購房貸款的數(shù)學(xué)建模

1、數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計題目：購房貸款比較問題 班 級：15級初等教育（理）姓 名:尹天予 學(xué) 號：20154301043關(guān)于購房貸款的數(shù)學(xué)模型 摘要: 近幾年，我國經(jīng)濟快速發(fā)展，社會傳統(tǒng)的房屋買賣方式受到較大沖擊而日趨縮萎，取而代之的是銀行按揭貸款買房成為新的購房趨勢，并日漸盛行。這對現(xiàn)在社會的消費及生活所產(chǎn)生的積極意義與便利是不容抹殺。目前銀行提供的貸款期限在一年以上的房屋貸款還款方式一般有等額本息法,等額本金遞減法，等額遞增還款法，等額遞減還款法，等比遞增還款法，等比遞減還款法。而對這些貸款還款方式，如何根據(jù)自己的現(xiàn)在及預(yù)期未來的收入情況，作出一個合理的還款方案，是每個打算貸款買房的人必須認真考

2、慮的。本文根據(jù)銀行購房貸款和我們的日常常識，建立數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出月均還款總額、還款總額和利息負擔(dān)總和的公式。并以一筆40萬元、10年的房貸為例，利用已求出的公式，計算出10年內(nèi)月均還款額和所花費的本息總額，制成圖表，將等額本息還款法和等額本金還款法兩種還款方式作一次比較。最后得出結(jié)論，等額本息還款法的月還款數(shù)不變，還款壓力均衡，可以有計劃地控制家庭收入的支出，也便于每個家庭根據(jù)自己的收入情況，確定還貸能力，但需多付些利息，所以適合收入不是很高的，經(jīng)濟條件不允許前期還款投入過大沒有打算提前還款的收入處于穩(wěn)定狀態(tài)的人群。而等額本金還款法，由于貸款人本金歸還得快，利息就可以少付，還款總額比較少，并且

3、隨著時間的推移每月還款數(shù)越來越少，但前期還款額度大，因此適合當前收入較高者，有一定的經(jīng)濟基礎(chǔ)，能承擔(dān)前期較大還款能力，且有提前還款計劃的人，這種方式對準備提前還款的人較為有利。關(guān)鍵詞：貸款；等額本息；等額本金；月均還款總額1.問題的提出某人購房，需要貸款，有等額本息還款法和等額本金還款法兩種還款方式。貸款40年，還款期10年，分別求：（1）月供金額。（2）總的支付利息。比較兩種還款法，給出自己的方案。2.問題的分析目前有兩種還款方式。等額本息還款法：每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清，容易作出預(yù)算。還款初期利息占每月供款的大部分，隨本金逐漸返，還供款中本金比重增加。等額本息還款法更

4、適用于現(xiàn)期收入少，預(yù)期收入將穩(wěn)定或增加的借款人，或預(yù)算清晰的人士和收入穩(wěn)定的人士。而等額本金還款法：每期還給銀行相等的本金，但客戶每月的利息負擔(dān)就會不同. 利息負擔(dān)應(yīng)該是隨本金逐期遞減。借款人在開始還貸時，每月負擔(dān)比等額本息要重。但隨著時間推移，還款負擔(dān)便會減輕。所以我們可知等額本金還款法適合目前收入較高的人群。假設(shè)小李夫婦能夠支付這兩種不同的還款方式，我們需要幫助他建立等額本息和等額本金還款法的數(shù)學(xué)模型，以選擇最佳還款方式。根據(jù)問題一和問題二，需分別建立兩種還款方式的模型，并分別求出其月供金額和總的支付利息。3.問題的假設(shè)為了使問題更加明了清晰，便于計算，同時便于擴展因此特作如下假設(shè)：1.假

