放縮法技巧全總結(jié)96814

1、2011高考數(shù)學(xué)備考之放縮技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是:通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種:一、裂項放縮例1。（1)求的值； （2)求證:.解析:（1)因為，所以 （2)因為，所以奇巧積累：(1） （2） （3） (4） (5） （6） （7） （8） （9) （10) (11） （11） （12)（13) （14） （15） （15） 例2。（1)

2、求證：（2)求證： （3)求證：（4） 求證:解析:（1）因為，所以 (2) (3）先運用分式放縮法證明出，再結(jié)合進(jìn)行裂項,最后就可以得到答案 (4）首先，所以容易經(jīng)過裂項得到再證而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以例3。求證：解析：一方面：因為,所以另一方面：當(dāng)時，當(dāng)時,當(dāng)時，所以綜上有例4。(2008年全國一卷)設(shè)函數(shù)。數(shù)列滿足。.設(shè),整數(shù).證明：。解析：由數(shù)學(xué)歸納法可以證明是遞增數(shù)列,故若存在正整數(shù),使，則,若，則由知，,因為,于是例5。已知，求證： .解析：首先可以證明：所以要證只要證： 故只要證,即等價于，即等價于而正是成立的，所以原命題成立。例6。已知，求證：。解析：所以 從而例

3、7.已知,，求證:證明：，因為，所以所以二、函數(shù)放縮例8.求證：。解析：先構(gòu)造函數(shù)有，從而cause所以例9.求證：（1）解析:構(gòu)造函數(shù),得到，再進(jìn)行裂項，求和后可以得到答案函數(shù)構(gòu)造形式： ,例10。求證:解析:提示:函數(shù)構(gòu)造形式: 當(dāng)然本題的證明還可以運用積分放縮如圖，取函數(shù),首先:，從而，取有,所以有，,，相加后可以得到： 另一方面,從而有取有，所以有,所以綜上有例11。求證：和.解析：構(gòu)造函數(shù)后即可證明例12.求證：解析:，疊加之后就可以得到答案函數(shù)構(gòu)造形式：（加強(qiáng)命題）例13。證明：解析：構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，可以得到:，令有，令有，所以,所以,令有，所以，所以例14。 已知證明。解析： ，

4、然后兩邊取自然對數(shù)，可以得到然后運用和裂項可以得到答案）放縮思路:.于是，即注:題目所給條件（)為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用;當(dāng)然,本題還可用結(jié)論來放縮：,即例16。（2008年福州市質(zhì)檢）已知函數(shù)若 解析:設(shè)函數(shù)函數(shù)）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.的最小值為，即總有而即令則例15。（2008年廈門市質(zhì)檢) 已知函數(shù)是在上處處可導(dǎo)的函數(shù)，若在上恒成立。 （I）求證：函數(shù)上是增函數(shù)； （II）當(dāng); （III）已知不等式時恒成立，求證：解析：（I），所以函數(shù)上是增函數(shù) (II）因為上是增函數(shù)，所以兩式相加后可以得到 （3) 相加后可以得到： 所以令,有所以（方法二) 所以 又,所

5、以三、分式放縮姐妹不等式：和記憶口訣"小者小,大者大"解釋：看b，若b小,則不等號是小于號,反之。例19。 姐妹不等式：和也可以表示成為和解析：利用假分?jǐn)?shù)的一個性質(zhì)可得即例20。證明：解析: 運用兩次次分式放縮： （加1） （加2）相乘，可以得到：所以有四、分類放縮例21。求證：解析： 例22。（2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編）在平面直角坐標(biāo)系中， 軸正半軸上的點列與曲線（0）上的點列滿足,直線在x軸上的截距為。點的橫坐標(biāo)為，。(1）證明>>4，; （2）證明有,使得對都有。解析：（1） 依題設(shè)有：，由得：，又直線在軸上的截距為滿足顯然,對于，有 （2）證明

6、：設(shè),則設(shè),則當(dāng)時,。所以,取，對都有：故有<成立。例23。（2007年泉州市高三質(zhì)檢） 已知函數(shù),若的定義域為1，0，值域也為1，0.若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，問是否存在正常數(shù)A，使得對于任意正整數(shù)都有？并證明你的結(jié)論.解析：首先求出，故當(dāng)時,，因此，對任何常數(shù)A，設(shè)是不小于A的最小正整數(shù)，則當(dāng)時，必有.故不存在常數(shù)A使對所有的正整數(shù)恒成立。例24.（2008年中學(xué)教學(xué)參考）設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為,設(shè)內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點的個數(shù)為。設(shè),當(dāng)時,求證:.解析：容易得到，所以，要證只要證，因為，所以原命題得證五、迭代放縮例25。 已知，求證：當(dāng)時,解析：通過迭代的方法得到，然后相加就可以得到結(jié)

