圓錐曲線綜合訓(xùn)練題(分專題-含答案)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓錐曲線綜合訓(xùn)練題一、求軌跡方程：1、（1）已知雙曲線與橢圓：有公共的焦點(diǎn)，并且雙曲線的離心率與橢圓的離心率之比為，求雙曲線的方程（2）以拋物線上的點(diǎn)M與定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段MA的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程（1）解：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為由得設(shè)雙曲線的方程為則 解得 雙曲線的方程為（2）解：設(shè)點(diǎn)，則，代入得：此即為點(diǎn)P的軌跡方程2、（1）的底邊，和兩邊上中線長(zhǎng)之和為30，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡（2）ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求點(diǎn)A的軌跡方程解： （1）以所在的直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，知

2、點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)因，有，故其方程為設(shè)，則 由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點(diǎn)）（2）分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R（R為外接圓半徑），可轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的關(guān)系解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA即 （*）點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點(diǎn)）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求軌跡方程為 （x>3）點(diǎn)評(píng)：要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）3、如圖，兩束光線從點(diǎn)M（-4，1）分別射向直線y= -2上兩點(diǎn)P（x1

3、，y1）和Q（x2，y2）后，反射光線恰好通過橢圓C：（a>b>0）的兩焦點(diǎn)，已知橢圓的離心率為，且x2-x1=，求橢圓C的方程.解：設(shè)a=2k，c=k，k0，則b=k，其橢圓的方程為. 由題設(shè)條件得：， ， x2-x1=， 由、解得：k=1，x1=，x2=-1，所求橢圓C的方程為.4、在面積為1的中，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓方程所求橢圓方程為解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)則即得5、已知點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，0）（1）求線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)POQ的平分線交PQ于點(diǎn)R（O為原點(diǎn)），求點(diǎn)R的軌跡方程解

4、：（1）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（x，y），由Q（4，0）可得點(diǎn)P（2x-4，2y），代入圓的方程x2+y2=4可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求軌跡為（x-2）2+y2=1. （2）設(shè)點(diǎn)R（x，y），P（m，n），由已知|OP|=2，|OQ|=4，由角平分線性質(zhì)可得=，又點(diǎn)R在線段PQ上，|PR|=|RQ|，點(diǎn)R分有向線段PQ的比為，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，即，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，代入圓的方程x2+y2=4可得， 即+y2=（y0）. 點(diǎn)R的軌跡方程為+y2=（y0）.6、已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切.(1) 求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)（0，1），并與軌跡交

5、于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.解：（1）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心， ，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：， 即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線， 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 （2）由題可設(shè)直線的方程為，由得 ， 設(shè)，則， 由，即 ，于是，即， ，解得或（舍去），又， 直線存在，其方程為 7、設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為2.（I）求此雙曲線的漸近線的方程；（II）若A、B分別為上的點(diǎn)，且，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；（III）過點(diǎn)能否作出直線，使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且.若存在，求出直線的方程；若

6、不存在，說明理由.解：（I） ，漸近線方程為4分 （II）設(shè)，AB的中點(diǎn) 則M的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為的橢圓.（9分） （III）假設(shè)存在滿足條件的直線 設(shè) 由（i）（ii）得 k不存在，即不存在滿足條件的直線.8、設(shè)M是橢圓上的一點(diǎn)，P、Q、T分別為M關(guān)于y軸、原點(diǎn)、x軸的對(duì)稱點(diǎn)，N為橢圓C上異于M的另一點(diǎn)，且MNMQ，QN與PT的交點(diǎn)為E，當(dāng)M沿橢圓C運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)則1分 3分 由（1）（2）可得6分又MNMQ，所以直線QN的方程為，又直線PT的方程為從而得所以代入（1）可得此即為所求的軌跡方程.9、已知：直線L過原點(diǎn)，拋物線C 的頂點(diǎn)

7、在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，8）關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法設(shè)出它們的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p>0).設(shè)A、B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)分別為A/、B/，則利用對(duì)稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為：A/（），B/（）。因?yàn)锳/、B/均在拋物線上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直線L的方程為：y=x,拋物線C的方程為y2=x.10、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足（

8、）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；（）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；（）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（）證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為由P在橢圓上，得由，所以 3分證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記則由證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為由橢圓第二定義得，即由，所以3分（）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在QF1F2中，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是7分解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).