5、設(shè)該人每月能夠按時支付房屋貸款所需的還款金額。2.假設(shè)貸款年利率確定，無論還款期為多少年，在還款期間均為6%保持不變。3.假設(shè)銀行貸給該人的本金是在某個月的1號一次到位的，在本金到位后的下個月1號開始還錢。4.問題的參數(shù)問題參數(shù)約定如下：A : 客戶向銀行貸款的本金B(yǎng) : 客戶平均每期應(yīng)還的本金C : 客戶應(yīng)向銀行還款的總額D : 客戶的利息負擔(dān)總和: 客戶向銀行貸款的月利率: 客戶向銀行貸款的年利率m : 貸款期n : 客戶總的還款期數(shù)根據(jù)我們的日常生活常識，我們可以得到下面的關(guān)系：（1） （2） （3） 5.模型的建立與求解5.1等額本息還款模型的求解:（1）貸款期在1年以上：先假設(shè)銀行貸

6、給客戶的本金是在某個月的1號一次到位的. 在本金到位后的下個月1號開始還錢，且設(shè)在還款期內(nèi)年利率不變. 因為一年的年利率是，那么，平均到一個月就是（/12），也就是月利率， 即有關(guān)系式：設(shè)月均還款總額是x （元）（i=1n）是客戶在第i期1號還款前還欠銀行的金額 (i=1n) 是客戶在第i期1 號還錢后欠銀行的金額. 根據(jù)上面的分析，有第1期還款前欠銀行的金額：第1期還款后欠銀行的金額： 第2期還款前欠銀行的金額： 第2期還款后欠銀行的金額： 第i期還款前欠銀行的金額：第i期還款后欠銀行的金額： 第n期還款前欠銀行的金額：第n期還款后欠銀行的金額：因為第n期還款后，客戶欠銀行的金額就還清. 也

7、就是說：，即： 解方程得：這就是月均還款總額的公式. 因此，客戶總的還款總額就等于：利息負擔(dān)總和等于：（2） 1年期的貸款，銀行一般都是要求客戶實行到期一次還本付息，利隨本清. 因此，1年期的還款總額為：而利息負擔(dān)總和為：5.2 等額本金還款模型的求解銀行除了向客戶介紹上面的等額本息還款法外，還介紹另一種還款方法：等額本金還款法（遞減法）：每期還給銀行相等的本金，但客戶每月的利息負擔(dān)就會不同. 利息負擔(dān)應(yīng)該是隨本金逐期遞減. 因此，客戶每月除付給銀行每期應(yīng)付的本金外，還要付給銀行沒還的本金的利息. (1)假設(shè)貸款期在1年以上. 等額本金還款法：每期還給銀行相等的本金，但客戶每月的利息負擔(dān)不同。

8、利息負擔(dān)隨本金的償還逐期遞減。所以客戶每期應(yīng)付金額中包含固定本金和一定利息。設(shè)客戶第i期應(yīng)付的金額為 ( i = 1，2 ,n ) (單位：元)因此，客戶第一期應(yīng)付的金額為 ： 第二期應(yīng)付的金額為 ：計算一下，如果選擇等額本金還款法，那么，在第53期，應(yīng)該還銀行4450.00元，在第53期，應(yīng)該還銀行4433.33元，與等額本息每月4440.82元相當. 而在第120期（若年利率不變），應(yīng)該還銀行3333.33元，即最后一次只還本金。可以看出，等額本金還款法的還款金額是逐級遞減的。而且對于每月4440元的收入，等額本息還款法還款會更合適. 那么，客戶第n期應(yīng)付的金額為 ：累計應(yīng)付的還款總額為

9、： 利息負擔(dān)總和為 ： （2）1年期的貸款，銀行都要求客戶實行到期一次還本付息，利隨本清. 因此，1年期的還款總額為：而利息負擔(dān)總和為： 6.結(jié)果分析與檢驗6.1舉例說明以向銀行貸款40萬買房子，10年還款期為例. 比較等額本息和等額本金兩種還款方法：(1)等額本息：利用上文模型求解得的公式可知總的還款期數(shù) n=12m=12×10=120客戶向銀行貸款的月利率 =/12=0.5%月供金額（月均還款總額） （單位：元）客戶總的還款總額就等于： 利息負擔(dān)總和等于： (2)等額本金：月供金額（客戶第n期應(yīng)付的金額）客戶每期應(yīng)還的本金 所以月供金額如下： =5316.66 =5300.00

