圖形的相似知識點總結及練習

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上相似三角形基本知識點總結及練習 知識點一：比例線段有關概念及性質（1）有關概念1、兩條線段的比：選用同一長度單位量得兩條線段量得AB、CD的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是AB:CDm：n例：已知線段AB=2.5m,線段CD=400cm，求線段AB與CD的比。2.比例線段：四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段。（注意：在求線段比時，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應先化成同一單位，還要注意順序。）例：b,a,d,c是成比例線段，其中a=2cm,b=3cm,c=6c

2、m,求線段d的長度。（2）比例性質1.基本性質: （兩外項的積等于兩內項積）2.反比性質： (把比的前項、后項交換)3.更比性質(交換比例的內項或外項)：4.等比性質：（分子分母分別相加，比值不變.） 如果，那么注意：(1)此性質的證明運用了“設法” ，這種方法是有關比例計算，變形中一種常用方法 (2)應用等比性質時，要考慮到分母是否為零 (3)可利用分式性質將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數，再利用等比性質也成立例：已知5.合比性質：（分子加（減）分母,分母不變）知識點二：平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段成比例。用符號語言表

3、示：AD/BE/CF,ABBC=DEEF,BCAC=EFDF,ABAC=DEDF 2.推論:平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，截得的對應線段成比例。 （1） 是“A”字型（2） 是“8”字型 經常考，關鍵在于找?guī)缀握Z言：由DEBC可得：.此推論較原定理應用更加廣泛,條件是平行.例：如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC,EF/BC,AGGC=23，則DFDC=_。知識點三：相似形多邊形1.定義：各角分別相等、各邊成比列的兩個多邊形叫做相似多邊形。2.相似多邊形的性質：如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊成比例。3.判定：如果兩個多邊形的對應邊成比列，對應角相等，那么這

4、兩個多邊形相似。（注意：判斷兩個多邊形相似時，一要看各個角是否對應相等，二要看各條邊是否對應成比列，這兩個條件缺一不可。）4.任意兩個等邊三角形相似，任意兩個正方形相似，任意兩個正n邊形相似。例1：下列判斷正確的是（ ）A.兩個矩形一定相似 。 B.兩個平行四邊形一定相似。C.兩個正方形一定相似。 D.兩個菱形一定相似。例2：小明將一張報紙對折，發(fā)現對折后的半張報紙與整張報紙相似，你能算出報紙的長與寬的比嗎？知識點四：黃金分割(1) 定義：在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果，即AC2=AB×BC，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與

5、AB的比叫做黃金比。所以：0.618。 例：已知線段AB=10cm,點C是AB的 黃金分割點，且ACBC ，求AC和BC的長。(2）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點C使C是線段AB的黃金分割點.作法：過點B作BDAB，使BD=12AB；連結AD，在DA上截取DE=DB；在AB上截取AC=AE，則點C就是所求作的線段AB的黃金分割點.黃金分割的比值為：.（3）黃金矩形：在矩形中，如果寬與長的比是黃金比，那么這個矩形叫做黃金矩形。（4）黃金三角形：頂角為36。的等腰三角形叫做黃金三角形，因為該三角形的底邊比上腰長等于5-12例：如圖，ABC中，A=36°，AB=AC，BD是角

6、平分線(1)求證：AD2=CD·AC；(2)若AC=a，求AD 知識點五：相似三角形1、 相似三角形（1）定義：三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形相似。幾種特殊三角形的相似關系：兩個全等三角形一定相似（相似比為1）。兩個等腰直角三角形一定相似。兩個等邊三角形一定相似。兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似。（2）性質：兩個相似三角形中，對應角相等、對應邊成比例。（3）相似比：兩個相似三角形的對應邊的比，叫做這兩個三角形的相似比。 如ABC與DEF相似，記作ABC DEF。相似比為k。（4）判定：定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。三角形相似的預備定理：平行于三角

7、形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。 2.三角形相似的判定定理：判定定理1：兩角對應相等的兩個三角形相似。(此定理用的最多)幾何語言：在ABC和DEF中如果<A=<D,<B=<E，那么ABCDEF判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。幾何語言：（如上圖）在ABC和DEF F中如果<A=<D,且ABDE=ACDF，那么ABCDEF判定定理3：三邊對應成比例的兩個三角形相似。幾何語言：（如上圖）在ABC和DEF中如果ABDE=ACDF=BCEF，那么ABCDEF例1：如圖，（1）若_,則ABCAEF；（2）若E_，則ABCAEF

8、。直角三角形相似判定定理:.有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。 3.補充：直角三角形中的相似問題：斜邊的高分直角三角形所成的兩個直角三角形與原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD， AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的計算和證明中有廣泛的應用）.例：如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，(1)求證：AC2=AD·AB；BC2=BD·BA；(2)求證：CD2=AD·AD；(3)求證：AC·BC=AB