9、 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則因此 由得 將代入，可得綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是7分 （）解法一：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是 由得，由得 所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.11分當(dāng)時(shí)，由，得解法二：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是 由得 上式代入得于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.11分當(dāng)時(shí)，記，由知，所以14分11、設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求APB的重心G的軌跡方程；（2）證明PFA=PFB.解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，切線AP的方程為：

10、切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以APB的重心G的坐標(biāo)為 ，所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為： （2）方法1：因?yàn)橛捎赑點(diǎn)在拋物線外，則同理有AFP=PFB.方法2：當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：即所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得AFP=PFB.當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：直線BF的方程：所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.二、中點(diǎn)弦問題：12、已知橢圓，（1）求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡

11、方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決13、橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓C上，且（）求橢

12、圓C的方程；（）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程.解法一：()因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2c2=4,所以橢圓C的方程為1.()設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）. 由圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 從而可設(shè)直線l的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.所以 解得，所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0

13、. (經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意)解法二：()同解法一.()已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 -得因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y1（x+2），即8x9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.14、已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為.（1）求橢圓的方程；（2）直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被點(diǎn) 平分，求直線l 的方程.解：（1）由得即橢圓的方程為（2）易知直線l的斜率一定存在，設(shè)l：設(shè)M（x

14、1, y1），N（x2, y2），由 得x1、x2為上述方程的兩根，則 MN的中點(diǎn)為， ，解得k=3.代入中，直線l：y=3x+3符合要求.15、設(shè)分別是橢圓C：的左右焦點(diǎn)，(1)設(shè)橢圓C上的點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)B的軌跡方程；(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C 上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM ，PN的斜率都存在，并記為  試探究的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論.解：（1）由于點(diǎn)在橢圓上，2=4, 橢圓C的方程為 焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0） ，（1，0）（2）設(shè)的中點(diǎn)為B（x,

15、 y）則點(diǎn) 把K的坐標(biāo)代入橢圓中得線段的中點(diǎn)B的軌跡方程為（3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 設(shè)，得=故：的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時(shí)與直線L無關(guān)16、已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為 ，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為，離心率滿足成等比數(shù)列（）求橢圓的方程；（）是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且線段恰好被直線平分？若存在，求出直線的傾斜角的取值范圍；若不存在，說明理由解 ： ()由題意知，所以設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由橢圓的第二定義得，化簡(jiǎn)得，故所求橢圓方程為 （）設(shè)，中點(diǎn)，依題意有，可得若直線存在，則點(diǎn)必在橢圓內(nèi)，故，解得將代入橢圓方程，有得，故， 所以，則有，解得，故存在直線滿足條件，其

16、傾斜角三、定義與最值：17、已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,1)是一定點(diǎn)（1）求的最小值，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求的最大值和最小值解:(1)由橢圓的第二定義轉(zhuǎn)化知的最小值是，此時(shí)P；(2)依題意，由橢圓的第二定義知18、設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（）求的最大值和最小值;（）求的最大值和最小值解：易知，所以設(shè)P（x, y），則因?yàn)?，故?dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值-2.當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值1.19、若雙曲線過點(diǎn)，其漸近線方程為.（I）求雙曲線的方程;（II）已知，,在雙曲線上求一點(diǎn),使的值最小解：（）（II）,最小

17、值為20、以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的距離之和最小，只須利用對(duì)稱就可解決解：如圖所示，橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，6），直線的方程為解方程組得交點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，4）此時(shí)最小所求橢圓的長(zhǎng)軸：，又，因此，所求橢圓的方程為21、已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離之和為6（）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（）若=3，求PF1F2的面積；（）若已知D(0,3)，M、N在軌跡C上且=l，求實(shí)數(shù)l的

