小學(xué)奧數(shù)行程問題分類討論

1、小學(xué)奧數(shù)行程問題分類討論行程問題是小升初考試和小學(xué)四大杯賽四大題型之一(計(jì)算、數(shù)論、幾何、行程)。具體題型變化多樣，形成10多種題型，都有各自相對(duì)獨(dú)特的解題方法?，F(xiàn)根據(jù)四大杯賽的真題研究和主流教材將小題型總結(jié)如下，希望各位看過之后給予更加明確的分類。一、一般相遇追及問題。包括一人或者二人時(shí)(同時(shí)、異時(shí))、地(同地、異地)、向(同向、相向)的時(shí)間和距離等條件混合出現(xiàn)的行程問題。在杯賽中大量出現(xiàn)，約占80%左右。建議熟練應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)解法，即s=v×t結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)畫圖(基本功)解答。由于只用到相遇追及的基本公式即可解決，并且要就題論題，所以無法展開，但這是考試中最常碰到的，希望高手做更為細(xì)致的分類

2、。二、復(fù)雜相遇追及問題。(1)多人相遇追及問題。比一般相遇追及問題多了一個(gè)運(yùn)動(dòng)對(duì)象，即一般我們能碰到的是三人相遇追及問題。解題思路完全一樣，只是相對(duì)復(fù)雜點(diǎn)，關(guān)鍵是標(biāo)準(zhǔn)畫圖的能力能否清楚表明三者的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。(2)多次相遇追及問題。即兩個(gè)人在一段路程中同時(shí)同地或者同時(shí)異地反復(fù)相遇和追及，俗稱反復(fù)折騰型問題。分為標(biāo)準(zhǔn)型(如已知兩地距離和兩者速度，求n次相遇或者追及點(diǎn)距特定地點(diǎn)的距離或者在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的相遇或追及次數(shù))和純周期問題(少見，如已知兩者速度，求一個(gè)周期后，即兩者都回到初始點(diǎn)時(shí)相遇、追及的次數(shù))。標(biāo)準(zhǔn)型解法固定，不能從路程入手，將會(huì)很繁，最好一開始就用求單位相遇、追及時(shí)間的方法，再求距離和次數(shù)

3、就容易得多。如果用折線示意圖只能大概有個(gè)感性認(rèn)識(shí)，無法具體得出答案，除非是非考試時(shí)間仔細(xì)畫標(biāo)準(zhǔn)尺寸圖。一般用到的時(shí)間公式是(只列舉甲、乙從兩端同時(shí)出發(fā)的情況，從同一端出發(fā)的情況少見，所以不贅述)：?jiǎn)纬滔嘤鰰r(shí)間：t單程相遇=s/(v甲+v乙)單程追及時(shí)間：t單程追及=s/(v甲-v乙)第n次相遇時(shí)間：Tn= t單程相遇×(2n-1)第m次追及時(shí)間：Tm= t單程追及×(2m-1)限定時(shí)間內(nèi)的相遇次數(shù)：N相遇次數(shù)= (Tn+ t單程相遇)/2 t單程相遇限定時(shí)間內(nèi)的追及次數(shù)：M追及次數(shù)= (Tm+ t單程追及)/2 t單程追及注：是取整符號(hào)之后再選取甲或者乙來研究有關(guān)路程的關(guān)系

4、，其中涉及到周期問題需要注意，不要把運(yùn)動(dòng)方向搞錯(cuò)了。簡(jiǎn)單例題：甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)，在相距300千米的A、B兩地之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時(shí)30千米，乙車的速度是每小時(shí)20千米，問(1)第二次迎面相遇后又經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙追及相遇?(2)相遇時(shí)距離中點(diǎn)多少千米?(3)50小時(shí)內(nèi)，甲乙兩車共迎面相遇多少次?三、火車問題。特點(diǎn)無非是涉及到車長(zhǎng)，相對(duì)容易。小題型分為：(1)火車vs點(diǎn)(靜止的，如電線桿和運(yùn)動(dòng)的，如人)s火車=(v火車 ±v人)×t經(jīng)過(2)火車vs線段(靜止的，如橋和運(yùn)動(dòng)的，如火車)s火車+s橋=v火車×t經(jīng)過和s火車1+s火車2=(v火

