數(shù)學思想方法在小學數(shù)學教學中的滲透

1、數(shù)學思想方法在小學數(shù)學教學中的滲透 石柱師范附小 陳世林數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，在教學過程中滲透數(shù)學思想方法，能提高教學效果，提高學生數(shù)學素養(yǎng)。數(shù)學教學有兩條線，一條是明線即數(shù)學知識的教學，一條是暗線即數(shù)學思想方法的教學。對于學習者來說，運用數(shù)學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種積累達到一定程度就會產(chǎn)生飛躍，從而上升為數(shù)學思想，一旦數(shù)學思想形成之后，便對數(shù)學方法起著指導作用。因此，人們通常將數(shù)學思想與方法看成一個整體概念數(shù)學思想方法。一 、什么是數(shù)學思想方法（可從兩方面認識）1、數(shù)學思想日本著名數(shù)學教育家米山國藏說過：“學生們所學到的數(shù)學知識，在進入社會后，幾乎沒有什么機會

2、應用，因而這種作為知識的數(shù)學，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用，使他們受益終身”。數(shù)學思想對數(shù)學知識和所使用的方法的本質(zhì)認識，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識。中小學數(shù)學教育、教學中傳授的數(shù)學思想，應該都是基本數(shù)學思想?；緮?shù)學思想：指從某些具體數(shù)學認識過程中提煉出的一些觀點，它在后繼認識中被反復證實其正確性，帶有一般意義和相對穩(wěn)定的特征。包括符號化思想、分類思想、集合思想、對應思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想，函數(shù)與方程思想，極限思想等。 2、數(shù)學方法數(shù)學方法是數(shù)學思想指導下的解決數(shù)學問題過程中所運用

3、的具體手段（或途徑）。具體點說是以數(shù)學語言為工具進行科學研究的方法。數(shù)學思想與數(shù)學方法既有區(qū)別又有密切的聯(lián)系。差異性：數(shù)學思想具有概括性和普遍性，而數(shù)學方法則具有操作性和具體性。數(shù)學思想是數(shù)學方法實施的依據(jù)，數(shù)學方法是數(shù)學思想得以實現(xiàn)的手段。同一性：表現(xiàn)在“數(shù)學思想與數(shù)學方法同屬方法論的范疇”它們有時是等同的。人們一般將數(shù)學思想與數(shù)學方法統(tǒng)稱為數(shù)學思想方法。二、小學數(shù)學教學中應滲透哪些基本數(shù)學思想方法。在數(shù)學領(lǐng)域中數(shù)學思想方法很多，每一種數(shù)學思想方法都閃爍著人類智慧的火花。但小學生的年齡特點決定有些數(shù)學思想方法他們不易接受，而且要想把那么多的數(shù)學思想方法都滲透給學生也不現(xiàn)實。因此，應該有選擇地

4、滲透一些數(shù)學思想方法。（一）符號化思想西方較早地在數(shù)學研究中引進了符號，十六世紀數(shù)學家韋達對數(shù)學符號作了很多改進，并且第一個有意識地系統(tǒng)地用字母表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)研究的重大拓展，奠定了符號代數(shù)的基礎(chǔ)，后來大數(shù)學家笛卡兒對韋達使用的字母又作了改進。什么是符號化思想呢？用符號化的語言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號）來描述數(shù)學的內(nèi)容，這就是符號化思想。1、符號化思想的含義人們有意識地、普遍地運用符號去概括、表述、研究數(shù)學；研究符號能夠生存的條件，即反復選擇用怎樣的符號才能簡潔、準確地反映數(shù)學概念的本質(zhì)，有利于數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展，且方便于打字、印刷等等；數(shù)學符號經(jīng)過人工篩選與