18、取值范圍解：+=1；2；,522、 、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的右準(zhǔn)線，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）當(dāng)時(shí)，求的大??；（3）求的最大值解：（1）（2）因，則（3）設(shè) ，當(dāng)時(shí)，23、已知定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足：.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明方程表示的圖形；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，.，即 .若，則方程為，表示過點(diǎn)且平行于軸的直線.若，則方程為，表示以為圓心，以為半徑的圓.(2)當(dāng)時(shí)，方程化為.又， 令，則當(dāng)時(shí)，的最大值為，當(dāng)時(shí)，最小值為.24、點(diǎn)A、B分別是以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓C長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)

19、P在橢圓C上，且位于x軸上方， （1）求橢圓C的的方程；（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到M的距離d的最小值解（1）已知雙曲線實(shí)半軸a1=4，虛半軸b1=2，半焦距c1=，橢圓的長(zhǎng)半軸a2=c1=6，橢圓的半焦距c2=a1=4，橢圓的短半軸=，所求的橢圓方程為 （2）由已知,，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則由已知得 則，解之得， 由于y>0，所以只能取，于是，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為9分（3）直線，設(shè)點(diǎn)M是，則點(diǎn)M到直線AP的距離是，于是， 又點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上，即 當(dāng)時(shí)，橢圓上的點(diǎn)到的距離 又 當(dāng)時(shí)，d取最小值 25、已知在平面直角坐標(biāo)系

20、中，向量，且 .（I）設(shè)的取值范圍；（II）設(shè)以原點(diǎn)O為中心，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，以F為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)M，且取最小值時(shí)，求橢圓的方程.解：（1）由，得3分 夾角的取值范圍是（）6分（2） 8分10分當(dāng)且僅當(dāng)或 12分橢圓長(zhǎng)軸或故所求橢圓方程為.或 14分26、已知點(diǎn)，一動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓內(nèi)切（）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn)，求點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值；（）在的條件下，設(shè)的面積為（是坐標(biāo)原點(diǎn)，是曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)），以為邊長(zhǎng)的正方形的面積為若正數(shù)滿足，問是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出此最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由解（）設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，已知圓圓心為，由題意知，于是，所以點(diǎn)的軌跡

21、是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，其方程為（）設(shè)，則，令，所以，當(dāng)，即時(shí)在上是減函數(shù)，；當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則；當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，所以， （）當(dāng)時(shí),于是,（12分）若正數(shù)滿足條件，則，即，令，設(shè)，則，于是，所以，當(dāng)，即時(shí)，即，所以，存在最小值27、已知點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=2. 記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.（1）求W的方程；（2）若A、B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值（1）由|PM|-|PN|=2知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長(zhǎng)a=. 又半焦距c=2，故虛半軸長(zhǎng)b= 所以W的方程為，x.（2）設(shè)A、B的坐

22、標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）.當(dāng)ABx軸時(shí)，x1=x2，y1=y2，從而·=x1x2+y1y2=當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，與W的方程聯(lián)立，消去y得（1-k2）x2-2kmx-m2-2=0，故x1+x2=，x1x2=，所以·=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=又因?yàn)閤1x2>0，所以k2-1>0，從而·>2.綜上，當(dāng)ABx軸時(shí)，·取得最小值2.28、一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)直線上一點(diǎn)反射后，恰好穿過點(diǎn)（）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；

23、（）求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓的方程；（）設(shè)直線與橢圓的兩條準(zhǔn)線分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) 到的距離與到橢圓右準(zhǔn)線的距離之比的最小值，并求取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)解：（）設(shè)的坐標(biāo)為，則且2分解得， 因此，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 4分（），根據(jù)橢圓定義，得，5分，所求橢圓方程為 7分（），橢圓的準(zhǔn)線方程為 8分設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,表示點(diǎn)到的距離，表示點(diǎn)到橢圓的右準(zhǔn)線的距離則， 10分令，則在時(shí)取得最小值 13分因此，最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為14分注：的最小值還可以用判別式法、換元法等其它方法求得29、設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn)，直線l為其左準(zhǔn)線，直線l與x軸交于點(diǎn)P，線段MN為橢圓的長(zhǎng)軸，已知：（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)