5、車1±v火車2)×t經(jīng)過合并(1)和(2)來理解即s和=v相對(duì)×t經(jīng)過把電線桿、人的水平長(zhǎng)度想象為0即可?；疖噯栴}足見基本公式的應(yīng)用廣度，只要略記公式，火車問題一般不是問題。(3)坐在火車?yán)?。本身所在火車的車長(zhǎng)就形同虛設(shè)了，注意的是相對(duì)速度的計(jì)算。電線桿、橋、隧道的速度為0(弱智結(jié)論)。四、流水行船問題。理解了相對(duì)速度，流水行船問題也就不難了。理解記住1個(gè)公式(順?biāo)?靜水船速+水流速度)就可以順勢(shì)理解和推導(dǎo)出其他公式(逆水船速=靜水船速-水流速度，靜水船速=(順?biāo)?逆水船速)÷2，水流速度=(順?biāo)?逆水船速)÷2)，對(duì)于流水問題也就

6、夠了。技巧性結(jié)論如下：(1)相遇追及。水流速度對(duì)于相遇追及的時(shí)間沒有影響，即對(duì)無論是同向還是相向的兩船的速度差不構(gòu)成“威脅”，大膽使用為善。(2)流水落物。漂流物速度=水流速度，t1= t2(t1：從落物到發(fā)現(xiàn)的時(shí)間段，t2：從發(fā)現(xiàn)到拾到的時(shí)間段)與船速、水速、順行逆行無關(guān)。此結(jié)論所帶來的時(shí)間等式常常非常容易的解決流水落物問題，其本身也非常容易記憶。例題：一條河上有甲、乙兩個(gè)碼頭，甲碼頭在乙碼頭的上游50千米處。一艘客船和一艘貨船分別從甲、乙兩碼頭同時(shí)出發(fā)向上游行駛，兩船的靜水速度相同?？痛霭l(fā)時(shí)有一物品從船上落入水中，10分鐘后此物品距客船5千米?？痛谛旭?0千米后掉頭追趕此物品，追上時(shí)恰

7、好和貨船相遇。求水流速度。五、間隔發(fā)車問題。空間理解稍顯困難，證明過程對(duì)快速解題沒有幫助。一旦掌握了3個(gè)基本公式，一般問題都可以迎刃而解。(1)在班車?yán)?。即柳卡問題。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時(shí)間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。如果不畫圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來說不容易。例題：A、B是公共汽車的兩個(gè)車站，從A站到B站是上坡路。每天上午8點(diǎn)到11點(diǎn)從A、B兩站每隔30分同時(shí)相向發(fā)出一輛公共汽車。已知從A站到B站單程需要105分鐘，從B站到A站單程需要80分鐘。問8：30、9：00從A站發(fā)車的司機(jī)分別能看到幾輛從B站開來的汽車?(2)在班車外。聯(lián)

8、立3個(gè)基本公式好使。汽車間距=(汽車速度+行人速度)×相遇事件時(shí)間間隔-1汽車間距=(汽車速度-行人速度)×追及事件時(shí)間間隔-2汽車間距=汽車速度×汽車發(fā)車時(shí)間間隔-31、2合并理解，即汽車間距=相對(duì)速度×時(shí)間間隔分為2個(gè)小題型：1、一般間隔發(fā)車問題。用3個(gè)公式迅速作答;2、求到達(dá)目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫圖-盡可能多的列3個(gè)好使公式-結(jié)合s全程=v×t-結(jié)合植樹問題數(shù)數(shù)。例題：小峰在騎自行車去小寶家聚會(huì)的路上注意到，每隔9分鐘就有一輛公交車從后方超越小峰。小峰騎車到半路車壞了，于是只好坐出租車去小寶家。這時(shí)小峰又發(fā)現(xiàn)出

9、租車也是每隔9分鐘超越一輛公交車，已知出租車的速度是小峰騎車速度的5倍，如果這3種車輛在行駛過程中都保持勻速，那么公交車站每隔多少分鐘發(fā)一輛車?六、平均速度問題。相對(duì)容易的題型。大公式要牢牢記住：總路程=平均速度×總時(shí)間。用s=v×t寫出相應(yīng)的比要比直接寫比例式好理解并且規(guī)范，形成行程問題的統(tǒng)一解決方案。七、環(huán)形問題。是一類有挑戰(zhàn)性和難度的題型，分為“同一路徑”、“不同路徑”、“真實(shí)相遇”、“能否看到”等小題型。其中涉及到周期問題、幾何位置問題(審題不仔細(xì)容易漏掉多種位置可能)、不等式問題(針對(duì)“能否看到”問題，即問甲能否在線段的拐角處看到乙)。仍舊屬于就題論題范疇，不展開