5、改造，形成一種約定的、規(guī)范的、形式化的系統(tǒng)。運用一套合適的符號，可以清晰、準確、簡潔地表達數(shù)學思想、概念、方法和法則，避免日常語言的繁復、冗長或含混不清，從而簡化數(shù)學運算或推理過程，加快數(shù)學思維的速度，促進數(shù)學思想的交流。如乘法分配律(ab)×ca×cb×c。這就把復雜的語言文字敘述用簡潔明了的字母公式表示出來，便于記憶、便于運用。正如華羅庚所說的“數(shù)學的特點是抽象，正因為如此，用符號表示就更具有廣泛的應用性與優(yōu)越性?！?小學數(shù)學中常用的數(shù)學符號l 元素符號：表示數(shù)和幾何圖形的符號。如：阿拉伯數(shù)字；表示數(shù)的字母，表示常數(shù)的字母；“”表示角，“”表示三角形等。l 運

6、算符號：如：、 ×、÷。l 關(guān)系符號：表示數(shù)、式、圖形或集合之間的關(guān)系的符號稱為關(guān)系符號。 如： =, , >, <等。l 性質(zhì)符號：表示數(shù)或形的性質(zhì)符號。如：正號“”負號“”。l 結(jié)合符號：如：( ) 等。3符號化思想在小學數(shù)學教材中的體現(xiàn)。 l 在概念的形成過程中，體現(xiàn)出數(shù)學符號對概念本質(zhì)反映的特點。l 在表示一些關(guān)系式時，滲透符號抽象、簡明、易記的特點。a+b=b+a S=abl 教學用字母表示數(shù)，體現(xiàn)代數(shù)式的特點a÷2、5 (b+c)、m、-44在教學中滲透符號化思想。 從概念的本質(zhì)揭示符號的意義。 10以內(nèi)數(shù)的認識。負數(shù)的認識。 適當介紹符號

7、的形成過程。 采取適宜方式，幫助學生理解用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系的概括性。（二） 方程思想1. 什么是方程思想？在解決問題時，將已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，通過適當設(shè)元建立方程，然后求解使問題得到解決的思維方式。方程思想是解決問題的重要思想方法2. 算術(shù)思維與方程思維的特點。算術(shù)思維 未知量、已知量地位不同。 思考過程往往是逆向的。 方程思維 未知量、已知量地位同等，便于分析數(shù)量關(guān)系。 具有形式化、一般化的特點。 思考過程往往是順向的。3.克服方程思維學習的障礙。(1)適當加強文字語言與代數(shù)式“互譯”的訓練。a列代數(shù)式。b說出代數(shù)式表示的具體含義。c設(shè)定字母，列代數(shù)式。(2)采用多種方法引導學生

8、找出等量關(guān)系。a直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。b半獨立寫等量關(guān)系。c設(shè)定未知量，列方程。（三）化歸思想1. 什么是化歸思想？將待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為另一個已解決或較易解決的問題的方法?；瘹w思想是數(shù)學家最擅長的思想方法?；瘹w是數(shù)學中最普遍使用的一種思想方法。它的核心是以可變的觀點對所要解決的問題進行變形，就是在解決數(shù)學問題時，不是對問題進行直接進攻，而是采取迂回的戰(zhàn)術(shù)，通過變形把要解決的問題，化歸為某個已經(jīng)解決的問題，從而求得原問題的解決。其基本思想是：將待解決的問題甲，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一個已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題乙，然后通過乙問題的解答返回去求得原問題甲的解答。這種化歸思想不

9、同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”、“轉(zhuǎn)換”，它具有不可逆轉(zhuǎn)的單向性。它的基本形式有：化難為易，化生為熟，化繁為簡，化整為零，化曲為直等。在小學數(shù)學中蘊藏著各種可運用化歸的方法進行解答的內(nèi)容，讓學生初步學會化歸的思想方法。2. 化歸思想常用的幾種方法。（1） 分割法：把要解決的問題分成若干個小問題，然后逐一求解，達到整個問題解決的方法。（2）變形法：對不易直接解決的問題，加以適當變形，實現(xiàn)由難到易的化歸，達到問題解決。（3）映射法：是指在兩類數(shù)學對象或兩個數(shù)學集合的元素之間建立某種“對應關(guān)系”，通過映射將原來的問題化歸為新問題，在解決新問題的同時，原問題也得以解決。3. 在小學數(shù)學教學中滲透化歸思想。&#

