論文基礎(chǔ)知識(shí)

1、第二章 自適應(yīng)濾波器的基礎(chǔ)知識(shí) 2.1 濾波器的基礎(chǔ)理論 2.1.1 濾波器的基礎(chǔ)理論濾波器是一種對(duì)信號(hào)有處理作用的器件或電路。濾波器主要分為有源濾波器和無(wú)源濾波器。主要作用是讓有用信號(hào)盡可能無(wú)衰減的通過(guò)，對(duì)無(wú)用信號(hào)盡可能大的反射。濾波器一般有兩個(gè)端口，一個(gè)輸入信號(hào)、一個(gè)輸出信號(hào)，利用這個(gè)特性可以選通通過(guò)濾波器的一個(gè)方波群或復(fù)合噪波，而得到一個(gè)特定頻率的正弦波。濾波器的功能就是允許某一部分頻率的信號(hào)順利的通過(guò)，而另外一部分頻率的信號(hào)則受到較大的抑制，它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)選頻電路。2.1.2 自適應(yīng)濾波器的基礎(chǔ)理論自適應(yīng)濾波器概述 一般情況下，不改變自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)。而自適應(yīng)濾波器的系數(shù)是由自適應(yīng)算

2、法更新的時(shí)變系數(shù)。即其系數(shù)自動(dòng)連續(xù)地適應(yīng)于給定信號(hào)，以獲得期望響應(yīng)。自適應(yīng)濾波可以不必事先給定信號(hào)及噪聲的自相關(guān)函數(shù),它可以利用前一時(shí)刻已獲得的濾波器參數(shù)自動(dòng)地調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻的濾波器參數(shù)使得濾波器輸出和未知的輸入之間的均方誤差最小化,從而它可以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。 自適應(yīng)濾波器數(shù)學(xué)原理以輸入和輸出信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性的估計(jì)為依據(jù)，采取特定算法自動(dòng)地調(diào)整濾波器系數(shù)，使其達(dá)到最佳濾波特性的一種算法或裝置。自適應(yīng)濾波器可以是連續(xù)域的或是離散域的。離散域自適應(yīng)濾波器由一組抽頭延遲線、可變加權(quán)系數(shù)和自動(dòng)調(diào)整系數(shù)的機(jī)構(gòu)組成。附圖表示一個(gè)離散域自適應(yīng)濾波器用于模擬未知離散系統(tǒng)的信號(hào)流圖。自適應(yīng)濾波器對(duì)輸入信號(hào)序列x(n)的

3、每一個(gè)樣值，按特定的算法，更新、調(diào)整加權(quán)系數(shù)，使輸出信號(hào)序列y(n)與期望輸出信號(hào)序列d(n)相比較的均方誤差為最小，即輸出信號(hào)序列y(n)逼近期望信號(hào)序列d(n)。 自適應(yīng)濾波器 2.2 兩種典型的自適應(yīng)濾波器2.2.1 LMS自適應(yīng)濾波器： 最小均方誤差（LMS）算法具有計(jì)算量小，抑郁實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，因此，在實(shí)踐中被廣泛的運(yùn)用。LMS算法的基本思想是調(diào)整濾波器的自身參數(shù)，使濾波器的輸出信號(hào)與期望輸出信號(hào)之間的均方誤差最小，并使系統(tǒng)輸出為有用信號(hào)的最佳估計(jì)。實(shí)質(zhì)上，LMS可以看成是隨機(jī)梯度或者隨即逼近算法，可以完成如下估計(jì)迭代式： 記數(shù)字濾波器脈沖響應(yīng)為： h(k)=h0(k) h1(k) hn

