橢圓雙曲線知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案橢圓知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)11橢圓的概念：橢圓的第一定義在平面內(nèi)到兩定點(diǎn) Fi、E的距離的和等于常數(shù)(大于| FiF2|)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓. 這兩定點(diǎn)叫做橢圓的龜絲兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距一當(dāng)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為M時(shí)，橢圓即為點(diǎn)集 P = m | MF1 + mf2 =2a注意：若(PFi |+庇2 =FiF2),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段F1F2；若(PF1 | + PF2 |<|F1F2 ),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡無圖形。橢圓的第二定義：在平面內(nèi)，滿足到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比是等于一個(gè)常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中這個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，這條定直線叫做相應(yīng)于該焦點(diǎn)的準(zhǔn)線。注：定義中的定點(diǎn)不在定直線上

2、。如果將橢圓的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)放在X軸上，準(zhǔn)線方程是：焦點(diǎn)放在Y軸上，準(zhǔn)線方程是：【知識(shí)點(diǎn)2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程22焦點(diǎn)在X軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： >+鄉(xiāng)=1 (aAbA0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(C, 0) , (-c, 0) a b 22焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：t+'=1 (a >b >0冰點(diǎn)坐標(biāo)為(0, c, ) (o, -c)b a【知識(shí)點(diǎn)3】橢圓的幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程22：+乙=1 (a >b >0 ) a b22:+-y2 =1 (a >b>0 b2a2*圖形ji°，叫H yA性 質(zhì)范圍-a < x < a-b

3、< y < b對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A( a, 0),A2( a,0)B1(0 , b), 8(0 , b)A1(0 , a) , A2(0, a)B1( - b, 0) , 8(b, 0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸 BR的長為2b焦距1 F1F2 |=2c離心率c L e=- £(0,1)aa, b, c的關(guān)系c2 = a2- b2規(guī)律：(1)橢圓焦點(diǎn)位置與x y2系數(shù)間的關(guān)系：焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(2)橢圓上任意一點(diǎn) M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離 為a+c,最小而離為 ac.

4、(3)在橢圓中，離心率 e = c=；a-4b- = /1-bya . a . a . a(4)橢圓的離心率e越接近1橢圓越扁；e越接近于0 ,橢圓就接近于圓；橢圓典型例題、已知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1:已知橢圓的焦點(diǎn)是 Fi(0, 1)、F2(0,1) , P是橢圓上一點(diǎn)，并且 PF+PE=2FiF2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解：由 PF+PF2=2F1F2=2X2=4,彳42a=4.又c=1,所以 b2 = 3.22所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是y+x=1.432.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為R( 1,0) , F2(1,0),且2a=10,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.22解：由橢圓定義知c= 1, 1.

5、b=-52 1=y24.，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為25+ 24= 1.二、未知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例：1.橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為 A(2,0 ),其長軸長是短軸長的 2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：(1)當(dāng)A(2,0 )為長軸端點(diǎn)時(shí)，a = 2, b=1,22=1 ；=1 ；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： -y-41(2)當(dāng)A(2,0 )為短軸端點(diǎn)時(shí),22橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：416三、橢圓的焦點(diǎn)位置由其它方程間接給出，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。22一，一一 x V例.求過點(diǎn)(一3,2)且與橢圓§ +1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)萬程. 一 , o一一.一X2V2. . 94解：因?yàn)閏 = 94 = 5,所以設(shè)所求橢

6、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-2+ -2 = 1.由點(diǎn)(一 3,2)在橢圓上知2+-2 = 1,a a - 5a a - 52*2所以a2 =15.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x5+10=1.四、求橢圓的離心率問題。例1 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率.C 22對 1 3/. 3c =a , . . e = .33一 ，一一X2例2已知橢圓k 8+L=1的離心率91e =,求k的值.2解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2=k+8, b2=9,得c2=k-1.由3 =,，得k=4.2222當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)，a =9, b =k+8,得c =1k.411 k 1 口口， 5由 e =一,