10、216; 明確滲透化歸思想的教材因素。 Ø 數(shù)與代數(shù)Ø 幾何圖形面積公式的推導注意在教學中滲透化歸思想。 注意應用化歸思想解決教學中的問題。如：教學圓面積的計算方法，這里要推導出圓面積公式，在推導過程中，采用把圓分成若干等份，然后拼成一個近似長方形，從而推導出圓的面積公式。這里把圓剪拼成近似長方形的過程，就是把曲線形化歸為直線形的過程。再如平面圖形面積的計算都是利用的化歸思想來解決問題的。（四）分類思想分類是根據(jù)教學對象的本質(zhì)屬性的異同按某種標準，將其劃分為不同種類，即根據(jù)教學對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類進行分析研究。分類是數(shù)學

11、發(fā)現(xiàn)的重要手段，在教學中，如果對學過的知識恰當?shù)剡M行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。1、滲透分類思想，培養(yǎng)分類的意識 每個學生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、書籍的分類等，我們利用學生的這一認識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學中來，在教學中進行數(shù)學分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如在五年級“方程的意義”教學中，學生對方程意義的理解就是通過式的二次分類建構(gòu)對“相等關(guān)系” 、“含有未知數(shù)”的理解，從而把握方程的特質(zhì)的。 教學時首先出示各種各樣的“式”，按照式子中有無等號可分為：有等號的式子和不含有等號的式子；按照式子中是否含有未知數(shù)又可分為：含有未知數(shù)和不含有

12、未知數(shù)的等式。進一步分別對每種情況中的第一類進行觀察，將他們分類，該如何進行？將有等號的式子按照式子中是否含有未知數(shù)，分成兩類：含有未知數(shù)的式子和不含有未知數(shù)的式子。將含有未知數(shù)的式子按照式子中是否有等號，分成兩類：有等號的式子和沒有等號的式子。此時，滿足方程的二要素便很清楚了：含有未知數(shù)、等式。 又如，數(shù)的整除中對自然數(shù)的分類：按自然數(shù)能否被2整除可分為奇數(shù)和偶數(shù)；根據(jù)自然數(shù)的約數(shù)的個數(shù)又可分為質(zhì)數(shù)、1和合數(shù)；而這正是本階段需要學生掌握的重點之一。通過分類，建構(gòu)了知識網(wǎng)絡，又突出了學習的重點。 結(jié)合式的分類、數(shù)的分類等教學內(nèi)容，反復滲透，強化數(shù)學分類思想，使學生逐步形成數(shù)學學習中的分類的意識

13、。并能在分類的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標準不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復等錯誤。如把自然數(shù)分為：合數(shù)、零和奇數(shù)，就是犯分類標準不一的錯誤。在確定對象和標準之后，還要注意分清層次，不越級討論。 2、學習分類方法，增強思維的縝密性在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解，所謂分類就是選取適當?shù)臉藴?，根?jù)對象的屬性，滿足互斥、無遺漏、最簡便的原則。讓學生認識不同的分類標準會有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的數(shù)學概念和數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)。掌握合理的分類方法，能夠幫助我們理清教學知識中許多“并聯(lián)”的問題。分類的方法常有以下幾種： （1）根據(jù)數(shù)學的概念進行分類有些數(shù)學概

14、念是分類給出的。因此在整理時也要分類復習。如：單名數(shù)和復名數(shù) ，這是按所帶計量單位的個數(shù)進行分類的，牢記分類的標準可以幫助我們掌握它們各自的特點。 （2）根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進行分類如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。如果以邊的長短關(guān)系，三角形可分為不等邊三角形和等邊三角形；等邊三角形又可分為正三角形和等腰三角形。 （3）根據(jù)探索的方向進行分類如：直線行程問題和環(huán)行行程問題，可以看出來他們在解決問題的方法上有相似性。（五）集合思想集合是近代數(shù)學中的一個重要概念。集合思想是現(xiàn)代數(shù)學思想向小學數(shù)學滲透的重要標志，在解決某些數(shù)學問題時，若是運用集合思想，可以使問題解決得更

