《生活中的優(yōu)化問題舉例》參考課件2

1、3.4 3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例生活中的優(yōu)化問題舉例 問題提出問題提出 1. 1.在什么條件下，函數(shù)在什么條件下，函數(shù)f(x)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間aa，bb上上一定存在最大值和最小值？一定存在最大值和最小值？函數(shù)函數(shù)y yf(x)f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線 2. 2.如果在閉區(qū)間如果在閉區(qū)間aa，bb上函數(shù)上函數(shù)y yf(x)f(x)的圖象是的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么如何求出函數(shù)一條連續(xù)不斷的曲線，那么如何求出函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)在區(qū)間間aa，bb上的最大值和最小值？上的最大值和最小值？ 將函數(shù)將函數(shù)f(x)f(x)在開區(qū)間（在開區(qū)間（a a

2、，b b）上的所有極值與）上的所有極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者為最大值，區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者為最大值，最小者為最小值最小者為最小值. . 3. 3.生活中經(jīng)常遇到求利潤最高，產(chǎn)量最大，生活中經(jīng)常遇到求利潤最高，產(chǎn)量最大，成本最低，用料最省等實(shí)際問題，這些問題通常成本最低，用料最省等實(shí)際問題，這些問題通常稱為稱為優(yōu)化問題優(yōu)化問題. .解決優(yōu)化問題的本質(zhì)就是求函數(shù)的解決優(yōu)化問題的本質(zhì)就是求函數(shù)的最值，因此，以函數(shù)為載體導(dǎo)數(shù)為工具，解決生最值，因此，以函數(shù)為載體導(dǎo)數(shù)為工具，解決生活中的優(yōu)化問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域的一個重要課活中的優(yōu)化問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域的一個重要課題題. .

3、探究（一）：探究（一）：海報版面尺寸的設(shè)計(jì)海報版面尺寸的設(shè)計(jì) 【背景材料背景材料】學(xué)校或班級舉行活動，通常需要張貼學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進(jìn)行宣傳海報進(jìn)行宣傳. .現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為的海報，要求版心面積為128dm128dm2 2，上、下兩邊各空，上、下兩邊各空2dm2dm，左、右兩邊各空，左、右兩邊各空1dm.1dm.思考思考1 1：版心面積為定值版心面積為定值128dm128dm2 2，海報的面積是否，海報的面積是否也為定值？也為定值？思考思考2 2：設(shè)版心的高為設(shè)版心的高為x x，則海報的面積為多少？，則海報

4、的面積為多少？海報四周空白的面積為多少？海報四周空白的面積為多少？128(4)(2)xx+128(4)(2)128xx+-思考思考3 3：設(shè)海報四周空白的面積為設(shè)海報四周空白的面積為S(x)S(x)，則，則S(x)S(x)的的最簡表達(dá)式如何？其定義域是什么？最簡表達(dá)式如何？其定義域是什么？512( )28,0S xxxx=+思考思考4 4：海報四周空白的面積海報四周空白的面積S(x)S(x)是否存在最值？是否存在最值？若存在，如何求其最值？若存在，如何求其最值？ 512( )28,0S xxxx=+思考思考5 5：如何設(shè)計(jì)海報的尺寸，才如何設(shè)計(jì)海報的尺寸，才能使四周空白面積最小？能使四周空白面

5、積最?。?版心高為版心高為16dm16dm，寬為，寬為8dm8dm時，時， 探究（二）：探究（二）：飲料瓶大小對飲料公司利飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響潤的影響 【背景材料背景材料】某制造商制造并出售球形瓶裝的某種某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是飲料，瓶子的制造成本是0.8r20.8r2分，其中分，其中r(r(單位：單位：cm)cm)是瓶子的半徑是瓶子的半徑. .已知每出售已知每出售1mL1mL的飲料，制造商的飲料，制造商可獲利可獲利0.20.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為為6cm.6cm.思考思考1 1：1mL1mL飲料所占的體