24、方程；（2）若過點(diǎn)P的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A、B求證：AFM=BFN；（3）求三角形ABF面積的最大值解（1）（文6分，理4分）（2）當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，顯然滿足題意當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)，AB方程為代入橢圓方程整理得則綜上可知：恒有.（9分）（3）當(dāng)且僅當(dāng)（此時(shí)適合0的條件）取得等號(hào).三角形ABF面積的最大值是（13分）四、弦長(zhǎng)及面積：30、已知雙曲線的方程為，設(shè)F1、F2分別是其左、右焦點(diǎn)(1)若斜率為1且過F1 的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)；(2)若P是該雙曲線左支上的一點(diǎn)，且，求的面積S解：（1）AB：，代入并整理得設(shè)則（2）設(shè)，則2在中，由余弦定理有31、已知橢圓

25、及直線（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得 ：解得方程為32、已知長(zhǎng)軸為12，短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)分析：可以利用弦長(zhǎng)公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解因?yàn)?，所以因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為，左焦點(diǎn)，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解

26、由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出33、設(shè)雙曲線方程的半焦距為，直線過兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為（1）求雙曲線的離心率；（2）經(jīng)過該雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為2的直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為15，求雙曲線的方程解：（1） 2分 直線的方程為，即，由原點(diǎn)到直線的距離為得 ，即，4分兩邊同時(shí)除以得，整理得，解得5分 又，故雙曲線的離心率為 6分（2）由（1）知道即，所以設(shè)雙曲線的方程為 又由題意得直線方程為，代入雙曲線方程得 7分，整理得8分記直線與雙曲線的交點(diǎn)

27、為，則有 9分11分所求雙曲線方程為12分34、已知的頂點(diǎn)在橢圓上，在直線上，且（）當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)及的面積；（）當(dāng)，且斜邊的長(zhǎng)最大時(shí)，求所在直線的方程解：（）因?yàn)?，且邊通過點(diǎn)，所以所在直線的方程為設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為由得所以又因?yàn)檫吷系母叩扔谠c(diǎn)到直線的距離所以，（）設(shè)所在直線的方程為，由得因?yàn)樵跈E圓上，所以設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，所以又因?yàn)榈拈L(zhǎng)等于點(diǎn)到直線的距離，即所以當(dāng)時(shí)，邊最長(zhǎng)，（這時(shí)）此時(shí)所在直線的方程為PDCBMNAxyO35、梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，M為CD的中點(diǎn).（）求點(diǎn)M的軌跡方程；（）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)，使，且P點(diǎn)到A、

28、B 的距離和為定值，求點(diǎn)P的軌跡E的方程；（）過的直線與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)，求面積的最大值解：（）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x, y)(x0)，則 又由ACBD有，即，x2+y2=1（x0）. （4分）（）設(shè)P（x, y），則，代入M的軌跡方程有即，P的軌跡為橢圓（除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)）.要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點(diǎn)，故. 從而所求P的軌跡方程為9x2+y2=1(x0). 9分（）易知l的斜率存在，設(shè)方程為 聯(lián)立9x2+y2=1，有 設(shè)P(x1, y1), Q(x2, y2)，則令，則且，所以當(dāng)，即也即時(shí)，面積取最大值，最大值為 14分五、范圍問題:36、直線yax1與雙曲線3x2y

29、21相交于A、B兩點(diǎn)(1) 當(dāng)a為何值時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的同一支上？當(dāng)a為何值時(shí)，A、B兩點(diǎn)分別在雙曲線的兩支上？(2) 當(dāng)a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)？解： 消去y(1) 聯(lián)立 (3a2)x22ax20 顯然a23，否則方程只有一解，于是直線與雙曲線至多一個(gè)交點(diǎn)若交點(diǎn)A、B在雙曲線同支上，則方程滿足：a(，)(，)若A、B分別在雙曲線的兩支上，則有：a(，)(2) 若以AB為直徑的圓過點(diǎn)O，則OAOB，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1x2，x1x2y1y2(ax11)(ax21)a(x1x2)a2x1x21a2·a·11OAOB x1x2y1y20