15、簡單明了。集合論的創(chuàng)始人是德國的數(shù)學家康托，其主要思想方法可歸結(jié)為三個原則，即概括原則、外延原則、一一對應原則。英國數(shù)學家維恩最早使用了一種圖即可以用于表示任意的幾個集合，稱為“維恩圖”，用維恩圖表示集合，有助于探索某些數(shù)學題的解決思路。集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一對應思想等，作為數(shù)學思想方法的一種，在教學中是具有很大的指導意義。 1、集合概念在小學數(shù)學教學中的應用集合思想的概念在教學中是不必向?qū)W生作解釋的，教師主要指導學生看懂集合圖的意思，會根據(jù)集合圖來解題或者幫助解題。圖形本身直觀地應用了集合的表示方法圖示法，因此在小學低年級中運用這個方法對于教

16、學是很有幫助的。在認數(shù)教學中，教師要結(jié)合各種集合圖，可以是選用書本上的，也可以是選用一些生活中常見的事物自己畫。同時還可以反過來給學生一個數(shù)字，讓學生畫集合圖，這樣既可以讓學生開動腦筋發(fā)揮自己的想象，也可以讓學生更了解集合中的元素與基數(shù)概念的聯(lián)系。在日常教學中，教師還要讓學生理解一些用來描述集合的常用術(shù)語，如“一些”、“一堆”、“一組”、“一群”等。比如說，在小學數(shù)學教材分類中，就出現(xiàn)了這么一張圖，讓學生觀察，要求把玩具放一堆，文具放一堆，服裝鞋帽放一堆，這種把具有同一種屬性的東西放在一起，這就是集合的整體概念。在認識0-10的十一個數(shù)字中，每個數(shù)字都有一張相應的集合圖，也就是告訴學生，一個集

17、合中有幾個元素就用“幾”來表示。這就很形象的把集合中的元素與基數(shù)的概念有機的聯(lián)系起來。2、子集、交集、并集、差集、空集思想在小學數(shù)學教學中的應用（1）子集思想在小學數(shù)學教學中的應用教學數(shù)的大小這一問題時，就可以應用子集思想。試一試中,給出一些數(shù)，組成一個數(shù)的集合，元素有387、99、809、 345、1725、4300等。同時給出要求，先把給出的數(shù)分類，再比較大小。這把數(shù)分類就相當于是把整個數(shù)的集合中的元素，按要求分別把他們放入三個子集合中。對于這類問題，應用集合思想就能讓學生非常直觀、容易地理解。（2）交集思想在小學數(shù)學教學中的應用如有這么一道應用題：一個班有48人。班主任在班會上問：“誰做

18、完了數(shù)學作業(yè)？”這時有42人舉手。又問：“誰做完了語文作業(yè)？”這時有37人舉手。最后又問：“誰語文、數(shù)學作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。請問：這個班語文、數(shù)學作業(yè)都做完的有幾人？再如教學公約數(shù)、公倍數(shù)這一內(nèi)容時，也通常應用交集思想，（3）并集思想在小學數(shù)學教學中的應用在小學一年級的教材中，并集被用于說明加法的意義，如解決這個問題，一幅圖中小朋友左手里拿了兩只鉛筆，右手里拿了三只鉛筆，另一幅中小朋友把兩只手合在一起，就是把左手和右手中的鉛筆并在一起。235（只）還有1120各數(shù)的認識中，對于“11”,先把10根小棒捆成一捆，組成十位上的“1”，然后再數(shù)1根組成“11”了。同理在教學12、13、14

19、、15等數(shù)時，也都應該采用并集思想。又如，95? 教材中顯示把5根小棒分成1根和4根,把1根和9根結(jié)合在一起，組成十根捆在一起，作為十位上的“1”，這也運用了并集思想。4、差集思想在小學數(shù)學教學中的應用在小學一年級的教材中，差集被用于說明減法的意義。如樹上原有5個蘋果，被小朋友摘走2個，就剩下樹上（集合）的3個蘋果（元素）：523（個）又比如說還是本頁的“做一做”：圖中總共有5個圓圈，其中4個圓圈用線劃去，表示去掉的，就剩下541（個）了。在教材中一般用線劃去或虛線圈起來的都是要剪掉的部分.5、空集思想在小學數(shù)學教學中的應用空集表示這個集合沒有元素?？占枷氲膽弥饕霈F(xiàn)在教學“0”的時候，如

