二面角求解方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二面角的作與求 求角是每年高考必考內(nèi)容之一，可以做為選擇題，也可作為填空題，時(shí)常作為解答題形式出現(xiàn)，重點(diǎn)把握好二面角，它一般出現(xiàn)在解答題中。下面就對(duì)求二面角的方法總結(jié)如下：1、定義法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。2、三垂線定理及逆定理法：自二面角的一個(gè)面上的一點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)。斜足與面上一點(diǎn)連線，和斜足與垂足連線所夾的角即為二面角的平面角。3、作棱的垂面法:自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角的兩條射線所成的角就是二面角的平面角。4、投影法：利用s投影面=s被投影面這個(gè)公式對(duì)于

2、斜面三角形，任意多邊形都成立，是求二面角的好方法。尤其對(duì)無棱問題5異面直線距離法：EF2=m2+n2+d22mnPCBAE例1：若p是所在平面外一點(diǎn)，而和都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA=,求二面角P-BC-A的大小。分析：由于這兩個(gè)三角形是全等的三角形，故采用定義法解：取BC的中點(diǎn)E，連接AE、PEAC=AB，PB=PCAE BC，PE BC為二面角P-BC-A的平面角在中AE=PE=，PA=900二面角P-BC-A的平面角為900。例2：已知是正三角形，平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。 思維二面角的大小是由二面角的平面角來度量的，本題可利用三垂線定理（逆）來作平面角，還

3、可以用射影面積公式或異面直線上兩點(diǎn)EPCBAF間距離公式求二面角的平面角。解1：（三垂線定理法）取AC的中點(diǎn)E，連接BE，過E做EFPC,連接BF 平面ABC，PA平面PAC平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC圖1BE平面PAC由三垂線定理知BFPC為二面角A-PC-B的平面角設(shè)PA=1,E為AC的中點(diǎn)，BE=,EF=tan=arctan解2：（三垂線定理法）PCBAEFM取BC的中點(diǎn)E，連接AE，PE過A做AFPE, FMPC,連接FMAB=AC,PB=PCAEBC,PEBCBC平面PAE,BC平面PBC圖2平面PAE平面PBC, 平面PAE平面PBC=PE由三垂線定理知AMP

4、C為二面角A-PC-B的平面角設(shè)PA=1，AM=,AF=sin=PCBAE=argsin解3：（投影法）過B作BEAC于E,連結(jié)PE 平面ABC，PA平面PAC圖3平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=ACBE平面PAC是在平面PAC上的射影設(shè)PA=1,則PB=PC=,AB=1,由射影面積公式得，,解4：（異面直線距離法）EPCBAD過A作ADPC,BEPC交PC分別于D、E設(shè)PA=1,則AD=,PB=PC=圖4BE=,CE=,DE=由異面直線兩點(diǎn)間距離公式得AB2=AD2+BE2+DE2-2ADBE,=點(diǎn)評(píng)本題給出了求平面角的幾種方法，應(yīng)很好掌握。例3：二面角的大小為，A是它內(nèi)部的一

5、點(diǎn)，AB，AC,B、C為垂足。（1） 求證：平面ABC,平面ABC（2） 當(dāng)AB=4cm,AC=6cm時(shí)求BC的長(zhǎng)及A到EF的距離。分析：本題采用作棱的垂面法找二面角的平面角ABCD解：（1）設(shè)過 ABC的平面交平面于BD,交平面于CDAB,AB平面ABC平面ABC,同理平面ABC（2）ABABEF同理ACEFEF平面ABDCBDEF, CD EF=BC=cm有正弦定理得點(diǎn)A到EF的距離為：d=cm 二面角的求法一、復(fù)習(xí)引入：1、什么是二面角及其平面角？范圍是什么？從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所成的圖形叫做二面角，記作：二面角l。以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，