30、1a±1此時(shí)0，符合要求37、已知圓C：（x-1）2+y2=r2 （r>1），設(shè)M為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過M作圓C的弦MN，并使它的中點(diǎn)P恰好落在y軸上（1）當(dāng)r=2時(shí)，求滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)r（1，+）時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡G的方程；（3）過點(diǎn)P（0，2）的直線l與（2）中軌跡G相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)E、F，若·>0，求直線l的斜率的取值范圍解：(1)由已知得，r=2時(shí)，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為M（-1，0）. 設(shè)P（0，b），則由kCP·kMP=-1（或用勾股定理）得：b2=1. b=±1即點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，±1）.（2）設(shè)N坐標(biāo)為

31、（x，y），由已知得，在圓方程中令y=0，求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-r，0）. 設(shè)P（0，b），則由kCP·kMP=-1（或用勾股定理）得：r=b2+1. 點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，x=r-1=b2，y=2b，又r>1.點(diǎn)N的軌跡方程為y2=4x（x>0）. （3）由題意知直線l的斜率存在且不等于0. 設(shè)直線l的方程為y=kx+2，E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）， x1>0， x2>0. 由， 得k2x2+（4k-4）x+4=0，由=-32k+16>0，得k<且k0. x1+x2=>0，x1x2=>0，得k<1. ·>

32、0，（x1-1）（x2-1）+y1y2>0. （k2+1） x1x2+（2k-1）（x1+x2）+5>0.得k2+12k>0. k>0或k<-12. 0<k<或k<-12.38、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱分析：若設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則已知條件等價(jià)于：(1)直線；(2)弦的中點(diǎn)在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與交于點(diǎn)的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得。于是，即點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點(diǎn)，解得(法2)同解法1

33、得出，即點(diǎn)坐標(biāo)為，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即。又點(diǎn)在直線上，。由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點(diǎn)，關(guān)于直線恒對(duì)稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程(2)利用弦的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，滿足，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式39、已知拋物線y2=2px (p0)上存在關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的相異兩點(diǎn)，求p的取值范圍.分析：解決本題的關(guān)鍵是找到關(guān)于p的不

34、等式。設(shè)拋物線上關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的兩點(diǎn)是M(x1,y1)、N(x2,y2)，設(shè)直線MN的方程為y=x+b.代入拋物線方程，得：x2+(2b-2p)x+b2=0.則x1+x2=2p-2b,y1+y2=( x1+x2)+2b=2p.則MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (p-b,p).因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。又=(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp>0,將b=2p-1代入得:4p2-8p(2p-1)>0,3p2-2p<0.解得：0<p<.40、已知圓.（I）若直線過點(diǎn)，且與圓交于兩點(diǎn)、，=，求直線的方程；（II）過圓上一動(dòng)點(diǎn)作平行于

35、軸的直線，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，若向量，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（）若直線，點(diǎn)A在直線n上，圓上存在點(diǎn)，且(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.解：（）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則此時(shí)直線方程為，滿足題意.若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即 設(shè)圓心到此直線的距離為，則，故所求直線方程為，綜上所述，所求直線為或 （）設(shè)點(diǎn)，則， 即， 又，,由已知，直線m /ox軸，所以，點(diǎn)的軌跡方程是() .（）依題意點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則從而，即，就是，,解得41、已知PAQ頂點(diǎn)P（-3，0），點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)Q在x軸正半軸上，.（1）當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；（2）設(shè)直線l：y=k（x+1）與