7、論例26。 設(shè)，求證：對任意的正整數(shù)k，若kn恒有：|Sn+kSn 解析: 又所以六、借助數(shù)列遞推關(guān)系例27。求證： 解析: 設(shè)則，從而,相加后就可以得到所以例28。 求證： 解析： 設(shè)則，從而，相加后就可以得到例29. 若，求證: 解析： 所以就有七、分類討論例30。已知數(shù)列的前項和滿足證明:對任意的整數(shù)，有 解析：容易得到，由于通項中含有,很難直接放縮,考慮分項討論：當(dāng)且為奇數(shù)時（減項放縮),于是當(dāng)且為偶數(shù)時當(dāng)且為奇數(shù)時(添項放縮)由知由得證.八、線性規(guī)劃型放縮 例31. 設(shè)函數(shù).若對一切，求的最大值. 解析：由知 即 由此再由的單調(diào)性可以知道的最小值為，最大值為因此對一切,的充要條件是，

8、 即,滿足約束條件，由線性規(guī)劃得，的最大值為5九、均值不等式放縮 例32。設(shè)求證 解析： 此數(shù)列的通項為，,即注：應(yīng)注意把握放縮的“度”:上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得,就放過“度”了！根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中,等的各式及其變式公式均可供選用.例33.已知函數(shù),若,且在0，1上的最小值為，求證:解析:例34。已知為正數(shù),且，試證：對每一個，。解析： 由得，又，故,而,令，則=,因為，倒序相加得=，而,則=，所以，即對每一個，.例35。求證解析: 不等式左=，原結(jié)論成立.例36。已知，求證： 解析： 經(jīng)過倒序相乘，就可以得到例37。已知,求證：

9、 解析： 其中:，因為 所以 從而,所以. 例38。若,求證:。 解析: 因為當(dāng)時，,所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號. 所以 所以所以例39.已知,求證:。 解析：。例40。已知函數(shù)f（x)=x2（1）k·2lnx（kN）.k是奇數(shù)， nN時,求證： f(x）n2n1·f'（xn）2n(2n2）。解析： 由已知得,（1)當(dāng)n=1時，左式=右式=0.不等式成立。(2）， 左式=令由倒序相加法得:,所以所以綜上,當(dāng)k是奇數(shù)，時，命題成立例41。 (2007年東北三校）已知函數(shù)（1)求函數(shù)的最小值，并求最小值小于0時的取值范圍；（2)令求證:例42. (2008年江西高考

10、試題）已知函數(shù),。對任意正數(shù),證明:解析：對任意給定的，,由，若令 ，則 ，而 (一）、先證;因為,，,又由 ，得 所以(二）、再證;由、式中關(guān)于的對稱性，不妨設(shè)則（）、當(dāng)，則，所以,因為 ，,此時 （）、當(dāng),由得 ，因為 所以 同理得 ，于是 今證明 ， 因為 ，只要證 ，即 ,也即 ，據(jù),此為顯然 因此得證故由得 綜上所述，對任何正數(shù)，皆有例43。求證：解析：一方面:(法二）另一方面:十、二項放縮,，例44。 已知證明解析：，即45。設(shè)，求證:數(shù)列單調(diào)遞增且解析： 引入一個結(jié)論：若則（證略)整理上式得（）以代入（）式得即單調(diào)遞增.以代入（)式得此式對一切正整數(shù)都成立，即對一切偶數(shù)有,又因為

11、數(shù)列單調(diào)遞增,所以對一切正整數(shù)有.注：上述不等式可加強(qiáng)為簡證如下: 利用二項展開式進(jìn)行部分放縮： 只取前兩項有對通項作如下放縮： 故有上述數(shù)列的極限存在，為無理數(shù)；同時是下述試題的背景：已知是正整數(shù),且（1）證明;（2）證明（01年全國卷理科第20題) 簡析 對第（2）問:用代替得數(shù)列是遞減數(shù)列;借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法:數(shù)列遞減，且故即. 當(dāng)然,本題每小題的證明方法都有10多種，如使用上述例5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問題"概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見文1。例46。已知a+b=1，a>0，b0，求證：解析: 因為a+b=1,a0，

12、b0,可認(rèn)為成等差數(shù)列,設(shè),從而例47。設(shè),求證。解析: 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得，即，得證。例48。求證:.解析：參見上面的方法，希望讀者自己嘗試?。├?2。（2008年北京海淀5月練習(xí)) 已知函數(shù)，滿足:對任意，都有；對任意都有。(I)試證明:為上的單調(diào)增函數(shù)；（II）求；(III)令，試證明:. 解析：本題的亮點很多，是一道考查能力的好題。 (1）運用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性： 因為,所以可以得到, 也就是，不妨設(shè)，所以，可以得到，也就是說為上的單調(diào)增函數(shù)。 （2）此問的難度較大，要完全解決出來需要一定的能力！ 首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很足,，嘗試探索看看按(1）中的不等式可以不可以得到什

13、么結(jié)論,一發(fā)現(xiàn)就有思路了！ 由(1）可知，令，則可以得到,又，所以由不等式可以得到,又，所以可以得到接下來要運用迭代的思想： 因為,所以,，,， 在此比較有技巧的方法就是：，所以可以判斷 當(dāng)然，在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論,所以還可以列項的方法，把所有項數(shù)盡可能地列出來，然后就可以得到結(jié)論. 所以，綜合有= (3)在解決的通項公式時也會遇到困難。,所以數(shù)列的方程為，從而， 一方面，另一方面 所以，所以，綜上有.例49。已知函數(shù)f(x)的定義域為0，1,且滿足下列條件： 對于任意0，1,總有，且; 若則有()求f(0)的值;（)求證：f(x)4;（）當(dāng)時，試證明:。解析： （）解：令,由對

