課題等和數(shù)列與等積數(shù)列的通項(xiàng)公式

1、課題：等和數(shù)列與等積數(shù)列及其通項(xiàng)公式的求法授課教師：奉賢區(qū)曙光中學(xué) 陶慰樹教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)目標(biāo) 復(fù)習(xí)鞏固等差數(shù)列，等比數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式等知識(shí)，掌握由遞推公式求一類數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。 2、能力目標(biāo) 使學(xué)生逐步領(lǐng)悟化歸等數(shù)學(xué)思想，滲透聯(lián)想、類比等研究策略，提高學(xué)生探究問題的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。 3、情感目標(biāo) 培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、鍥而不舍的精神。通過問題的自我解決來增強(qiáng)學(xué)生的自信心。創(chuàng)設(shè)愉快、輕松的教學(xué)氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情。教學(xué)重點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生類比推廣、探究創(chuàng)新的能力。教學(xué)難點(diǎn)：滲透化歸的數(shù)學(xué)思想方法將一類數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列。教學(xué)方法：探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)方法。學(xué)法指導(dǎo)：1、引導(dǎo)

2、學(xué)生運(yùn)用聯(lián)想、類比的方式發(fā)現(xiàn)問題，并能探究解決問題的方法。2、開放地對(duì)同一問題從不同角度去理解分析，并辨證地尋求質(zhì)的統(tǒng)一。教學(xué)過程：一、引出問題問題1：“請(qǐng)說出等差數(shù)列的定義和它的遞推公式與通項(xiàng)公式?！眴栴}2：“請(qǐng)說出等比數(shù)列的定義和它的遞推公式與通項(xiàng)公式?！保▽W(xué)生回答，教師板書）?！拔覀兪欠癜l(fā)現(xiàn)這里等比數(shù)列的定義其實(shí)是將等差數(shù)列中后項(xiàng)與前項(xiàng)的差的運(yùn)算替換為商的運(yùn)算。那是否還可以替換為其他的運(yùn)算呢？這樣得到的又是怎樣的數(shù)列呢？”（讓學(xué)生類比、猜想，經(jīng)過交流討論，由學(xué)生講出等和數(shù)列與等積數(shù)列的名稱并舉例驗(yàn)證其存在，讓學(xué)生自己給出等和數(shù)列、等積數(shù)列的定義）。二、類比創(chuàng)新1、 等和數(shù)列：如果數(shù)列從第

3、2項(xiàng)起的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和為定值，則此數(shù)列為等和數(shù)列。它的遞推公式為： （為常數(shù)）。2、 等積數(shù)列：如果數(shù)列從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的積為定值，則此數(shù)列為等積數(shù)列。它的遞推公式為： （為常數(shù)）問：“這樣的數(shù)列是否存在？如存在的請(qǐng)舉出具體的例子。”不妨設(shè)學(xué)生舉的例子為：（1） 與（2）。（具體課堂教學(xué)以學(xué)生的舉例為例題）討論：“如果這里、的取一些特殊值，則等和數(shù)列與等積數(shù)列會(huì)有怎樣的變化？”教師問：“能否求出這兩種新數(shù)列，的通項(xiàng)公式？”三、探索研究我們先一起研究等和數(shù)列。例1、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。學(xué)生可能會(huì)根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，尋找特殊規(guī)律，利用歸納、猜測(cè)的思想得到數(shù)列的一

4、個(gè)通項(xiàng)公式為 。此時(shí)學(xué)生會(huì)沉浸在探索、創(chuàng)新“成功”的喜悅中，教師再問：“是否還有其他方法求此數(shù)列的這的通項(xiàng)公式呢？”一石激起千層浪，學(xué)生再一次陷入思索之中。四、反思發(fā)散在研究等和數(shù)列的通項(xiàng)公式過程中，類比等差數(shù)列與等比數(shù)列遞推公式的特征，讓學(xué)生探索“是否能通過構(gòu)造一個(gè)與有關(guān)的新數(shù)列，使其具有等差數(shù)列或等比數(shù)列的遞推公式形式進(jìn)行求解”。學(xué)生可能的思路有以下兩種：方法二：，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以。方法三：，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以。例2、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（讓學(xué)生類比例1完成）學(xué)生根據(jù)前面的解題經(jīng)驗(yàn)，可能會(huì)有以下幾種思路方法：方法一：利用歸納、猜測(cè)

5、的方法得 。方法二：由知，所以有，即，數(shù)列為等和數(shù)列，利用上面的方法求解。方法三：由可知兩式相比得，即，所以，數(shù)列也是一個(gè)等和數(shù)列，利用上面的方法求解。思考：1、等積數(shù)列能轉(zhuǎn)化為等和數(shù)列，那么這四種數(shù)列之間存在著怎樣的轉(zhuǎn)化關(guān)系？ 2、你能舉出幾種在求解數(shù)列的通項(xiàng)公式中構(gòu)造新數(shù)列的方法嗎？（由學(xué)生討論、交流后教師歸納小結(jié)）五、推廣發(fā)展對(duì)于等差數(shù)列與等和數(shù)列的遞推公式都可以寫成：的形式，而等比數(shù)列與等積數(shù)列的遞推公式都可以寫成：的形式。讓學(xué)生思考此類數(shù)列的通項(xiàng)公式求解策略。六、課堂小結(jié)針對(duì)學(xué)生落實(shí)情況，在教師的引導(dǎo)下讓學(xué)生通過自己的理解從以下幾個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)：（1） 知識(shí)上由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式常用的方法；（2） 數(shù)學(xué)思想上滲透了化歸思想、特殊到一般思想、辨證統(tǒng)一的思想；（3） 能力上許多知識(shí)可以將結(jié)論進(jìn)行推廣，常用的策略有類比推廣、特殊到一般的推廣等。七、布置作業(yè)（一）必做題 1、根據(jù)下列數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，；（多種方法）； 2、某地僅有兩種不同牌號(hào)的洗衣粉供應(yīng)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)凡是購買甲洗衣粉的人下一次會(huì)有20%改買乙洗衣粉，而購買乙洗衣粉的人下一次會(huì)有30%改買甲洗衣粉。若用，分別表示第次購買甲、乙洗衣粉的比例。設(shè)第一次購買時(shí)比例恰好相等，即，試求與的通項(xiàng)公式，并指出當(dāng)購買次數(shù)越來越多時(shí)，這兩種牌號(hào)洗衣粉的市場(chǎng)占有率將發(fā)