概念引入方法的研究

1、 概念引入方法的研究 數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)教材結(jié)構(gòu)的最基本的因素，是數(shù)學(xué)思想與方法的載體正確理解數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提學(xué)生如果不能正確地理解數(shù)學(xué)中的各種概念，就不能很好地掌握各種法則、公式、定理，也就不能應(yīng)用所學(xué)知識去解決實(shí)際問題因此，抓好數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵數(shù)學(xué)概念比較抽象，初中學(xué)生由于年齡、生活經(jīng)驗(yàn)和智力發(fā)展等方面的限制，要接受教材中的所有概念是不容易的在教學(xué)過程中，一些教師不注意結(jié)合學(xué)生心理發(fā)展特點(diǎn)去分析事物的本質(zhì)特征只是照本宣科地提出概念的正確定義，缺乏生動的講解和形象的比喻，對某

2、些概念講解不夠透徹，使得一些學(xué)生對概念常常是一知半解、模糊不清，也就無法對概念正確理解、記憶和應(yīng)用下面就是常見的幾種數(shù)學(xué)概念引入方法 一、利用生活實(shí)例引入概念 恩格思說“數(shù)學(xué)是從量的角度把握和解釋世界的一種努力”，所以充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)是引入數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)概念屬于理性認(rèn)識，它的形成依賴于感性認(rèn)識，學(xué)生的心理特點(diǎn)是容易理解和接受具體的感性認(rèn)識 教學(xué)過程中，各種形式的直觀教學(xué)是提供豐富、正確的感性認(rèn)識的主要途徑所以在講述新概念時，從引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析有關(guān)具體實(shí)物人手，比較容易揭示概念的本質(zhì)和特征 例如，在講解“梯形”的概念時，教師可結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，引入梯形的典型實(shí)例(如梯子、堤壩的橫截面等

3、)，再畫出梯形的標(biāo)準(zhǔn)圖形，讓學(xué)生獲得梯形的感性知識 又例如，用兩張大小不同的世界地圖， 引大小導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，日常生活中我們會碰到很多“形狀相同、不一定相同的圖形”，從而引入相似形 再如，講“數(shù)軸”的概念時，教師可模仿秤桿上用點(diǎn)表示物體的重量秤桿具有三個要素：度量的起點(diǎn)；度量的單位；明確的增減方向，這樣以實(shí)物啟發(fā)人們用直線上的點(diǎn)表示數(shù)，從而引出了數(shù)軸的概念這種形象的講述符合認(rèn)識規(guī)律，學(xué)生容易理解，給學(xué)生留下的印象也比較深刻 二、數(shù)學(xué)小故事的形式引入 學(xué)生，尤其是初中生，大多是喜歡聽故事的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中也可以利用這一點(diǎn)，利用一個小小的有趣的故事引入數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生在故事中尋找數(shù)學(xué)問題，激發(fā)他們學(xué)習(xí)

4、的興趣 例如教學(xué)坐標(biāo)系的時候，我們可以對學(xué)生講以下故事： 有一天，笛卡爾生病臥床，無所事事的他默默地思考著 代數(shù)與幾何的各自為政、劃地為牢的狀況抑制了數(shù)學(xué)的發(fā)展，幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程則是比較抽象的，怎樣才能擺脫這種狀況，架起溝通代數(shù)與幾何的橋梁呢？也就是說，能不能用幾何圖形來表示方程呢？能不能想辦法把“點(diǎn)” 和“數(shù)”聯(lián)系起來？ 這個問題苦苦折磨著年輕的笛卡爾，他常常有時間思考它 現(xiàn)在，他的思緒又回到了這個問題上抬頭望著天花板，一只小小的蜘蛛從墻角慢慢地爬過來，吐絲結(jié)網(wǎng)，忙個不停從東爬到西，從南爬到北要結(jié)一張網(wǎng)，小蜘蛛該走多少路??！笛卡爾突發(fā)奇想，算一算蜘蛛走過的路程他先把蜘蛛看成一個點(diǎn)

5、，這個點(diǎn)離墻角多遠(yuǎn)？ 離墻的兩邊多遠(yuǎn)？他思考著，計(jì)算著，病中的他睡著了夢中他繼續(xù)在數(shù)學(xué)的廣闊天地中馳騁，好像悟出了什么，又看到了什么， 大夢醒來的笛卡爾茅塞頓開，一種新的思想初露端倪：在互相垂直的兩條直線下，一個點(diǎn)可以用到這兩條直線的距離，也就是兩個數(shù)來表示，這個點(diǎn)的位置就被確定了 例如，（,）表示平面上的一個點(diǎn)用數(shù)形結(jié)合的方式將代數(shù)與幾何的橋梁聯(lián)起來了這就是解析幾何學(xué)誕生的曙光，沿著這條思路前進(jìn)，在眾多數(shù)學(xué)家的努力下數(shù)學(xué)的歷史發(fā)生了重要的轉(zhuǎn)折，建立了新的一門學(xué)科解析幾何學(xué) 在無理數(shù)這個概念的教學(xué)中可以介紹下面的故事： 公元前六世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理，即：在直角三角形中，兩條