6、這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。范圍： 2、二面角出現(xiàn)的狀態(tài)形式有哪些？ 豎立式 橫臥式2、二面角的類型及基本方法（1）四種常規(guī)幾何作求法定義法 垂面法； 三垂線法； 射影面積法=S射影多邊形/S多邊形（2）向量法：設(shè)和分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量 、的夾角為，如圖： 結(jié)論：設(shè)和分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量 、的夾角為，則有或 結(jié)論：一般地，若設(shè)分別是平面的法向量，則平面與平面所成的二面角的計(jì)算公式是： 或 ，其中銳角、鈍角根據(jù)圖形確定。二、例題講解：以錐體為載體，對(duì)求角的問題進(jìn)行研究例1、如圖,在底面是一直角梯形的四棱錐S-ABCD中， ADBC,ABC=90&

7、#176;，SA平面AC，SA=AB=BC=1，AD= .求面SCD與面SAB所成的角的大小。解法1：可用射影面積法來求，這里只要求出SSCD與SSAB即可，圖1SDCBA故所求的二面角應(yīng)滿足= = 。點(diǎn)評(píng)：（1）若利用射影面積法求二面角的大小，作為解答題，高考中是要扣分的，因?yàn)樗皇嵌ɡ?（2）由學(xué)生討論解決，教師根據(jù)學(xué)生的解答情況進(jìn)行引導(dǎo)、明確學(xué)生的解答。解法2：（三垂線定理法）解：延長(zhǎng)CD、BA交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，SE即平面CSD與平面BSA的交線.又DA平面SAB，過A點(diǎn)作SE的垂線交于F.如圖.ABCDESADBC且ADBC ADEBCE EAABSA又SAAE SAE為等腰直角三角

8、形，F(xiàn)為中點(diǎn)， 又DA平面SAE，AFSE由三垂線定理得DFSEDFA為二面角的平面角,tanDFA即所求二面角的正切值.評(píng)注：常規(guī)法求解步驟：一作：作出或找出相應(yīng)空間角；二證：通過簡(jiǎn)單的判斷或推理得到相應(yīng)角；三求：通過計(jì)算求出相應(yīng)的角。點(diǎn)評(píng)：是利用三垂線的定理及其逆定理來證明線線垂直，來找到二面角的平面角的方法。這種方法關(guān)鍵是找垂直于二面角的面的垂線。此方法是屬于較常用的。總之，在運(yùn)用三垂線找平面角時(shí)，找垂線注意應(yīng)用已知的條件和有關(guān)垂直的判定和性質(zhì)定理，按三垂線的條件，一垂線垂直二面角的一個(gè)面，還有垂直于棱的一條垂線。且兩垂線相交，交點(diǎn)在二面角的面內(nèi)。解法3：（向量法）解：如圖，建立空間直角

9、坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，1，0)，D(0，0)，S(0，0，1)，易知平面SAB的法向量為=(0，0)；設(shè)平面SDC的法向量為=(x，y，z)，而=(-1，0)，=(0， 1)，面SDC，n1.SDCBA得令得：。即=(1，2，1)面SAB與面SCD所成角的二面角為銳角，=arccos.故面SCD與面SBA所成的角大小為arccos.點(diǎn)評(píng)：通過此例可以看出：求二面角大?。臻g面面角等于二面角或其補(bǔ)角）的常規(guī)方法是構(gòu)造三角形求解，其關(guān)鍵又是作出二面角的平面角，往往很不簡(jiǎn)單。利用建立空間直角坐標(biāo)系，避開了“作、證”兩個(gè)基本步驟，通過求兩個(gè)平面法向量的夾角來達(dá)到解決問

10、題的目的，解題過程實(shí)現(xiàn)了程序化，是一種有效方法。搭建平臺(tái)，自主交流，數(shù)形結(jié)合，掃清了學(xué)生的思維障礙，更好地突破了教學(xué)的重難點(diǎn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美，一題多解是訓(xùn)練學(xué)生思維的有效形式。以柱體為載體，對(duì)求角的問題進(jìn)行研究例2、已知D、E分別是正三棱柱ABC一A1B1C1的側(cè)棱AA1和BB1上的點(diǎn)，且A1D=2B1E=B1C1.求過D、E、C1的平面與棱柱的下底面所成二面角的大小.（幾何法）解：在平面M1B1B內(nèi)延長(zhǎng)DE和A1B1交于F，則F是面DEF與面A1B1C1的公共點(diǎn)，C1也是這兩個(gè)面的公共點(diǎn)，連結(jié)C1F，C1F為這兩個(gè)面的交線，所求的二面角就是D-C1F-A1.A1DB1E，且A1D=2B1E