10、了。八、鐘表問題。是環(huán)形問題的特定引申?；娟P(guān)系式：v分針= 12v時(shí)針(1)總結(jié)記憶：時(shí)針每分鐘走1/12格，0.5°分針每分鐘走1格，6°。時(shí)針和分針“半”天共重合11次，成直線共11次，成直角共22次(都在什么位置需要自己拿表畫圖總結(jié))。(2)基本解題思路：路程差思路。即格或角(分針)=格或角(時(shí)針)+格或角(差)格：x=x/12+(開始時(shí)落后時(shí)針的格+終止時(shí)超過時(shí)針的格)角：6x=x/2+(開始時(shí)落后時(shí)針的角度+終止時(shí)超過時(shí)針的角度)可以解決大部分時(shí)針問題的題型，包括重合、成直角、成直線、成任意角度、在哪兩個(gè)格中間，和哪一個(gè)時(shí)刻形成多少角度。例題：在9點(diǎn)23分時(shí)，時(shí)

11、針和分針的夾角是多少度?從這一時(shí)刻開始，經(jīng)過多少分鐘，時(shí)針和分針第一次垂直?(3)壞鐘問題。所用到的解決方法已經(jīng)不是行程問題了，變成比例問題了，有相應(yīng)的比例公式。這里不做討論了，我也討論不好，都是考公務(wù)員的題型，有難度。九、自動(dòng)扶梯問題。仍然用基本關(guān)系式s扶梯級(jí)數(shù)=(v人速度±v扶梯速度)×t上或下解決最漂亮。這里的路程單位全部是“級(jí)”，唯一要注意的是t上或下要表示成實(shí)際走的級(jí)數(shù)/人的速度?？梢訮K掉絕大部分自動(dòng)扶梯問題。例題：商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子在行駛的扶梯上上下走動(dòng)，女孩由下向上走，男孩由上向下走，結(jié)果女孩走了40級(jí)到達(dá)樓上，男孩走了80級(jí)到達(dá)樓下

12、。如果男孩單位時(shí)間內(nèi)走的扶梯級(jí)數(shù)是女孩的2倍，則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯梯級(jí)有多少級(jí)?十、十字路口問題。即在不同方向上的行程問題。沒有特殊的解題技巧，只要老老實(shí)實(shí)把圖畫對(duì)，再通過幾何分析就可以解決。十一、校車問題。就是這樣一類題：隊(duì)伍多，校車少，校車來回接送，隊(duì)伍不斷步行和坐車，最終同時(shí)到達(dá)目的地(即到達(dá)目的地的最短時(shí)間，不要求證明)分4種小題型：根據(jù)校車速度(來回不同)、班級(jí)速度(不同班不同速)、班數(shù)是否變化分類。(1)車速不變-班速不變-班數(shù)2個(gè)(最常見)(2)車速不變-班速不變-班數(shù)多個(gè)(3)車速不變-班速變-班數(shù)2個(gè)(4)車速變-班速不變-班數(shù)2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)解法：畫圖-列3個(gè)式子：1、總

13、時(shí)間=一個(gè)隊(duì)伍坐車的時(shí)間+這個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間;2、班車走的總路程;3、一個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間=班車同時(shí)出發(fā)后回來接它的時(shí)間。最后會(huì)得到幾個(gè)路程段的比值，再根據(jù)所求代數(shù)即可。此類問題可以得到幾個(gè)公式，但實(shí)話說公式無法記憶，因?yàn)橄鄬?duì)復(fù)雜，只能臨考時(shí)抱佛腳還管點(diǎn)兒用。孩子有興趣推導(dǎo)一下倒可以，不要死記硬背。簡(jiǎn)單例題：甲班與乙班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去15千米外的公園游玩，甲、乙兩班的步行速度都是每小時(shí)4千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí)48千米，這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生。為了使兩班學(xué)生在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)公園，那么甲班學(xué)生與乙班學(xué)生需要步行的距離是多少千米?十二、保證往返類。簡(jiǎn)單例題：A、B兩人要到沙漠