9、·CD4.相似圖形中常見的基本圖形：5.相似三角形的性質 相似三角形對應角相等、對應邊成比例. 相似三角形對應高、對應角平分線、對應中線、周長的比都等于相似比(對應邊的比). 相似三角形對應面積的比等于相似比的平方.兩個相似三角形的相似比等于面積比的算術平方根任意兩個相似多邊形的周長比都等于相似比，面積比都等于相似比的平方。例1：已知ABCDEF，BD和EG是它們的對應中線，ACDF=35，EG=10cm，求BD的長。例2：如果兩個相似三角形的面積比為16:25，那么這兩個相似三角形對應邊的比是_。例3：如圖，在ABC中，點D、E分別是AB和AC上的點，DE/BC,AD=3BD,SA

10、BC=48求SADE相似的應用：位似（1）定義：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。需注意：位似是一種具有位置關系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。兩個位似圖形的位似中心只有一個。兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側。位似比就是相似比。（2）性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比（相似比）。位似圖形上任意位似對應點和位似中心在同一條直線上。位似圖形上的對應線段平行或在同一條直線上。位似圖形是特殊的相似圖形，所以它

11、具有相似圖形的一切性質。畫位似圖形的一般步驟： （1）確定位似中心（位似中心可能在圖形內部也可能在圖形外部也可能在圖形 上）（2）確定原圖形的關鍵點（通常是多邊形的頂點）（3）確定位似比 （4）根據位似比，找出新圖形的關鍵點，最后將各點順次連接。坐標變換與圖形的關系：在直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫、縱坐標都乘以同一個數k（k0），所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，他們的相似比為k。例1：下列說法中正確的有（ ）（1）位似多邊形一定是相似多邊形。（2）相似多邊形一定是位似多邊形（3）兩個位似多邊形每一對對應點到位似中心的距離之比為23，則兩個多邊形的面積之比為49。（4）兩

12、個位似多邊形的對應邊互相平行或在同一直線上。例2：若ABC與DEF關于點O位似，其位似比是1:2，AO=5，則對應點A、之間的距離是 。例3：在平面直角坐標系中，已知A(6，3)、B(6，0)兩點，以坐標原點O為位似中心，相似比為13，把線段AB縮短后得到線段A1B1，則A1B1，的長度等于 。歷年中考試題練習一、選擇題1、如圖1,已知AD與BC相交于點O,AB/CD,如果B=40°,D=30°,則AOC的大小為（ ）A.60° B.70° C.80° D.120°BACDEABCDO圖12、如圖，已知D、E分別是的AB、 AC邊上的

13、點，且 那么等于（ ） A1 : 9 B1 : 3 C1 : 8 D1 : 3、如圖，是由經過位似變換得到的，點是位似中心，分別是的中點，則與的面積比是（ ） ABCD 第3題圖 第4題圖4、如上圖，直角梯形ABCD中，BCD90°，ADBC，BCCD，E為梯形內一點，且BEC90°，將BEC繞C點旋轉90°使BC與DC重合，得到DCF，連EF交CD于M已知BC5，CF3，則DM:MC的值為 （）A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:45、如圖，在中，、分別是、邊的中點，若，則等于（ ） A5 B4 第5題 A B C D E AC3 D26、已知，相似比為

14、3，且的周長為18，則的周長為（ ）A2B3C6D547、如圖,RtABC中,ABAC,AB=3,AC=4,P是BC邊上一點,作PEAB于E,PDAC于D,設BP=x,則PD+PE=（ ）A. B. C. D. 8、 如圖，在RtABC內有邊長分別為的三個正方形，則滿足的關系式是（ ）A、 B、 C、 D、EHFGCBA9、如圖，ABC是等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積是ABC的面積的 （ ） 10、下列四個三角形，與左圖中的三角形相似的是（ ）（第10題）ABCD二、填空題1、如圖，兩點分別在的邊上，與不平行，當滿足 條件（寫出一個即可）時， 第3

15、題圖2、如果兩個相似三角形的相似比是，那么這兩個三角形面積的比是 3、如圖，在RtABC中，C為直角，CDAB于點D,BC=3,AB=5,寫出其中的一對相似三角形是 和 ；并寫出它的面積比 . 4、兩個相似三角形的面積比S1:S2與它們對應高之比h1:h2之間的關系為 5、如圖4，已知ABBD，EDBD，C是線段BD的中點，且ACCE，ED=1，BD=4，那么AB= 第9題圖圖9、如圖，要測量A、B兩點間距離，在O點打樁，取OA的中點 C，OB的中點D，測得CD=30米，則AB=_米 11、在同一時刻，身高1.6米的小強在陽光下的影長為0.8米，一棵大樹的影長為4.8米，則樹的高度為_ _米 三、解答題1、如圖，在ABC中，BC>AC， 點D在BC上，且DCAC,ACB的平分線CF交AD于F，點E是AB的中點，連結EF.（1）求證：EFBC.（2）若四邊形BDFE的面積為6，求ABD的面積. 2、如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點M，CG與AD相交