10、=5283.33 =4450.00 =4433.33 =3333.33累計應(yīng)付的還款總額為 ： =519000.00利息負擔(dān)總和為 ： =119000.00計算貸款40萬的兩種還款方式所得各項數(shù)據(jù)對比如下表：（年利率為6% 來計算 （單位：元）貸款期限（年）年利率（%）還款總額利息負擔(dān)總和月均還款總額10（等額本息）6532898.41132898.414440.8210（等額本金）6519000.00119000.005313.66（第1期）比較（相差）-13898.4113898.41-雖然等額本金還款法比等額本息還款法要還更少的錢，但開頭的幾期或幾十期的負擔(dān)相對的會很重. 而等額本息還款

11、法是每月還銀行相等的金額，客戶的負擔(dān)沒那么大，所以，銀行一般都推薦等額本息還款法. 考慮到當前的利率情況，如提前還貸，應(yīng)選擇等額本金還款法。6.2其他還款方式銀行推出不同的房貸方式，只是為了滿足收入情況不同的各種借款人的需要。雖然理論上總還款額比較少的比較核算，實際生活中要看是否適合自己的經(jīng)濟狀況。選擇還款方式的關(guān)鍵是要與自己的收入趨勢相匹配，盡量使收入曲線和供款相一致。在有還貸能力情況下盡量選擇總還款額比較少。等額本金還款:適合目前收入較高的人群。借款人在開始還貸時，每月負擔(dān)比等額本息要重。隨著時間推移，還款負擔(dān)便會逐漸減輕。這種還款方式相對同樣期限的等額本息法，總的利息支出較低。等額本息還

12、款法的特點是每個月歸還一樣的本息和，容易作出預(yù)算。還款初期利息占每月供款的大部分，隨本金逐漸返還供款中本金比重增加。等額本息還款法更適用于現(xiàn)期收入少，預(yù)期收入將穩(wěn)定或增加的借款人，或預(yù)算清晰的人士和收入穩(wěn)定的人士，固定利率:進入加息周期較合算目前國內(nèi)借款人與銀行已簽訂的房貸合同都是浮動利率的，央行每一次加息，借款人的月供就要有相應(yīng)地增加。在貸款合同簽訂時，即設(shè)定好固定的利率，不論貸款期內(nèi)利率如何變動，借款人都按照固定的利率支付利息，但風(fēng)險較大。按期付息還本:適合房產(chǎn)投資客，借款人通過和銀行協(xié)商，為貸款本金和利息歸還制訂不同還款時間單位。即自主決定按月、季度或年等時間間隔還款。實際上，就是借款人

13、按照不同財務(wù)狀況，把每個月要還的錢湊成幾個月一起還。還可以有遞增法，氣球貸等等，核心都是根據(jù)貸款人經(jīng)濟實力制定不同時期的本金和利息的還款額，理論上占用時間越少越省錢。7 .模型的優(yōu)缺點與改進方向數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并"解決"實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段。它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現(xiàn)實問題深入細微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識。建立教學(xué)模型的過程，是把錯

14、綜復(fù)雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題。數(shù)學(xué)建模是解決實際問題的一個很好的工具或方法，但其是通過抽象、簡化建立能近似刻畫并"解決"實際問題，也不可避免地在解決問題時有一些不足之處。1、模型的優(yōu)點：（1）采用的數(shù)學(xué)模型有成熟的理論基礎(chǔ)，可信度較高。（2）本文建立離的模型有相應(yīng)的軟件支持，推光容易。（3）本文建立的模型與實際緊密聯(lián)系，考慮現(xiàn)實情況的多樣性，從而使模型更貼近實際，更實用。（4）本文用數(shù)學(xué)工具，嚴密對模型求解，具有科學(xué)性。（5）為了更貼近實際，在靜態(tài)模型的的基礎(chǔ)上，考慮未來現(xiàn)金折現(xiàn)對模型進行改進，加以驗證。（6）借助圖表，比較形象直觀，從多方面對結(jié)果進行驗證。2、模型缺點：（1）模型復(fù)雜因素較多，不能對其進行全面考慮。（2）利率的精確度不同可能造成一