20、“小貓釣魚”，每只小貓的袋子表示集合，袋子里的魚表示元素。第一幅圖里，袋子里有三條魚，該集合里有3個元素；第二幅圖里，袋子里有兩條魚，該集合里有2個元素；第三幅圖里，袋子里有一條魚，該集合里有1個元素；第四幅圖里，袋子沒有魚，該集合中沒有元素，也就是空集。3、一一對應思想在小學數(shù)學教學中的應用一一對應思想在教材中體現(xiàn)的較多，在比較兩個集合所包含的元素的多少時就一定得用建立一一對應關(guān)系的方法來解決，同時，“一一對應”思想也是現(xiàn)代函數(shù)思想的基礎(chǔ)。一一對應思想在小學數(shù)學教材中主要以兩種形式呈現(xiàn)：第一種是比多少，第二種是由一個集合經(jīng)過對應法則得到另一個集合。（六）數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問

21、題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系與空間形式和諧結(jié)合在一起的方法。數(shù)形結(jié)合方法的實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來。這里的“數(shù)”指數(shù)學術(shù)語、數(shù)學符號、數(shù)學公式及用語言文字表現(xiàn)的數(shù)量信息和呈現(xiàn)方式；“形”不僅僅指幾何圖形，還包括各類圖像、實物類教學資源等形象材料，以及用這些材料呈現(xiàn)數(shù)學信息的方式。 數(shù)形結(jié)合的方法具有雙向性：借助“形”的生動和直觀性認識“數(shù)”，即以“形”為手段，“數(shù)”為目的；或借助于“數(shù)”精確和規(guī)范地闡明“形”的屬性，此時，“數(shù)”是手段。 以“形”助“數(shù)”?！靶巍钡膹V義性以及小學生數(shù)學學習中直觀形象思維的主導地位決定了大部分數(shù)學知識學

22、習需要“形”的支撐。 數(shù)學概念的建立借助“形”的直觀。由于概念的抽象與概括性，教學時要向?qū)W生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在數(shù)小棒、搭多邊形中認識整數(shù)，在等分圖形中認識分（?。?shù)；利用交集圖理解公因數(shù)與公倍數(shù)等等。同樣，運算的概念（如“除法”、“余數(shù)”）、數(shù)學術(shù)語（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的參與。 數(shù)學性質(zhì)的探索依賴“形”的操作。數(shù)學性質(zhì)是關(guān)于規(guī)律性的知識，應該讓學生自主探索發(fā)現(xiàn)，而形的操作有助于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如教學“3的倍數(shù)的特征”可作如下設(shè)計：讓學生用9根小棒擺出三位數(shù)，判斷是否是3的倍數(shù)；8根、6根呢？操作中學生發(fā)現(xiàn)，組成的三位數(shù)是否是3的倍數(shù)只與小棒的根數(shù)有關(guān)，而與擺的方式無關(guān)，根數(shù)就是各數(shù)位上數(shù)的和。又如，“分數(shù)的基本性質(zhì)”、“小數(shù)的性質(zhì)”可以讓學生在對圖形的等分中理解。 數(shù)學規(guī)則的形成需要“形”作材料。數(shù)學規(guī)則在小學主要是有關(guān)演算過程的具體實施方法。規(guī)則學習是學生技能形成的先導。讓學生明確規(guī)則的合理性、理解其推導過程的意義，不僅僅在于理解算理，更重要的在于學會學習，實現(xiàn)過程性目標。而數(shù)形結(jié)合能降低思維難度，讓學生有信心和能力歸納出法則。如“20以內(nèi)進位加法”是通過實物操作體會“湊十”的過程；分數(shù)乘法（如1