14、中探險(xiǎn)，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可以攜帶一個(gè)人24天的食物和水。如果不準(zhǔn)將部分食物存放于途中，其中一個(gè)人最遠(yuǎn)可深入沙漠多少千米(要求兩人返回出發(fā)點(diǎn))?這類問題其實(shí)屬于智能應(yīng)用題類。建議推導(dǎo)后記憶結(jié)論，以便考試快速作答。每人可以帶夠t天的食物，最遠(yuǎn)可以走的時(shí)間T(1)返回類。(保證一個(gè)人走的最遠(yuǎn)，所有人都要活著回來)1、兩人：如果中途不放食物：T=2/3t;如果中途放食物：T=3/4t。2、多人：沒搞明白，建議高手補(bǔ)充。(2)穿沙漠類(保證一個(gè)人穿過沙漠不回來了，其他人都要活著回來)共有n人(包括穿沙漠者)即多人助1人穿沙漠類。1、中途不放食物：T2n/(n+1)×t

15、。T是穿沙漠需要的天數(shù)。2、中途放食物：T=(1+1/3+1/5+1/7+1/(2n-1)×t還有幾類不甚常見的雜題，沒有典型性和代表性，在此不贅述。希望大家完善以上的題型分類，因?yàn)閵W數(shù)好玩。概念行程問題是反映物體勻速運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用題。行程問題涉及的變化較多，有的涉及一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，有的涉及兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，有的涉及三個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)。涉及兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的，又有"相向運(yùn)動(dòng)"(相遇問題)、"同向運(yùn)動(dòng)"(追及問題)和"相背運(yùn)動(dòng)"(相離問題)三種情況。但歸納起來，不管是"一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)"還是"多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)&qu

16、ot;，不管是"相向運(yùn)動(dòng)"、"同向運(yùn)動(dòng)"，還是"相背運(yùn)動(dòng)"，他們的特點(diǎn)是一樣的，具體地說，就是它們反映出來的數(shù)量關(guān)系是相同的，都可以歸納為:速度×時(shí)間=路程。折疊編輯本段詳述要正確的解答有關(guān)"行程問題"的應(yīng)用題，必須弄清物體運(yùn)動(dòng)的具體情況。如運(yùn)動(dòng)的方向(相向，相背，同向)，出發(fā)的時(shí)間(同時(shí)，不同時(shí))，出發(fā)的地點(diǎn)(同地，不同地)，運(yùn)動(dòng)的路線(封閉，不封閉)，運(yùn)動(dòng)的結(jié)果(相遇、相距多少、交錯(cuò)而過、追及)。兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的方向與運(yùn)動(dòng)的速度有著很大關(guān)系，當(dāng)兩個(gè)物體"相向運(yùn)動(dòng)"或"

17、;相背運(yùn)動(dòng)"時(shí)，此時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度都是"兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)速度的和"(簡(jiǎn)稱速度和)，當(dāng)兩個(gè)物體"同向運(yùn)動(dòng)"時(shí)，此時(shí)兩個(gè)物體的追擊的速度就變?yōu)榱?quot;兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)速度的差"(簡(jiǎn)稱速度差)。當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)有外作用力時(shí)，速度也會(huì)發(fā)生變化。如人在賽跑時(shí)順風(fēng)跑和逆風(fēng)跑;船在河中順?biāo)潞湍嫠?。此時(shí)人在順風(fēng)跑是運(yùn)動(dòng)的速度就應(yīng)該等于人本身運(yùn)動(dòng)的速度加上風(fēng)的速度，人在逆風(fēng)跑時(shí)運(yùn)動(dòng)的速度就應(yīng)該等于人本身的速度減去風(fēng)的速度;我們?cè)俦容^一下人順風(fēng)的速度和逆風(fēng)的速度會(huì)發(fā)現(xiàn)，順風(fēng)速度與逆風(fēng)速度之間相差著兩個(gè)風(fēng)的速度;同樣比較"順?biāo)?quot;與&qu

18、ot;逆流而上"，兩個(gè)速度之間也相差著兩個(gè)"水流的速度"。折疊編輯本段公式折疊流水問題船在江河里航行時(shí)，除了本身的前進(jìn)速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下計(jì)算船只的航行速度、時(shí)間和所行的路程，叫做流水問題。流水問題，是行程問題中的一種，因此行程問題中三個(gè)量(速度、時(shí)間、路程)的關(guān)系在這里將要反復(fù)用到.此外，流水行船問題還有以下兩個(gè)基本公式:順?biāo)俣?船速+水速;(1)逆水速度=船速-水速。(2)這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時(shí)間里所走過的路程。水速，是指水在單位時(shí)間里流過的路程。順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時(shí)和逆流航行時(shí)船在單位時(shí)間里所