4、-1(k)T 輸入采樣信號(hào)為： x(k)=x(k) x(k-1) x(k-n-1) 誤差信號(hào)為： 優(yōu)化過(guò)程就是最小化性能指標(biāo)J(k),它是誤差的平方和： 求使J(k)最小的系數(shù)向量h(k),即使J(k)對(duì)h(k)的導(dǎo)數(shù)為零，也就是。把J(k)的表達(dá)式代入，得： 和 由此得出濾波器系數(shù)的最優(yōu)向量： 這個(gè)表達(dá)式由輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣和輸入信號(hào)與參考信號(hào)的相關(guān)矩陣組成，如下所示，維數(shù)都為（n,n）: 系數(shù)最優(yōu)向量也可以寫成如下形式： 自相關(guān)和互相關(guān)矩陣的遞歸表達(dá)式如下： 把的遞歸表達(dá)式代入系數(shù)向量表達(dá)式，得： 即 考慮到 可以記 用前面得到的表達(dá)式求出，并代入上式： 或 則濾波器系數(shù)的遞歸關(guān)系式可以記

5、作 其中 e(k)表示先驗(yàn)誤差。只因?yàn)樗怯汕耙粋€(gè)采樣時(shí)刻的系數(shù)算出的，在實(shí)際中，很多時(shí)候由于h(k)計(jì)算的復(fù)雜度而不能應(yīng)用于實(shí)時(shí)控制。用,I代換，其中：為自適應(yīng)梯度，I為辨識(shí)矩陣（n，n）這時(shí) 這時(shí)就是一個(gè)最小均方準(zhǔn)則問(wèn)題。 2.2.1 RLS自適應(yīng)濾波器： 遞歸最小二乘（RLS）自適應(yīng) 濾波器 最小二乘（LS）法是一種典型的根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)推斷未知參量的數(shù)據(jù)處理方法，其基本思想是是觀測(cè)值與計(jì)算值之差的平方乘和最小。自1795年由著名數(shù)學(xué)家高斯提出以來(lái)，LS法在很多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)運(yùn)，并成為系統(tǒng)辨識(shí),參數(shù)估計(jì)和自適應(yīng)信號(hào)處理等領(lǐng)域的基本算法之一。 RLS算法自適應(yīng)系統(tǒng)性能的準(zhǔn)則：我們可以直接

6、考察一個(gè)由平穩(wěn)信號(hào)輸入的自適應(yīng)系統(tǒng)在一段時(shí)間內(nèi)輸出誤差信號(hào)的平均功率（在時(shí)間上的平均）。例如，以使該平均功率到達(dá)最小值作為測(cè)量自適應(yīng)系統(tǒng)性能的準(zhǔn)則。 線性最小二乘原理設(shè)線性組合系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下： X0(n) X1(n) X2(n) ··· XM(n) W0(n) W1(n) W2(n) ··· WM(n) y(n) - + e(n) ··· ( 圖示線性組合器件結(jié)構(gòu)圖現(xiàn)在的問(wèn)題是利用線性組合器來(lái)估計(jì)期望響應(yīng)為y(n): (n) =k(n)xk(n)= (n)x(n)定義上式的誤差估計(jì)為： e(n)=y(n

7、)- (n) =y(n)-誤差e(n)的平方和為 E=2設(shè)系數(shù)矢量在整個(gè)測(cè)量期間保持恒定，即線性時(shí)不變系統(tǒng)，則當(dāng)平方誤差最小時(shí)所得到的系統(tǒng)矢量的系數(shù)矢量為L(zhǎng)S準(zhǔn)則下估計(jì)期望響應(yīng)y(n)的最佳矢量wls。在上面各式中，w(n)又稱回歸矢量，e(n)成為殘差。式（2.4.2）所示的回歸方程可以寫成矢量形式為 e=y-Xw式，e,y分別為N*1階矩陣，X為N*M階矩陣，w=w1 w1wM為線性組合器的參數(shù)矢量。利用矢量形式的回歸方程，誤差信號(hào)的能量可以寫為 E=eTe=(yT-wTXT)(y-Xw) =yTy-wTXTy-yTXw+wTXTXw =Ey-wT-Tw+wTw其中， Ey=yTy=2 =XTX=xT(n) =XTy=y(n) 顯然，LS算法的最小均方誤差（MMSE）方法都是基于二次代價(jià)函數(shù)的，如果用時(shí)間平均算子替代期望算子E·，則兩者的到處公式是一