例例10. 求連續(xù)曲線(xiàn)段ttyxdcos2解解:,0cosx此題22xxysd1222的弧長(zhǎng).xxd)cos(12202xxd2cos2220022sin222x4目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例11. 計(jì)算擺線(xiàn))cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧長(zhǎng) .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 d222aa例例12. 求阿基米德螺線(xiàn)相應(yīng)于 02一段的弧長(zhǎng) . 解解:)0( a

12、ard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2Oar 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù),目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Oxy)(yx特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線(xiàn)段2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí), 有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線(xiàn)段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻?/p>

13、立體體積時(shí),有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy x目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ayxb例例13. 計(jì)算由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對(duì)稱(chēng)性)3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積.343aayxbOx目錄 上頁(yè)

14、下頁(yè) 返回 結(jié)束 a2xyO例例14. 計(jì)算擺線(xiàn))cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性 022)cos1 (2tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyad202目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyOa2a繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(

15、ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 注 注注分部積分對(duì)稱(chēng)關(guān)于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 柱殼體積說(shuō)明說(shuō)明: xxxdy也可按柱殼法求出yVyx2柱面面積xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202

16、)sin(tta)cos1 (ta22td02Oa2xy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函數(shù)336a目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 軸所圍圖及表示xtxxfytV)0(, )()(例例15. 設(shè))(xfy 在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且 ,0)0(f形繞直線(xiàn) xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 , 證明:. )(2)(tftV 證證:xtxxd利用柱殼法xxfxtVd)()(2d則xxfxttVt

17、d)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故)(xfxOy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例16. 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體的底圓中心 , 并與底面交成 角,222Ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系, 則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .ORxyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ORx),(yxyR思考思考: 可否選擇 y 作積分

18、變量 ?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解: 垂直 x 軸的截面是橢圓1)1 ()1 (22222222axaxczby例例17. 計(jì)算由曲面1222222czbyax所圍立體(橢球體)它的面積為)1 ()(22axcbxA因此橢球體體積為xbcaxd)1 (22cb20acba34特別當(dāng) a = b = c 時(shí)就是球體體積 .)(axaaV02x233axx的體積.Oazxycb目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例18. 求曲線(xiàn)132xy與 x 軸圍成的封閉圖形繞直線(xiàn)

19、y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(1994 考研)解解: 利用對(duì)稱(chēng)性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122x12yBCAO3目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充補(bǔ)充)設(shè)平面光滑曲線(xiàn), ,)(1baCxfy求上的圓臺(tái)的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(

20、12xxyO)(xfy ab目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyO)(xfy absySd2d側(cè)面積元素xyd2sdxd若光滑曲線(xiàn)由參數(shù)方程)()()(ttytx給出, 則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的)(2ttttd)()(22S注意注意:側(cè)面積為xyd2原因是的線(xiàn)性主部 .不是薄片側(cè)面積S 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxfxfSbad)(1)(22R xyO例例19. 計(jì)算圓上繞在,21222RRxxxRyxx 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積 S .解解: 對(duì)曲線(xiàn)弧,2122xxxxRy應(yīng)用公式得212xxS22xR 21 22xRxxd21d2xxxR)(212xxR當(dāng)球臺(tái)高 h 2

21、R 時(shí), 得球的表面積公式24RS 1x2xOzyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例20. 求由星形線(xiàn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .解解: 利用對(duì)稱(chēng)性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞 x 軸旋轉(zhuǎn) taytax33sin,cosOyx星形線(xiàn) )()()(ttytx)(2ttttd)()(22S星形線(xiàn)星形線(xiàn)taytax33sin,cos星形線(xiàn)是內(nèi)擺線(xiàn)的一種.點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停播放開(kāi)始或暫停大圓半徑 Ra小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)

22、時(shí), 小圓上的定點(diǎn)的軌跡為內(nèi)擺線(xiàn))aOyxt目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)曲線(xiàn)方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程上下限按順時(shí)針?lè)较虼_定直角坐標(biāo)方程注意注意: 求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小21d)()(tttttAd)(212A目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 已知平行截面面積函數(shù) A(x) 的立體體積baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA繞 x 軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積sySd2d側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式)yxxA2)(繞

23、 y 軸 :(柱殼法)(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xxyy 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長(zhǎng) s .提示提示: 交點(diǎn)為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032yxyxO13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線(xiàn)段部分直線(xiàn)段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 試用定積分求圓)()(222bRRbyx繞 x 軸RbR上上半圓為22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(x

24、Rbxd求體積 :提示提示:方法方法1 利用對(duì)稱(chēng)性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .OxyRV02bR222目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 OxyRbR方法方法2 用柱殼法Vdy2x2ydRbRbV4ybyRyd)(22ybR222說(shuō)明說(shuō)明: 上式可變形為2 RV b2d2bR 20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx此式反映了環(huán)體元素的另一種取法(如圖所示). dd2bRV目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 OxyRbR求側(cè)面積求側(cè)面積 :R02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用對(duì)稱(chēng)性RS2b2S上式也可寫(xiě)成d2bR20上