36、軌跡E交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D（1，0），若BDC為鈍角，求k的取值范圍.解:（1）=（x，y），=（0，a），=（b，0）（b>0），則=（3，a），=（b，-a），又·=0，a2=3b ，又=（x-b，y），=（b，-a），=2， ，由得y2=4x（x0）. 即M的軌跡的方程為y2=4x，x0.（2）設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2），=（x1-1，y1），=（x2-1，y2），·=|·|cosBDC，BDC為鈍角，cosBDC=，·<0，x1x2-（x1+x2）+1+y1y2<0 .由 消去y，得k2x2+（2k2-4）x+k2=0

37、（k0），則x1+x2=，x1x2=1 ，y1y2=k2（x1+1）（x2+1）= k2x1x2+（x1+x2）+1 ，代入，得k2<<k<（k0），滿足>0. <k<（k0）.42、給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求·的值；（2）設(shè)=，當(dāng)三角形OAB的面積S2，求的取值范圍.（1）根據(jù)拋物線方程y2=4x，可得F（1，0），設(shè)直線l的方程為x=my+1，將其與C的方程聯(lián)立，消去x得y2-4my-4=0，設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）（y1>0>y2）

38、.則y1y2=-4.因?yàn)?，所以x1x2= 故x1x2+y1y2=-3. （2）因?yàn)樗裕?-x1，-y1）=（x2-1，y2）.即，又 ， 由、消去y1，y2后，得x1=2x2，將其代入注意到>0，解得x2=. 從而可得y2=，y1=.故三角形OAB的面積S =|OF|·|y1-y2|=，因?yàn)?恒成立. 所以只要解即可，解得.43、已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線相切，點(diǎn)C在l上. （1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn).（i）問：ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；（ii）當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，求

39、這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.講解 本例主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關(guān)系，是解析幾何中的存在性問題.（1）由曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，知曲線M的方程為.（2）（i）由題意得，直線AB的方程為 消y得于是, A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A，B（3，），(3，)假設(shè)存在點(diǎn)C（1，y），使ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即有 由得因?yàn)椴环?，所以由，組成的方程組無解.故知直線l上不存在點(diǎn)C，使得ABC是正三角形.（ii）設(shè)C（1，y）使ABC成鈍角三角形，由即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，）時(shí)，三點(diǎn)A，B，C共線，故. ， ， . (i) 當(dāng)，即， 即為鈍角.

40、 (ii) 當(dāng)，即， 即為鈍角.(iii)當(dāng)，即， 即. 該不等式無解，所以ACB不可能為鈍角.故當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是.44、在RtABC中，CBA=90°，AB=2，AC=。DOAB于O點(diǎn)，OA=OB，DO=2，曲線E過C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng)，且保持| PA |+| PB |的值不變.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；（2）過D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間，設(shè)， 試確定實(shí)數(shù)的取值范圍講解: （1）建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖所示 . | PA |+| PB |=| CA |+| CB | y C =A O B動(dòng)點(diǎn)P的軌跡

41、是橢圓 . 曲線E的方程是 . （2）設(shè)直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得 設(shè)M1（, 則 i) L與y軸重合時(shí)， ii) L與y軸不重合時(shí)， 由得 又, 或 01 , . 而 , ,的取值范圍是 .45、已知平面上一定點(diǎn)和一定直線為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作垂足為，.(1) 問點(diǎn)在什么曲線上？并求出該曲線方程；（2）點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩點(diǎn)在點(diǎn)的軌跡上，若求的取值范圍解:(1)由,得: ,（2分）設(shè),則,化簡(jiǎn)得: ,（4分）點(diǎn)P在橢圓上,其方程為.（6分）(2)設(shè)、，由得：，所以，、B 、C三點(diǎn)共線.且,得:,即: （8分）因?yàn)?所以 （9分）又因?yàn)?所以 （10分）由-得: ,化簡(jiǎn)得: ,（12分