6、直角邊的平方和等于斜邊的平方這種發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)時僅局限于直角三角形的三邊是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的情況下，但是，他的學(xué)生希伯斯應(yīng)用這個定理，研究了邊長為的正方形的對角線的長是2，發(fā)現(xiàn)他既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，而是一個無限不循環(huán)小數(shù)，這是世界上最早發(fā)現(xiàn)的無理數(shù) 因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯已經(jīng)用有理數(shù)解釋了天地萬物，無理數(shù)的存在會引起對他信念的懷疑希帕索斯經(jīng)洞察力獲致的成果一定經(jīng)過了一段時間的論和深思熟慮，畢達(dá)哥拉斯本應(yīng)接受這新數(shù)源然而，畢達(dá)哥拉斯始終不愿承認(rèn)自己的錯誤，卻又無法經(jīng)由邏輯推理推翻希帕索斯的論證使他終身蒙羞的是，他竟然判決將希帕索斯淹死這是希臘數(shù)學(xué)的最大悲劇，只有在他死后無理數(shù)才得以安全的被討論著后來，歐幾里德

7、以反證法證明根號2是無理數(shù) 這類無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學(xué)史上一個重要的發(fā)現(xiàn)希伯斯為此獻(xiàn)出了生命，但我們欣忍地看到，數(shù)學(xué)卻因此又前進(jìn) 今天，我們學(xué)習(xí)無理數(shù)時，應(yīng)該懷著敬意來來紀(jì)念這位英勇的數(shù)學(xué)家 三、通過類比引入新概念 類比遷移，是從知識之間的橫向相似出發(fā)，將不同分支或不同學(xué)科的知識與方法交叉起來，根據(jù)兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們在其它屬性上也相同或相似的思維方法；是由此及彼，由表及里的聯(lián)想，既接受信息，又傳遞和加工信息數(shù)學(xué)中的有些概念它們的內(nèi)涵有相似之處，我們把這些概念進(jìn)行類比，從原有概念自然地引入新概念在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)典的類比很多，例如：由“溫度計(jì)”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“數(shù)軸”；

8、由 電 影票 上 都 標(biāo)有“第xx排第xx座概念引入方法的研究 數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)教材結(jié)構(gòu)的最基本的因素，是數(shù)學(xué)思想與方法的載體正確理解數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提學(xué)生如果不能正確地理解數(shù)學(xué)中的各種概念，就不能很好地掌握各種法則、公式、定理，也就不能應(yīng)用所學(xué)知識去解決實(shí)際問題因此，抓好數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵數(shù)學(xué)概念比較抽象，初中學(xué)生由于年齡、生活經(jīng)驗(yàn)和智力發(fā)展等方面的限制，要接受教材中的所有概念是不容易的在教學(xué)過程中，一些教師不注意結(jié)合學(xué)生心理發(fā)展特點(diǎn)去分析事物的本質(zhì)特征只是照本宣科地提出概念的

9、正確定義，缺乏生動的講解和形象的比喻，對某些概念講解不夠透徹，使得一些學(xué)生對概念常常是一知半解、模糊不清，也就無法對概念正確理解、記憶和應(yīng)用下面就是常見的幾種數(shù)學(xué)概念引入方法 一、利用生活實(shí)例引入概念 恩格思說“數(shù)學(xué)是從量的角度把握和解釋世界的一種努力”，所以充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)是引入數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)概念屬于理性認(rèn)識，它的形成依賴于感性認(rèn)識，學(xué)生的心理特點(diǎn)是容易理解和接受具體的感性認(rèn)識 教學(xué)過程中，各種形式的直觀教學(xué)是提供豐富、正確的感性認(rèn)識的主要途徑所以在講述新概念時，從引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析有關(guān)具體實(shí)物人手，比較容易揭示概念的本質(zhì)和特征 例如，在講解“梯形”的概念時，教師可結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，

