蘇教版必修五11正弦定理學(xué)案含答案

1、高中數(shù)學(xué)正弦定理一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說(shuō)明正弦定理1. 通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理。2. 能運(yùn)用正弦定理解三角形。填空題解答題高考常考既可以單獨(dú)考查正弦定理，也可以與其它知識(shí)（如向量、三角函數(shù)）綜合進(jìn)行考查。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：正弦定理的運(yùn)用（解三角形，判定三角形的形狀，解決實(shí)際生活中的問(wèn)題）。難點(diǎn)：判定三角形解的情況。1. 正弦定理的發(fā)現(xiàn)及證明正弦定理時(shí)體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法 正弦定理的證明方法較多，但都離不開(kāi)化斜三角形為直角三角形這一基本思想，同時(shí)需要分類討論。2. 正弦定理的內(nèi)容及其常見(jiàn)變形內(nèi)容：（三角形的各邊和它所對(duì)角的正弦之比相等）。變形：（1）；（2）；

2、 （3）其它變形。3. 正弦定理解斜三角形的兩種類型（1）AAS、ASA；（2）SSA。4. 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，判定三角形的解的情況試一試：分別滿足如下條件，試判定解的情況。（1）已知；（2），；（3）已知。 小結(jié)：已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它邊和角時(shí)，怎樣判斷解的個(gè)數(shù)? （1）求小邊所對(duì)的角時(shí)，有一個(gè)解。（2）求大邊所對(duì)的角時(shí)，若所求的正弦值等于1時(shí)，有一個(gè)解；若所求的正弦值小于1時(shí)，有兩個(gè)解；若所求的正弦值大于1時(shí)，沒(méi)有解。此外，三角形的解的情況也可以結(jié)合圖形進(jìn)行思考。例題1 （天津高考）在中，A，B，C所對(duì)的邊分別是，已知8b=5c，C=2B，則cosC= 。思路分析：

3、兩個(gè)已知條件需要統(tǒng)一化為邊（或角）的關(guān)系，一種是均化為邊，需要對(duì)C=2B兩邊同時(shí)進(jìn)行正弦變形，再運(yùn)用正弦定理求解；另一種思路是均化為角，即8b=5c直接運(yùn)用正弦定理化為，再進(jìn)行求解。答案：解：因?yàn)椋?。根?jù)正弦定理有，又8b=5c，所以。得，則。另解：8b=5c，由正弦定理得： ，得，從而。例題2 （江蘇高考）在中，已知。（1）求證：；（2）若求A的值。思路分析：本題一個(gè)題設(shè)兩個(gè)小問(wèn)，而且第1問(wèn)的結(jié)論對(duì)于第2問(wèn)顯然成立。首先將向量的數(shù)量積表示為三角形的邊角關(guān)系，運(yùn)用正弦定理將邊化為角，第一問(wèn)可以證出。第2問(wèn)的求解，必須解決兩個(gè)角度的問(wèn)題，一是角C與角A、B的關(guān)系，二是余弦與正切的關(guān)系，進(jìn)而嘗

4、試求特殊角A的值。解：（1）證明：因?yàn)?，所以，即，由正弦定理得，知同正，故得。?）解：由得，則，結(jié)合第（1）問(wèn)的結(jié)論，解關(guān)于的方程組消掉tanB，得，因?yàn)?，故?技巧點(diǎn)撥：本題要體會(huì)在三角函數(shù)求值時(shí)取正切的優(yōu)越性，考慮答案的取舍及推理的規(guī)范，善于發(fā)現(xiàn)兩小問(wèn)的聯(lián)系，并能進(jìn)行三角與向量的綜合?！痉椒ㄌ釤挕吭贏BC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，且c=3bcosA，tanC=。 （1）求tanB的值； （2）若，求ABC的面積。思路分析：1. 正弦定理可以靈活實(shí)現(xiàn)邊角的互化，本題顯然是化邊為角。2. 在三角形中，求解三角函數(shù)的值通常需要消掉一個(gè)角（消“元”），消哪一個(gè)角既要有全局意識(shí)，有時(shí)還需要反復(fù)嘗試。本題先消C有利于變形。3. 第2小問(wèn)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)廣義的解三角形問(wèn)題，即已知三個(gè)等量關(guān)系求解三角形。解題時(shí)要充分重視第一問(wèn)的提示功能。答案：解：（1）由正弦定理，得，即。展開(kāi)得，所以。 因?yàn)?，所以?又，由（1）知，解得。（2）由（1），得 ，由正弦定理，得，所以ABC的面積為。技巧點(diǎn)撥：兩角和、差的三角函數(shù)問(wèn)題，正切的運(yùn)算量通常要小于正弦或余弦。【易錯(cuò)警示】在銳角中，則的取值范圍是 。 錯(cuò)解：本題容易想到化邊為角，結(jié)合正弦定理得，由得AC的范圍是（0，2）。錯(cuò)因分析：第一種錯(cuò)誤是沒(méi)有想到運(yùn)用三角函數(shù)的有界性，對(duì)此可適當(dāng)加強(qiáng)解題方法的總結(jié)；第二種錯(cuò)誤