42、）因?yàn)?所以.解得: 所以的取值范圍為. （1分）六、定值、定點(diǎn)、定直線46、過y2=x上一點(diǎn)A（4，2）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB、AC交拋物線于B、C兩點(diǎn).求證：直線BC的斜率是定值.分析：（1）點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B、C為動(dòng)點(diǎn)，因直線AB、AC的傾斜角互補(bǔ)，所以kAB與kAC相反，故可用“k參數(shù)”法，設(shè)AB的斜率為k，寫出直線AB的方程，將AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，因A為已知交點(diǎn)，則方程有一根已知故用韋達(dá)定理容易解出點(diǎn)B坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)C坐標(biāo)，再求BC斜率。（2）因點(diǎn)B、C在拋物線上移動(dòng)，也可用“點(diǎn)參數(shù)”法，設(shè)B（x1,y1）,C(x2,y2),因x1=y12,x2=y22,即可設(shè)B（y12

43、,y1）,C(y22,y2)。再考慮kAB=-kAC得參數(shù)y1,y2的關(guān)系。解法1：設(shè)AB的斜率為k，則AC的斜率為-k AB：y-2=k(x-4),與y2=x聯(lián)立得： y-2=k(y2-4),即ky2-y-4k+2=0 y=2是此方程的一解，2yB= xB=yB2=B kAC=-k,以-k代替k代入B點(diǎn)坐標(biāo)得C kBC=為定值解法2：設(shè)B（y12,y1）,C(y22,y2)，則kBC= kAB= 由題意，kAB=-kAC 則kBC=為定值。點(diǎn)評(píng)：解法1運(yùn)算量較大，但其方法是一種基本方法，因k的變化而造成了一系列的變化，最終求出BC的斜率為定值；解法2利用點(diǎn)B，C在拋物線上設(shè)點(diǎn)，形成含兩個(gè)參數(shù)

44、y1,y2的問題，用整體思想解題，運(yùn)算量較小。47、已知A，B分別是直線yx和yx上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為2，D是AB的中點(diǎn)（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；（2）若過點(diǎn)(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)P、Q， 當(dāng)|PQ|3時(shí)，求直線l的方程； 設(shè)點(diǎn)E (m，0)是x軸上一點(diǎn)，求當(dāng)·恒為定值時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)及定值解：(1)設(shè)D(x，y)，A(a，a)，B(b，b), D是AB的中點(diǎn)， x，y， |AB|2，(ab)2(ab)212，(2y)2(2x)212點(diǎn)D的軌跡C的方程為x2y23.(2) 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，P(1，)，Q(1，)，此時(shí)|PQ|2，不符合題意；當(dāng)直線l與x軸

45、不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，由于|PQ|3，所以圓心C到直線l的距離為，由，解得k.故直線l的方程為y(x1).當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為yk(x1)，由消去y得(k21)x22k2xk230， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)則由韋達(dá)定理得x1x2，x1x2，則(mx1，y1)，(mx2，y2)，·(mx1)(mx2)y1y2m2m(x1x2)x1x2y1y2m2m(x1x2)x1x2k2(x11)(x21)m2k2 (1)要使上式為定值須1，解得m1，·為定值2，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)P(1，)，Q(1，)，由E(1，0)可得(0，

46、)，(0，)，·2，綜上所述當(dāng)E(1，0)時(shí)，·為定值2.48、垂直于x軸的直線交雙曲線于M、N不同兩點(diǎn)，A1、A2分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，設(shè)直線A1M與A2N交于點(diǎn)P（x0，y0）（）證明：（）過P作斜率為的直線l，原點(diǎn)到直線l的距離為d，求d的最小值.解（）證明：直線A2N的方程為 4分×，得（）10分當(dāng)12分49、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn).（1）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；（2）是否存在垂直y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不

47、存在，說明理由解法一：（1）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0，-p），可設(shè)A（x1, y1），B（x2, y2），直線AB的方程為，與x2=2py聯(lián)立得 消去y得 由韋達(dá)定理得于是當(dāng)k=0時(shí)，NOACByxl（2）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a, AC的中點(diǎn)為，l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P、Q，PQ的中點(diǎn)為H，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 令，得，此時(shí)|PQ|=p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法二：（1）前同解法一，再由弦長(zhǎng)公式得又由點(diǎn)到直線的距離公式得，從而，（2）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為，將直線方程y=a代入得則設(shè)直線l與以A