10、引入梯形的典型實(shí)例(如梯子、堤壩的橫截面等)，再畫出梯形的標(biāo)準(zhǔn)圖形，讓學(xué)生獲得梯形的感性知識 又例如，用兩張大小不同的世界地圖， 引大小導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，日常生活中我們會碰到很多“形狀相同、不一定相同的圖形”，從而引入相似形 再如，講“數(shù)軸”的概念時，教師可模仿秤桿上用點(diǎn)表示物體的重量秤桿具有三個要素：度量的起點(diǎn)；度量的單位；明確的增減方向，這樣以實(shí)物啟發(fā)人們用直線上的點(diǎn)表示數(shù)，從而引出了數(shù)軸的概念這種形象的講述符合認(rèn)識規(guī)律，學(xué)生容易理解，給學(xué)生留下的印象也比較深刻 二、數(shù)學(xué)小故事的形式引入 學(xué)生，尤其是初中生，大多是喜歡聽故事的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中也可以利用這一點(diǎn)，利用一個小小的有趣的故事引入數(shù)學(xué)概念

11、，讓學(xué)生在故事中尋找數(shù)學(xué)問題，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣 例如教學(xué)坐標(biāo)系的時候，我們可以對學(xué)生講以下故事： 有一天，笛卡爾生病臥床，無所事事的他默默地思考著 代數(shù)與幾何的各自為政、劃地為牢的狀況抑制了數(shù)學(xué)的發(fā)展，幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程則是比較抽象的，怎樣才能擺脫這種狀況，架起溝通代數(shù)與幾何的橋梁呢？也就是說，能不能用幾何圖形來表示方程呢？能不能想辦法把“點(diǎn)” 和“數(shù)”聯(lián)系起來？ 這個問題苦苦折磨著年輕的笛卡爾，他常常有時間思考它 現(xiàn)在，他的思緒又回到了這個問題上抬頭望著天花板，一只小小的蜘蛛從墻角慢慢地爬過來，吐絲結(jié)網(wǎng)，忙個不停從東爬到西，從南爬到北要結(jié)一張網(wǎng)，小蜘蛛該走多少路?。〉芽柾话l(fā)奇想

12、，算一算蜘蛛走過的路程他先把蜘蛛看成一個點(diǎn)，這個點(diǎn)離墻角多遠(yuǎn)？ 離墻的兩邊多遠(yuǎn)？他思考著，計(jì)算著，病中的他睡著了夢中他繼續(xù)在數(shù)學(xué)的廣闊天地中馳騁，好像悟出了什么，又看到了什么， 大夢醒來的笛卡爾茅塞頓開，一種新的思想初露端倪：在互相垂直的兩條直線下，一個點(diǎn)可以用到這兩條直線的距離，也就是兩個數(shù)來表示，這個點(diǎn)的位置就被確定了 例如，（,）表示平面上的一個點(diǎn)用數(shù)形結(jié)合的方式將代數(shù)與幾何的橋梁聯(lián)起來了這就是解析幾何學(xué)誕生的曙光，沿著這條思路前進(jìn)，在眾多數(shù)學(xué)家的努力下數(shù)學(xué)的歷史發(fā)生了重要的轉(zhuǎn)折，建立了新的一門學(xué)科解析幾何學(xué) 在無理數(shù)這個概念的教學(xué)中可以介紹下面的故事： 公元前六世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉

13、斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理，即：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方這種發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)時僅局限于直角三角形的三邊是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的情況下，但是，他的學(xué)生希伯斯應(yīng)用這個定理，研究了邊長為的正方形的對角線的長是2，發(fā)現(xiàn)他既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，而是一個無限不循環(huán)小數(shù)，這是世界上最早發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯已經(jīng)用有理數(shù)解釋了天地萬物，無理數(shù)的存在會引起對他信念的懷疑希帕索斯經(jīng)洞察力獲致的成果一定經(jīng)過了一段時間的論和深思熟慮，畢達(dá)哥拉斯本應(yīng)接受這新數(shù)源然而，畢達(dá)哥拉斯始終不愿承認(rèn)自己的錯誤，卻又無法經(jīng)由邏輯推理推翻希帕索斯的論證使他終身蒙羞的是，他竟然判決將希帕索斯淹死這是希臘數(shù)學(xué)的最大悲劇，只有在他死后

14、無理數(shù)才得以安全的被討論著后來，歐幾里德以反證法證明根號2是無理數(shù) 這類無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學(xué)史上一個重要的發(fā)現(xiàn)希伯斯為此獻(xiàn)出了生命，但我們欣忍地看到，數(shù)學(xué)卻因此又前進(jìn) 今天，我們學(xué)習(xí)無理數(shù)時，應(yīng)該懷著敬意來來紀(jì)念這位英勇的數(shù)學(xué)家 三、通過類比引入新概念 類比遷移，是從知識之間的橫向相似出發(fā)，將不同分支或不同學(xué)科的知識與方法交叉起來，根據(jù)兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們在其它屬性上也相同或相似的思維方法；是由此及彼，由表及里的聯(lián)想，既接受信息，又傳遞和加工信息數(shù)學(xué)中的有些概念它們的內(nèi)涵有相似之處，我們把這些概念進(jìn)行類比，從原有概念自然地引入新概念在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)典的類比很多，