6、積是多少飲料所占的體積是多少cmcm3 3？半徑為？半徑為r r的瓶的瓶子最多能裝多少子最多能裝多少mLmL的飲料？的飲料？思考思考2 2：每瓶滿裝的飲料的利潤每瓶滿裝的飲料的利潤( (單位：分單位：分) )是多少？是多少？ 3240. 20. 83rrpp-343rp思考思考3 3：設(shè)每瓶滿裝飲料的利潤為設(shè)每瓶滿裝飲料的利潤為f(r)f(r)，則函數(shù)，則函數(shù)f(r)f(r)的定義域是什么？的定義域是什么？ （0 0，6 6 思考思考4 4：函數(shù)函數(shù)是否存在最值？若存在，如何求其最值？是否存在最值？若存在，如何求其最值？ 32( )0.8 ()(06)3rf rrrm i n3. 2( )(2

7、)3f xfp= -m ax( )(6)28. 8f xfp=思考思考5 5：函數(shù)函數(shù)的大致圖象是什么？據(jù)圖象分析，瓶子半徑的大小的大致圖象是什么？據(jù)圖象分析，瓶子半徑的大小對制造商的利潤產(chǎn)生什么影響？對制造商的利潤產(chǎn)生什么影響？O Ox xy y2 23 36 6當(dāng)當(dāng)0 0r r3 3時，利潤為負(fù)值；當(dāng)時，利潤為負(fù)值；當(dāng)r r3 3時，利潤為零；當(dāng)時，利潤為零；當(dāng)r r3 3時，利潤時，利潤為正值，并隨著瓶子半徑的增大利為正值，并隨著瓶子半徑的增大利潤也相應(yīng)增大潤也相應(yīng)增大. .32( )0.8 ()(06)3rf rprr思考思考6 6：市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝市場上等量的小包

8、裝的物品一般比大包裝的要貴些（如半斤裝的白酒比一斤裝的白酒平均價的要貴些（如半斤裝的白酒比一斤裝的白酒平均價格要高），在數(shù)學(xué)上有什么道理？格要高），在數(shù)學(xué)上有什么道理？ 將包裝盒捏成球狀，因?yàn)樾“b的半徑小，其利潤將包裝盒捏成球狀，因?yàn)樾“b的半徑小，其利潤低，生產(chǎn)商就提高銷售價格來平衡與大包裝的利潤低，生產(chǎn)商就提高銷售價格來平衡與大包裝的利潤. . 探究（三）：探究（三）：磁盤的最大存儲量問題磁盤的最大存儲量問題 【背景材料背景材料】計(jì)算機(jī)把信息存儲在磁盤上，磁盤計(jì)算機(jī)把信息存儲在磁盤上，磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并由操作系統(tǒng)將其格式是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并由操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)化

9、成磁道和扇區(qū). .磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心圓軌道，扇區(qū)是指被圓心角分割成的扇形區(qū)域圓軌道，扇區(qū)是指被圓心角分割成的扇形區(qū)域. .磁磁道上的定長的弧可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁道上的定長的弧可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0 0或或1 1，這個基本單元通常，這個基本單元通常稱為比特，磁盤的構(gòu)造如圖所示稱為比特，磁盤的構(gòu)造如圖所示. . 為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必須為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必須大于大于m m，每比特所占用的磁道長度不得小于，每比特所占用的磁道長度不得小于n.n.為了數(shù)為了數(shù)據(jù)檢索的方便，磁盤

10、格式化時要求所有磁道具有相據(jù)檢索的方便，磁盤格式化時要求所有磁道具有相同的比特數(shù)同的比特數(shù). .R Rr r思考思考1 1：現(xiàn)有一張半徑為現(xiàn)有一張半徑為R R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于介于r r與與R R的環(huán)形區(qū)域，且最外面的磁道不存儲任何信的環(huán)形區(qū)域，且最外面的磁道不存儲任何信息，那么這張磁盤的磁道數(shù)最多可達(dá)多少？息，那么這張磁盤的磁道數(shù)最多可達(dá)多少？ R Rr rRrm-思考思考2 2：由于每條磁道上的比特數(shù)相同，那么這由于每條磁道上的比特數(shù)相同，那么這張磁盤存儲量的大小取決于哪條磁道上的比特數(shù)？張磁盤存儲量的大小取決于哪條磁道上的比特數(shù)？最內(nèi)一條磁道最內(nèi)一條磁道