7、倚=一,即 k =.29445.滿足條件的卜=4或卜=5.4雙曲線知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)11雙曲線的概念：一在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)閂、F2的距離的差的絕又直等于常數(shù) (小于| FE|)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦品1當(dāng)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為M時(shí)，橢圓即為點(diǎn)集 P = M | MF1 MF2| =2a注意：若(|MFj - MF2I = F1F2 ),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為兩條射線；若(|MFj MF2 >"#2 ),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡無圖形?！局R(shí)點(diǎn)2】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 22焦點(diǎn)在x軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：勺_與=1 (a >0,b A0 ),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c, 0), (-c

8、, 0)a b22焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：_與=1 (a A0,b A0 )焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, c, ) (o, -C)b a【知識(shí)點(diǎn)3】雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程22a2 b2= 1( a>0, b>0)222-b2= 1(a>0, b>0)圖形£%yiy：必性 質(zhì)范圍x>a_x< - a, yCRxCR, ywa 或 y>a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)Ai( a, 0), A2( a, 0)A(0 , a) , A2(0 , a)漸近線y=±bx a,a y=±Bx離心率e = c, eC (1 、 +

9、0° ),其中 c=4a2 + b2 a”實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長 |A1A2| =2a；線段BB2叫做雙曲線的虛軸，它的長 |BB2| =2b;a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a、b、c的關(guān)系c2= a2+ b2(c>a>0, c> b>0)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案規(guī)律：1 .雙曲線為等軸雙曲線 ？雙曲線的離心率 e=、/2?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系).2 .區(qū)分雙曲線中的a,b, c大小關(guān)系與橢圓a,b, c關(guān)系，在橢圓中a2=b2 + c：而在雙曲線中c2=a2+b2.(2)雙曲線的離心率大于 1,而橢圓的離心率 ec(0

10、,1).(3)在雙曲線中，離心率e = c = F :'=卜(4)雙曲線的離心率 e越大，開口越闊.雙曲線典型例題一、根據(jù)雙曲線的定義求其標(biāo)準(zhǔn)方程。例 已知兩點(diǎn)F1(-5,0F2(5,0、求與它們的距離差的絕對值是6的點(diǎn)的軌跡.解：根據(jù)雙曲線定義，可知所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線.c = 5, a =32222 c 22 b =c - a - 5 - 3 =4 =1622.所求方程 上匕=1為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，且軌跡是雙曲線.91622x y例 P是雙曲線 一_工=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、52是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF1 =17,求PF2的值.64 3622解：在雙曲線 二上=1中，a=8, b=6,故

11、c=10. 64 36由P是雙曲線上一點(diǎn)，得|PF1 - PF2| =16. PF2| =1 或 PF2 =33.又 PF2|>c-a=2,得 PF? =33.、根據(jù)已知條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.151 16(1)過點(diǎn)P 3,15 I, Q - - ,5 1且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.4 4 J 3 3)(2) c=7'6,經(jīng)過點(diǎn)(一5, 2),焦點(diǎn)在X軸上.22(3)與雙曲線 -=1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn) (3五,2)16422解：(1)設(shè)雙曲線方程為 A + L=1實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔P、Q兩點(diǎn)在雙曲線上,9 225 /'m = -16 n

12、=9一十=1j m 16n256 25 ,十=119mn22所求雙曲線方程為x- L = 1169說明：采取以上“巧設(shè)”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的.(2) ,焦點(diǎn)在X軸上，C=J6,設(shè)所求雙曲線方程為:=1 （其中 0<% <6） 254.雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（一 5, 2） , £5_4_ =1 6 - -5 =5或九=30 （舍去），所求雙曲線方程是X22二1說明：以上簡單易行的方法給我們以明快、簡捷的感覺.22(3)設(shè)所求雙曲線方程為：一 -一二1 0 ：二：二1616 - 4 雙曲線過點(diǎn)(3、028_+_ =116 - 4 -.- 4 =4或九= 14 (舍