15、例如：由“溫度計(jì)”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“數(shù)軸”；由 電 影票 上 都 標(biāo)有“第xx排第xx座”的字樣，得出“用一對有序?qū)崝?shù)確定點(diǎn)的位置”，進(jìn)而引入“平面直角坐標(biāo)系”；用學(xué)生熟悉的小學(xué)“分?jǐn)?shù)”類比“分式；用“兩點(diǎn)之間的距離”引入“點(diǎn)到直線的距離”等. 四、根據(jù)運(yùn)算間的關(guān)系引入新概念 有些與運(yùn)算相關(guān)的概念，常與另一些與運(yùn)算相關(guān)的概念之間存在著互逆或互反的關(guān)系如用有理數(shù)加法引入減法，用乘法引入除法 例如， 平方根概念的引入 已知正方形的面積為25 cm2 ，求這個正方形的邊長學(xué)生很容易知道，這個正方形的邊長是5 cm不要滿足結(jié)果,要引導(dǎo)學(xué)生體會這個過程中的運(yùn)算關(guān)系這個問題實(shí)質(zhì)上就是要找一個數(shù)，這個數(shù)的平方等

16、于25多舉幾個例子讓學(xué)生認(rèn)識到它的普遍性比如：已知一個正方形的面積是5，求這個正方形的邊長進(jìn)而歸納出“如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根” 五、通過操作實(shí)驗(yàn)引入新概念 數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握”數(shù)學(xué)概念是客觀事物、現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式在人們頭腦中的反映大多數(shù)數(shù)學(xué)概念在周圍環(huán)境中都有它們的現(xiàn)實(shí)原型，通過實(shí)驗(yàn)不僅可以幫助形成數(shù)學(xué)概念、探求數(shù)學(xué)命題，而且可能幫助發(fā)現(xiàn)解題途徑許多概念可以通過實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生去認(rèn)識、體會 例如，把一張紙對折，然后從折疊處剪出一個圖形，想一想展開后會是一個什么樣的圖形？引出“軸對稱圖形”的概念；在紙上滴幾滴墨水，把紙張對折，隨后

17、打開，看看形成的兩塊墨跡是不是關(guān)于折痕對稱？引出“軸對稱” 六、融入數(shù)學(xué)史，設(shè)置情境引入 數(shù)學(xué)教學(xué)是需要情境的，但是，什么樣的情境進(jìn)入課堂，不僅取決于教學(xué)內(nèi)容，也取決于教師的教育觀念，基于此，情境創(chuàng)設(shè)可以充分考慮數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的背景和發(fā)展的歷史用數(shù)學(xué)史作為素材創(chuàng)設(shè)問題情境，不僅有助于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，也有利于引發(fā)學(xué)生的情感體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在驅(qū)動力例如，在勾股定理的教學(xué)中，可以選取九章算術(shù)中的“折竹問題”：“今有竹高一仗，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”這樣可以激發(fā)學(xué)生愛數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)的熱情 座”的字樣，得出“用一對有序?qū)崝?shù)確定點(diǎn)的位置”，進(jìn)而引入“平面直角坐標(biāo)系”；用學(xué)生熟悉的小學(xué)“分?jǐn)?shù)”類比

18、“分式；用“兩點(diǎn)之間的距離”引入“點(diǎn)到直線的距離”等. 四、根據(jù)運(yùn)算間的關(guān)系引入新概念 有些與運(yùn)算相關(guān)的概念，常與另一些與運(yùn)算相關(guān)的概念之間存在著互逆或互反的關(guān)系如用有理數(shù)加法引入減法，用乘法引入除法 例如， 平方根概念的引入 已知正方形的面積為25 cm2 ，求這個正方形的邊長學(xué)生很容易知道，這個正方形的邊長是5 cm不要滿足結(jié)果,要引導(dǎo)學(xué)生體會這個過程中的運(yùn)算關(guān)系這個問題實(shí)質(zhì)上就是要找一個數(shù)，這個數(shù)的平方等于25多舉幾個例子讓學(xué)生認(rèn)識到它的普遍性比如：已知一個正方形的面積是5，求這個正方形的邊長進(jìn)而歸納出“如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根” 五、通過操作實(shí)驗(yàn)引入新概念 數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握”數(shù)學(xué)概念是客觀事物、現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式在人們頭腦中的反映大多數(shù)數(shù)學(xué)概念在周圍環(huán)境中都有它們的現(xiàn)實(shí)原型，通過實(shí)驗(yàn)不僅可以幫助形成數(shù)學(xué)概念、探求數(shù)學(xué)命題，而且可能幫助發(fā)現(xiàn)解題途徑許多概念可以通過實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生去認(rèn)識、體會 例如，把一張紙對折，然后從折疊處剪出一個圖形，想一想