11、. 思考思考3 3：要使磁盤的存儲量達(dá)到最大，那么最要使磁盤的存儲量達(dá)到最大，那么最內(nèi)一條磁道上的比特數(shù)為多少？內(nèi)一條磁道上的比特數(shù)為多少？ R Rr r2rnp思考思考4 4：這張磁盤的存儲量最大可達(dá)到多少比特？這張磁盤的存儲量最大可達(dá)到多少比特？2Rrrmnp-思考思考5 5：若若R R為定值，為定值，r r為變量，那么這張為變量，那么這張磁盤的存儲量磁盤的存儲量如何變化？有何最值？如何變化？有何最值？2( )()(0)f rr RrrRm np=-2Rr=時，存儲量最大時，存儲量最大.R Rr r思考思考6 6：如果每條磁道存儲的信息與磁道的長度成如果每條磁道存儲的信息與磁道的長度成正比

12、，那么如何計(jì)算磁盤的存儲量？此時，是不是正比，那么如何計(jì)算磁盤的存儲量？此時，是不是r r越小，磁盤的存儲量越大？越小，磁盤的存儲量越大？R Rr r22 ()2 ()( )()()rrmRmf rnnnRrmRrm npppp+-=+=+-L2mr=時，存儲量最大時，存儲量最大.理論遷移理論遷移例例 某汽車制造廠有一條價值為某汽車制造廠有一條價值為6060萬元的汽車生產(chǎn)萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高其生產(chǎn)能力，進(jìn)而提高線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高其生產(chǎn)能力，進(jìn)而提高產(chǎn)品的增加值產(chǎn)品的增加值. .已知投入已知投入x x萬元用于技術(shù)改造，所獲得萬元用于技術(shù)改造，所獲得的產(chǎn)品的增加值為的產(chǎn)

13、品的增加值為(60(60 x)xx)x2 2萬元，并且技改投入比萬元，并且技改投入比率率 . .求當(dāng)技改投入多少萬元時，所獲得的求當(dāng)技改投入多少萬元時，所獲得的產(chǎn)品的增加值為最大？產(chǎn)品的增加值為最大？ (0,560 xx技改投入技改投入4040萬元萬元 小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.解決優(yōu)化問題的基本思路：解決優(yōu)化問題的基本思路：優(yōu)化問題優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案優(yōu)化問題的答案用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題 2.2.解決優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是將實(shí)際問題化歸為函解決優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是將實(shí)際問題化歸為函數(shù)的最值問題來處理，其探究過程是一個典型的數(shù)數(shù)的最值問題來處理，其探

14、究過程是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程學(xué)建模過程. .對目標(biāo)函數(shù)的最值，要根據(jù)函數(shù)式的特對目標(biāo)函數(shù)的最值，要根據(jù)函數(shù)式的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓袝r用基本不等式或二次點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，有時用基本不等式或二次函數(shù)圖象求最值比用導(dǎo)數(shù)更方便函數(shù)圖象求最值比用導(dǎo)數(shù)更方便. . 3.3.對優(yōu)化問題中的函數(shù)關(guān)系，要注意根據(jù)實(shí)際對優(yōu)化問題中的函數(shù)關(guān)系，要注意根據(jù)實(shí)際背景確定函數(shù)的定義域，如果目標(biāo)函數(shù)在定義域內(nèi)背景確定函數(shù)的定義域，如果目標(biāo)函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極值點(diǎn)，則這個極值點(diǎn)一般就是最值點(diǎn)只有一個極值點(diǎn)，則這個極值點(diǎn)一般就是最值點(diǎn). . 例例1 1 一艘輪船在航行中每小時的燃料費(fèi)和它的一艘輪船在航行中每小時的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時速度的立方成正比，已知在速度為每小時10km10km時，時，燃料費(fèi)是每小時燃料費(fèi)是每小時6 6元，其它與速度無關(guān)的費(fèi)用是每元，其它與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時小時9696元，問此輪船以何種速度航行時，能使每行元，問此輪船以何種速度航行時，能使每行駛駛1km1km的總費(fèi)用最??？的總費(fèi)用最小？ 20km/h 20km/h 例例2 2 用總長為用總長為14.8m14.8m的鋼條制作一個長方體容器的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長長0.5m0.5m，那么當(dāng)