13、)22所求雙曲線方程為 上一上二1128拋物線定義平向內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的跑離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫 做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。MMF點(diǎn)M到直線l的距離范圍x >0, y = Rx < 0, y = Rxw R, y > 0xw R, y < 0對稱性關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱隹百八、八、T，0）。為焦點(diǎn)在對稱軸上頂點(diǎn)0(0,0)離心率e=1準(zhǔn)線 方程xTx_2 x2y=4y4準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的跑離相等。頂點(diǎn)到準(zhǔn) 線的距離2焦點(diǎn)到準(zhǔn) 線的距離P焦半徑A（X1, y1）AF = x1 + E2AF = -x1 + 2AF =

14、y1 +2AF = -y1 +2拋物線典型例題一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.（1）X2 =4y（2） x =ay2（a 00）解：（1） < p =2, .焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0, 1）,準(zhǔn)線方程是：y = 111（2）原拋物線方程為： y =x,2p= aap 1當(dāng)a>0時(shí)，且=，拋物線開口向右，2 4a1、，、，1焦點(diǎn)坐標(biāo)是（工,0）,準(zhǔn)線方程是：x = -4a4a當(dāng)a <0時(shí)，E =工，拋物線開口向左，2 4a1、，、，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(，,0),準(zhǔn)線方程是:4a1 x - - -4a綜合上述，當(dāng)a #0時(shí)，拋物線211x=ay的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),傕線

15、萬程是：x =4a4a二、求直線與拋物線相結(jié)合的問題例2若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2,求此直線方程.解法一：設(shè) A(x1,y1)、B%, y2),則由:y = kx-22 可得:y =8xk2x2 -(4k +8)x +4 = 0.直線與拋物線相交, k00且人 >0,則 k >-1 .AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為:解得：卜=2或卜=1Xi x22(舍去).4k 8k2故所求直線方程為：y=2x-2.解法二：設(shè) A(x1,y1)、B(x2, y2),則有兩式作差解：(y1y2)( y1 + y2) =8(x1x2),即 "yy2 = 8

16、一Xi -X2y1 y；x1 +x2 =4 J. y1 + y2 = kx1 2 +kx2 2 = k(x1 +x2) 4 = 4k 4 , ，k =-8故k =2或 k = 1 (舍去).4k -4則所求直線方程為:y = 2x -2 .橢圓、雙曲線、拋物線基礎(chǔ)測試題時(shí)間：100分鐘 滿分:100分班級.選擇題(下列各題中只有一個(gè)正確答案，每小題姓名4分共24分)成績1.到兩點(diǎn)Fi (0, 3 )、F2(0, 7 )的距離之和等于 10的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是2L=14252工16二1162工25二12.雙曲線4x2 - 3y2 = 12的共軻雙曲線是3.4.(A ) 4y 2 - 3x2 =

17、12(B ) 3x-4y 2 = 12( C ) 3y4x 2 = 12(D ) 4x2 - 3y2= 12頂點(diǎn)在原點(diǎn)、坐標(biāo)軸為對稱軸，經(jīng)過點(diǎn)P( 1, -2 )的拋物線方程是若橢圓2=4x ( B ) x21=N(C ) y 2 = 4x, x 2 = 4y ( D ) y2=4x,22-y- + =1 ,則9等于(A) 兩焦點(diǎn)間的距離(C) 兩準(zhǔn)線間的距離一焦點(diǎn)到長軸一端點(diǎn)的距離橢圓上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離22()或k < 0().吏35 .當(dāng)曲線、+_=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，則 k 4 -k(A ) k > 0( B ) k > 4( C ) 0 < k < 4( D ) k > 46 .雙曲線的兩條準(zhǔn)線把連接兩焦點(diǎn)的線段三等分，則雙曲線的離心率是(A ).3( B ) 3( C )( D )二.填空題(每空4分，共24分)1 .拋物線x2 = 4y + 8的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 .2 .離心率為J2的雙曲線的漸近線的夾角等于3 .經(jīng)過兩點(diǎn)M(3, 0 ) 、N( 0, 二)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .4 .若橢圓的一焦點(diǎn)到短軸兩端點(diǎn)的連線垂直，則橢圓的離心率是5 . AB是過橢圓x2 + 2y 2 = 4焦點(diǎn)Fi的弦，它與另一焦點(diǎn) F2所連成三角形的周長等于 .6 .當(dāng)拋物線y2 = 4