25、上半圓為,22xRby下下 y22xRx它也反映了環(huán)面元素的另一種取法: d2dbRS目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P284 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30 面積及弧長(zhǎng)部分面積及弧長(zhǎng)部分： 體積及表面積部分：體積及表面積部分：P286 13; 14 ; 15 (1), (4) ; 17; 18補(bǔ)充題補(bǔ)充題: 設(shè)有曲線(xiàn) , 1xy過(guò)原點(diǎn)作其切線(xiàn) , 求由此曲線(xiàn)、切線(xiàn)及 x 軸圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題解：解：1

26、. 求曲線(xiàn)所圍圖形的面積.1lnlnyx顯然1ln,1lnyxOyxe1e1e11eee,ee11yxxln,ln x,ln xe1 x1e1xyln,ln y,ln ye1 y1e1y1e1x1e1y,e1xy中曲線(xiàn)為面積為同理其他.e1yxxyeexy exyS1e1dx)e1(exx e1dx)ee(xx21e21e又故在區(qū)域目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 分析曲線(xiàn)特點(diǎn)2. ) 1( xxyOyx解解:41)(221 x1A) 1( xxy與 x 軸所圍面積1101d) 1(xxxA61,0時(shí)2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由圖形的對(duì)

27、稱(chēng)性 ,211,2143也合于所求. 為何值才能使) 1( xxy.) 1(軸圍成的面積及與于xxxxy與 x 軸圍成的面積等故21目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,0)(2r令3. 求曲線(xiàn)cos1ar 圖形的公共部分的面積 .解解：與)sin(cos2 ar所圍成)sin(cos2 ar得所圍區(qū)域的面積為S0422d)(21r2221a0422d)sin(cos2a28a)22cos(22a4028a4) 1(2a4Ocos1ar x目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)平面圖形 A 由xyx222與xy 所確定 , 求圖形 A 繞直線(xiàn) x 2 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 . 提示：提示：選 x 為積

28、分變量.旋轉(zhuǎn)體的體積為V102d)2)(2(2xxxxx3221221Oyx14.若選 y 為積分變量, 則 V1022d)11 (2yy102d)2(yyxyxy 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一、 變力沿直線(xiàn)所作的功變力沿直線(xiàn)所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x a 移動(dòng)到,bx 力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行, 求變力所做的功 .xabxxxd，上任取子區(qū)間在d,xxxba在其上所作的功元素為xxFWd)(d因此變力F(x) 在區(qū)間 ,ba上所作的功為baxxFWd)(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例

29、例1.一個(gè)單求電場(chǎng)力所作的功 . qOrabrrrd11解解: 當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn) r 時(shí),由庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為2rqkF 則功的元素為rrqkWdd2所求功為barrqkWd2rqk1ab)11(baqk說(shuō)明說(shuō)明:處的電勢(shì)為電場(chǎng)在ar arrqkd2aqk位正電荷沿直線(xiàn)從距離點(diǎn)電荷 a 處移動(dòng)到 b 處 (a b) , 在一個(gè)帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下, 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 S例例2.體, 求移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所Ox解解:由于氣體的膨脹, 把容器中的一個(gè)面積為S 的活塞從點(diǎn) a 處移動(dòng)到點(diǎn) b 處 (如圖), 作的功 .ab建立坐標(biāo)系如圖.xxxd由波義耳馬略特定律知

30、壓強(qiáng) p 與體積 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素為WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功為baxxkWdbaxk lnabkln力為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 m3m5例例3.試問(wèn)要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐標(biāo)系如圖.Oxxxxd在任一小區(qū)間d,xxx上的一薄層水的重力為gxd32這薄層水吸出桶外所作的功(功元素功元素)為Wdxxgd9故所求功為50Wxxgd9g922xg5 .112( KJ )設(shè)水的密度為05(KN)一蓄滿(mǎn)水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m, 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

31、面積為 A 的平板二、液體的側(cè)壓力二、液體的側(cè)壓力設(shè)液體密度為 深為 h 處的壓強(qiáng): hgph當(dāng)平板與水面平行時(shí), ApP 當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用積分解決 .平板一側(cè)所受的壓力為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)xgp332Rg例例4. 的液體 , 求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力. 解解: 建立坐標(biāo)系如圖. 所論半圓的22xRy)0(Rx 利用對(duì)稱(chēng)性 , 側(cè)壓力元素RP0 xxRxgd222OxyRxxxd222xR Pdxg端面所受側(cè)壓力為xd方程為一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0arcsin224222RRxRxR

32、xgR,d222xxR 說(shuō)明說(shuō)明: 當(dāng)桶內(nèi)充滿(mǎn)液體時(shí),),(xRg小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素Pd故端面所受側(cè)壓力為RRxxRxRgPd)(222奇函數(shù)奇函數(shù)3Rg)(xRgRxxRgR022d4tRxsin令OxyRxxxd目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、三、 引力問(wèn)題引力問(wèn)題質(zhì)量分別為21, mm的質(zhì)點(diǎn) , 相距 r ,1m2mr二者間的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線(xiàn)若考慮物體物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力, 則需用積分解決 .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 設(shè)有一長(zhǎng)度為 l, 線(xiàn)密度為 的均勻細(xì)直棒,其中垂線(xiàn)上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) M,M該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.解解: 建立坐標(biāo)系如圖.y2l2ld,xxx細(xì)棒上小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為 dkF xm d22xa 故鉛直分力元素為cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkxOx在試計(jì)算FdxFdyFdxxd目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性2