14、于任意0，1，總有, 又由得即 （)解：任取且設(shè) 則 因為,所以，即 。 當(dāng)0，1時,。 （）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明:（1） 當(dāng)n=1時,，不等式成立;（2） 假設(shè)當(dāng)n=k時，由得即當(dāng)n=k+1時，不等式成立由（1）、（2）可知，不等式對一切正整數(shù)都成立。于是,當(dāng)時,，而0，1,單調(diào)遞增所以,例50. 已知:求證：解析：構(gòu)造對偶式:令則又 （十一、積分放縮利用定積分的保號性比大小保號性是指,定義在上的可積函數(shù),則.例51.求證：。 解析： ,， 時，,，.利用定積分估計和式的上下界定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個主要背景是計算曲邊梯形的面積,現(xiàn)在用它來估計小矩形的面積和。例52。 求證:，。 解析：考

15、慮函數(shù)在區(qū)間上的定積分.如圖，顯然-對求和，。例53. 已知.求證：. 解析：考慮函數(shù)在區(qū)間上的定積分。.例54. (2003年全國高考江蘇卷）設(shè)，如圖,已知直線及曲線:，上的點的橫坐標(biāo)為（）。從上的點作直線平行于軸，交直線于點，再從點作直線平行于軸，交曲線于點.的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列.（）試求與的關(guān)系，并求的通項公式； (）當(dāng)時，證明； （）當(dāng)時，證明。解析：（過程略)。證明（II）：由知，.當(dāng)時，,。證明（)：由知。恰表示陰影部分面積，顯然 .奇巧積累： 將定積分構(gòu)建的不等式略加改造即得“初等"證明，如：；。十二、部分放縮（尾式放縮) 例55。求證： 解析：例56。 設(shè)求證：解析：又（

16、只將其中一個變成，進(jìn)行部分放縮）,，于是例57.設(shè)數(shù)列滿足,當(dāng)時證明對所有 有；解析：用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時顯然成立，假設(shè)當(dāng)時成立即，則當(dāng)時，成立.利用上述部分放縮的結(jié)論來放縮通項,可得注：上述證明用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：;證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論十三、三角不等式的放縮 例58。求證：. 解析:(i）當(dāng)時， （ii）當(dāng)時，構(gòu)造單位圓，如圖所示： 因為三角形AOB的面積小于扇形OAB的面積 所以可以得到 當(dāng)時 所以當(dāng)時有 （iii）當(dāng)時,由（ii）可知： 所以綜上有十四、使用加強(qiáng)命題法證明不等式 （i）同側(cè)加強(qiáng) 對所證不等式的同一方向(可以是左側(cè),也可以是右側(cè)）進(jìn)行加

17、強(qiáng)。如要證明，只要證明,其中通過尋找分析，歸納完成。例59.求證：對一切，都有.解析:從而當(dāng)然本題還可以使用其他方法,如： 所以. (ii）異側(cè)加強(qiáng)（數(shù)學(xué)歸納法） （iii）雙向加強(qiáng) 有些不等式，往往是某個一般性命題的特殊情況,這時，不妨”返璞歸真",通過雙向加強(qiáng)還原其本來面目,從而順利解決原不等式.其基本原理為：欲證明,只要證明：。例60。已知數(shù)列滿足：，求證： 解析：,從而，所以有,所以 又,所以，所以有所以 所以綜上有引申：已知數(shù)列滿足：,求證:。解析：由上可知,又，所以 從而 又當(dāng)時，所以綜上有。同題引申：（2008年浙江高考試題)已知數(shù)列,，,。記,.求證：當(dāng)時。(1)；

18、（2）； （3）.解析：（1）,猜想,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (i）當(dāng)時,，結(jié)論成立； （ii)假設(shè)當(dāng)時，則時， 從而，所以 所以綜上有，故 （2)因為則，,相加后可以得到：,所以,所以 (3）因為，從而，有,所以有，從而，所以,所以 所以綜上有.例61.（2008年陜西省高考試題）已知數(shù)列的首項,， （1)證明：對任意的，; （2）證明：。解析：(1）依題,容易得到,要證，,，即證即證，設(shè)所以即證明從而，即,這是顯然成立的.所以綜上有對任意的,， （法二）,原不等式成立 (2）由（1)知，對任意的，有取，則原不等式成立十四、經(jīng)典題目方法探究探究1。（2008年福建省高考)已知函數(shù).若在區(qū)間上的最小值為，令。求證:。證明：首先：可以得到。先證明 （方法一） 所以（方法二）因為,相乘得：，從而。(方法三）設(shè)A=，B=,因為AB,所以A2AB,所以，從而。下面介紹幾種方法證明(方法一）因為,所以，所以有(方法二）,因為，所以 令,可以