自相關與互相關函數

1、 相關函數自相關函數 自相關函數是信號在時域中特性的平均度量，它用來描述信號在一個時刻的取值與另一時刻取值的依賴關系，其定義式為（2.4.6） 對于周期信號，積分平均時間T為信號周期。對于有限時間內的信號，例如單個脈沖，當T趨于無窮大時，該平均值將趨于零，這時自相關函數可用下式計算（2.4.7）自相關函數就是信號x(t)和它的時移信號x(t+)乘積的平均值，它是時移變量的函數。 例如信號的自相關函數為 若信號是由兩個頻率與初相角不同的頻率分量組成，即，則對于正弦信號，由于，其自相關函數仍為 由此可見，正弦（余弦）信號的自相關函數同樣是一個余弦函數。它保留了原信號的頻率成分，其頻率不變，幅值等于

2、原幅值平方的一半，即等于該頻率分量的平均功率，但丟失了相角的信息。 自相關函數具有如下主要性質： （1）自相關函數為偶函數，其圖形對稱于縱軸。因此，不論時移方向是導前還是滯后（為正或負），函數值不變。 （2）當0時，自相關函數具有最大值，且等于信號的均方值，即（2.4.8） （3）周期信號的自相關函數仍為同頻率的周期信號。 （4）若隨機信號不含周期成分，當趨于無窮大時，趨于信號平均值的平方，即 （2.4.9） 實際工程應用中，常采用自相關系數來度量其不同時刻信號值之間的相關程度，定義式為（2.4.10）當0時，1，說明相關程度最大；當時，說明信號x(t)與x(t+)之間彼此無關。由于，所以。值

3、的大小表示信號相關性的強弱。自相關函數的性質可用圖2.4.3表示。圖2.4.3 自相關函數的性質常見四種典型信號的自相關函數如圖2.4.4所示，自相關函數的典型應用包括： （1）檢測信號回聲（反射）。若在寬帶信號中存在著帶時間延遲的回聲，那么該信號的自相關函數將在處也達到峰值（另一峰值在處），這樣可根據確定反射體的位置，同時自相關系數在處的值將給出反射信號相對強度的度量。時間歷程自相關函數圖形正弦波正弦波加隨機噪聲窄帶隨機噪聲寬帶隨機噪聲圖2.4.4 四種典型信號的自相關函數（2）檢測淹沒在隨機噪聲中的周期信號。由于周期信號的自相關函數仍是周期性的，而隨機噪聲信號隨著延遲增加，它的自相關函數將

4、減到零。因此在一定延遲時間后，被干擾信號的自相關函數中就只保留了周期信號的信息，而排除了隨機信號的干擾。圖2.4.5所示為噪聲對相關函數的影響。圖 2.4.5噪聲對相關函數的影響2互相關函數隨機信號x(t)和y(t)的互相關函數定義為(2.4.11)互相關函數具有如下性質： （1）互相關函數不是偶函數，是不對稱的。圖2.4.6為兩個隨機信號x(t)和y(t)及其互相關函數圖形，其峰值偏離了原點的位置反映了兩信號的時差。例如在位置達到最大值，則說明y(t)導前時間x(t)與y(t)最相似。（2），即x(t)與y(t)互換后，它們的互相關函數對稱于縱軸（圖2.4.7），說明使信號y(t)在時間上導

5、前與使另一信號x(t)滯后，其結果是一樣的。（3）若兩個隨機信號x(t)和y(t)沒有同頻率周期成分，是兩個完全獨立的信號，則當時有(2.4.12) （4）頻率相同的兩個周期信號的互相關函數仍是周期信號，其周期與原信號相同。例如兩個周期信號為和，則其互相關函數為(2.4.13)用互相關系數表示互相關程度，即(2.4.14)互相關系數反映了兩個隨機信號之間的相關性，且。若x(t)和y(t)之間沒有同頻率的周期成分，那么當很大時就彼此無關，即。微弱信號的檢測 互相關函數的這些性質，使得它在檢測技術中具有廣泛的應用。最常見的應用有以下幾種：（1）確定時間延遲。假如某信號從A點傳播到另一點B點，那么在

6、兩點拾取的信號x(t)和y(t)之間的互相關函數，將在相當于兩點之間時間延遲的位置上出現(xiàn)一個峰值。利用確定延遲時間的方法可以測量物體的運動速度，圖2.4.8為測定軋鋼時鋼板運動速度的示意圖。利用兩個距離為d的光電傳感器A和B，得到鋼板表面反射光強度變化的光電信號x(t)和y(t)，經互相關分析，確定時移，當等于鋼板通過兩個測點間的時間時，兩信號的互相關函數為最大值，則運動物體的速度為 （2）識別傳輸路徑。假如信號從A點到B點有幾個傳輸路徑，則在互相關函數中就有幾個峰值，每個峰值對應于延遲了時間的一個路徑，例如用于聲源和聲反射路徑的識別。 （3）檢測淹沒在外來噪聲中的信號。假如信號s(t)受到外界的干擾形成復合信號a(t)和b(t)，即a(t)=s(t)+n(t)，b(t)=s(t)+m(t)，（s(t)是有用信號，可以是確定性的或者隨機的，而n(t)和m(t)是互不相關的噪聲），那么互相關函數將僅含有a(t)和b(t)中的相關部分s(t)的信號，而排除了外來噪聲的干擾。 （4）系統(tǒng)脈沖響應的測定。在隨機激勵試驗中，假如以隨機白噪聲作為試驗信號輸入被測系統(tǒng)，則輸入信號與輸出信號的互