11、，E、B1分別為DF和A1F的中點(diǎn).A1B1=B1F=B1C1，F(xiàn)C1A1C1.又面AA1C1C面A1B1C1，F(xiàn)C1在面A1B1C1內(nèi)，F(xiàn)C1面AA1C1C.而DC1在面AA1C1C內(nèi)，F(xiàn)C1DC1.DC1A1是二面角D-FC1-A1的平面角.由已知A1D=B1C=A1C1，DC1A1=.故所求二面角的大小為.法2：（向量法）解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，1，0），E(,1,1),(0,2,0),D(0,0,2),易知平面A1B1C1的法向量為=(0,0,1),設(shè)平面DEC的法向量為=(x，y，z), 而=(,1,-1),=(0,2,-2),由即，不妨設(shè)，得=（0，1，1），面A1B

12、1C1與面DEC所成角的二面角為銳角，。點(diǎn)評(píng)：無棱的二面角一般是只已知一個(gè)共點(diǎn)，但兩個(gè)面的交線不知道。若要找出二面角的平面角，則需要根據(jù)公理2或公理4來找出二面角的棱，化為有棱二面角問題，再按有棱二面角的解法解題。這種主要有兩類：一類是分別在兩個(gè)面內(nèi)有兩條直線不是異面又不是平行的二面角（兩條在同一平面內(nèi)且不平行）。那么延長(zhǎng)這兩條線有一交點(diǎn)，根據(jù)公理2，這點(diǎn)在二面角的棱上，連公共點(diǎn)和這點(diǎn)就是二面角的棱；另一類是分別在兩個(gè)面內(nèi)有兩條直線是平行的二面角。這由直線和平面平行的判定和性質(zhì)定理知這直線和面平行，所以直線平行于二面角的兩個(gè)面的交線。由公理4，可知這兩條直線平行于二面角的棱。所以過公共點(diǎn)作一條

13、直線平行于這兩直線，那么所作的直線是二面角的棱。課堂反饋練習(xí)：如圖, 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，ABCD，ADDC，CD=2，DD1=DA=AB=1，P、Q 分別是CC1、C1D1的中點(diǎn)，求二面角B-PQ-D的大小。解：建立如圖所示的坐標(biāo)系D-xyz，則ABCC1QD1A1B1PxyzD,A(1,0,0)，因DA面PQD，所以是面PDQ的法向量。設(shè)為面BPQ的法向量，則， 解得， 取=(2,1,2)， 。 從圖中可知，二面角B-PQ-D為銳角，因此二面角B-PQ-D的大小為.點(diǎn)評(píng)：二面角問題可以綜合較多知識(shí)點(diǎn)，可以綜合有關(guān)的平行、垂直的關(guān)系。用到的定理幾乎是我們所學(xué)立幾的知識(shí)。所以要有較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)才能夠?qū)Ω兜昧诉@類問題。在計(jì)算方面要用到解三角形的知識(shí)，要會(huì)在圖中有關(guān)的三角形中求出所需的邊或角，然后通常歸結(jié)在一個(gè)三角形中去求出最后的結(jié)果?？偟模膺@類題，找平面角是關(guān)鍵的一步，要注意運(yùn)用題中的條件分析圖形，然后用有關(guān)的方法找出平面角，計(jì)算時(shí)要分析所要求的量是可由圖中的哪些平面圖形去逐步去求出。三、課堂小結(jié)：二面角的類型和求法可用框圖：點(diǎn)評(píng)：自主小結(jié)