19、行的路程(請(qǐng)注意單位名稱統(tǒng)一)。根據(jù)加減法互為逆運(yùn)算的關(guān)系，由公式(1)可以得到:水速=順?biāo)俣?船速，由公式(2)可以得到:水速=船速-逆水速度;船速=逆水速度+水速。這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實(shí)際速度和水速這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)量。另外，已知船的逆水速度和順?biāo)俣龋鶕?jù)公式(1)和公式(2)，相加和相減就可以得到:船速=(順?biāo)俣?逆水速度)÷2，水速=(順?biāo)俣?逆水速度)÷2。時(shí)間*速度=時(shí)間折疊火車過橋(橋長(zhǎng)+車長(zhǎng))÷速度=時(shí)間(橋長(zhǎng)+車長(zhǎng))÷時(shí)間=速度速度*時(shí)間=橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)折疊編輯本段例題折疊流水行船問題例:&

20、#160;一只輪船從甲地開往乙地順?biāo)?，每小時(shí)行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?2 小時(shí)，已知水速每小時(shí)4 千米。求甲乙兩地相距多少千米?分析:此題必須先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r(shí)間，或者逆水速度和逆水的時(shí)間。已知順?biāo)俣群退魉俣?，因此不難算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r(shí)間，逆水所用的時(shí)間不知道，只知道順?biāo)饶嫠儆?小時(shí)，抓住這一點(diǎn)，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r(shí)間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為28-4×2=20 (千米)20×2=40(千米)40÷(4×2)=5(小時(shí))28×5=140

21、 (千米)。綜合式:(28-4×2)×2÷(4×2)×28折疊環(huán)形上的相遇問題例:甲、乙二人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，在環(huán)形跑道上跑步，甲的速度是每秒跑4米，乙的速度是每秒跑4.8米，甲跑_圈后，乙可超過甲一圈。分析:甲乙速度不變，由于時(shí)間一定，速度與路程成正比例。甲、乙速度比為5:6，甲、乙所行路程比也為5:6。甲乙路程相差一份，這一份代表一圈。由此可得，甲走5份，就走了5圈。折疊電梯問題例:商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子在行駛的扶梯上上下走動(dòng)，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結(jié)果女孩走了40級(jí)到達(dá)樓上，男孩走了80級(jí)到達(dá)樓下。如果男孩單位

22、時(shí)間內(nèi)走的扶梯級(jí)數(shù)是女孩的2倍，則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯梯級(jí)有多少級(jí)?分析:因?yàn)槟泻⒌乃俣仁桥⒌?倍，所以男孩走80級(jí)到達(dá)樓下與女孩走40級(jí)到達(dá)樓上所用時(shí)間相同，在這段時(shí)間中，自動(dòng)扶梯向上運(yùn)行了(80-40)÷2=20(級(jí))所以扶梯可見部分有 80-20=60(級(jí))。折疊發(fā)車問題例:小敏走在街上,注意到:每隔6分鐘有一輛30路公交車從身后超過她,每隔2分鐘,馬路對(duì)面30路公交車迎面駛來,假設(shè)小敏步行速度一定,30路車總站發(fā)生間隔時(shí)間一定,問30路公交車每隔多久發(fā)一班車?分析:解:設(shè)30路公交車速度為X，小敏行速為Y，30路公交車每隔Z分鐘發(fā)一班車，則追距=X*Z，由已知得下方

23、程組:X*Z/(X-Y)=6X*Z/(X+Y)=2解上方程組，得Y=X/2X*Z=6*(X-Y)=6*(X-X/2)=3XZ=3答:30路車每隔3分鐘發(fā)一班車。折疊接送問題例:某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班.有一天，專家為了早些到廠，比平時(shí)提前一小時(shí)出發(fā)，步行去工廠，走了一段時(shí)間后遇到來接他的汽車，他上車后汽車立即調(diào)頭繼續(xù)前進(jìn)，進(jìn)入工廠大門時(shí)，他發(fā)現(xiàn)只比平時(shí)早到10分鐘，問專家在路上步行了多長(zhǎng)時(shí)間才遇到汽車?(設(shè)人和汽車都作勻速運(yùn)動(dòng)，他上車及調(diào)頭時(shí)間不記)分析:設(shè)專家從家中出發(fā)后走到M處(如圖1)與小汽車相遇。由于正常接送必須從BAB，而題中接送是從BMB恰好提前10分鐘;則小汽車從 MAM剛好需10分鐘;