第3章 3.1 3.1.2 指數(shù)函數(shù)

1、.3.1.2指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)目的：1.理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法重點(diǎn)、難點(diǎn)2.能畫出詳細(xì)指數(shù)函數(shù)的圖象，并能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象說明指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)重點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)yaxa0，且a1叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.考慮：指數(shù)函數(shù)中為什么規(guī)定a0，且a1?提示1假如a0，當(dāng)x0時(shí)，ax恒等于0，沒有研究的必要；當(dāng)x0時(shí)，ax無意義；2假如a0，且a1.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a10a0時(shí)，y1；當(dāng)x0時(shí)，0y0時(shí)，0y1；當(dāng)x1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)3比較冪大小的方法1對于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個(gè)冪的大小，利用

2、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷2對于底數(shù)不同指數(shù)一樣的兩個(gè)冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的圖象的變化規(guī)律來判斷3對于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個(gè)冪的大小，那么通過中間值來判斷根底自測1考慮辨析1函數(shù)y2x是指數(shù)函數(shù)2函數(shù)y2x1是指數(shù)函數(shù)3函數(shù)y2x是指數(shù)函數(shù)4指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸上方解析1.因?yàn)橹笖?shù)冪2x的系數(shù)為1，所以函數(shù)y2x不是指數(shù)函數(shù)2.因?yàn)橹笖?shù)不是x，所以函數(shù)y2x1不是指數(shù)函數(shù)3.因?yàn)榈讛?shù)小于0，所以函數(shù)y2x不是指數(shù)函數(shù)4.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值域是0，所以指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸的上方答案12342指數(shù)函數(shù)yax與ybx的圖象如圖311所示，那么圖311Aa0，b0Ba0C0a1D0a1,0b1C

3、函數(shù)yax的圖象是下降的，所以0a1.應(yīng)選C.3函數(shù)fx的定義域是A，0B0，C，0D，A由12x0得2x1，根據(jù)y2x的圖象可得x0，選A.4a0，且a1，假設(shè)函數(shù)fx2ax4在區(qū)間1,2上的最大值為10，那么a_. 【導(dǎo)學(xué)號：60462204】或1假設(shè)a1，那么函數(shù)yax在區(qū)間1,2上是遞增的，當(dāng)x2時(shí)，fx獲得最大值f22a2410，即a27，又a1，a.2假設(shè)0a0且a1CyxDya2ax2函數(shù)ya22ax是指數(shù)函數(shù)，那么Aa1或a3Ba1Ca3Da0且a1思路探究根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷、求解解析1A中a的范圍沒有限制，故不一定是指數(shù)函數(shù)；B中yxaa0且a1中變量是底數(shù)，故也不是指數(shù)

4、函數(shù)；C中yx顯然是指數(shù)函數(shù)；D中只有a21，即a3時(shí)為指數(shù)函數(shù)2由指數(shù)函數(shù)定義知所以解得a3.答案1C2C規(guī)律方法1.判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法指數(shù)函數(shù)具有形式上的嚴(yán)格性，在指數(shù)函數(shù)定義的表達(dá)式中，要牢牢抓住四點(diǎn)：1底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)；2指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上；3ax的系數(shù)必須為1；4指數(shù)函數(shù)不會(huì)是多項(xiàng)式，如yax1a0且a1不是指數(shù)函數(shù)2某函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)值的方法1令底數(shù)大于0且不等于1，系數(shù)等于1列出不等式與方程2解不等式與方程求出參數(shù)的值提醒：要特別注意底數(shù)大于0且不等于1這一隱含條件跟蹤訓(xùn)練11假設(shè)函數(shù)fx是指數(shù)函數(shù)，且f29，那么fx_. 【導(dǎo)學(xué)號：6

5、0462205】2函數(shù)fx2a1x是指數(shù)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_13x21，1由題意設(shè)fxaxa0且a1，那么f2a29，又因?yàn)閍0，所以a3，所以fx3x.2由題意可知解得a且a1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，指數(shù)函數(shù)的定義域和值域1求以下函數(shù)的定義域和值域：y；y；y4x2x12.2求函數(shù)y2xx2的值域與單調(diào)區(qū)間 思路探究12指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與值域用換元法將其化為指數(shù)函數(shù)解1要使函數(shù)式有意義，那么13x0，即3x130，因?yàn)楹瘮?shù)y3x在R上是增函數(shù)，所以x0，故函數(shù)y的定義域?yàn)椋?因?yàn)閤0，所以03x1，所以013x0，所以4x2x122x222x22x1211

6、12，即函數(shù)y4x2x12的值域?yàn)?，2令t2xx2，那么yt，而tx1211，所以yt，故所求函數(shù)的值域?yàn)?因?yàn)閥2xx2t，由于二次函數(shù)t2xx2的對稱軸為x1，可得函數(shù)t在，1上是增函數(shù)，函數(shù)y在，1上是減函數(shù)，故函數(shù)y的減區(qū)間是，1函數(shù)t在1，上是減函數(shù)，函數(shù)y在1，上是減函數(shù)，故函數(shù)y的增區(qū)間是1，規(guī)律方法1.函數(shù)yafx的定義域、值域的求法1函數(shù)yafx的定義域即yfx的定義域2函數(shù)yafx的值域的求法如下：換元，令tfx；求tfx的定義域xD；求tfx的值域tM；利用yat的單調(diào)性求yat，tM的值域2復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題，求出內(nèi)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間結(jié)合外函數(shù)的單

7、調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定其單調(diào)性提醒：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意對底數(shù)的討論跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)yfx12axa2xa11求函數(shù)fx的值域；2假設(shè)x2,1時(shí)，函數(shù)fx的最小值為7，求a的值和函數(shù)fx的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號：60462206】解設(shè)axt0，所以yt22t1t122.1因?yàn)閠10，所以yt22t1在0，上是減函數(shù)，所以y1，所以t，由t1，所以yt22t1在上是減函數(shù)，a22a17，所以a2或a4不合題意，舍去，當(dāng)t時(shí)y有最大值，即ymax221.指數(shù)函數(shù)的圖象探究問題1指數(shù)函數(shù)yaxa0且a1的圖象過哪一定點(diǎn)？函數(shù)fxax12a0且a1的圖象又過哪一定點(diǎn)呢？提示：法一：平移法ya

8、x過定點(diǎn)0,1，將函數(shù)yax向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到y(tǒng)ax12，此時(shí)函數(shù)yax圖象過定點(diǎn)1,3法二：解方程法指數(shù)函數(shù)yaxa0且a1的圖象過定點(diǎn)0,1；在fxax12中令x10，即x1，那么fx3，所以函數(shù)fxax12a0且a1的圖象過定點(diǎn)1,32指數(shù)函數(shù)yaxa0且a1的圖象可能在第三或第四象限嗎？為什么？提示：不可能因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)yaxa0且a1的定義域是，值域是0，這就決定了其圖象只能在第一象限和第二象限3從左向右，指數(shù)函數(shù)yaxa0且a1的圖象呈上升趨勢還是下降趨勢？其圖象是上凸還是下凸？提示：當(dāng)0a0且a1的圖象從左向右呈下降趨勢；當(dāng)a1時(shí)，指數(shù)函數(shù)yaxa0且a1的圖

9、象從左向右呈上升趨勢指數(shù)函數(shù)的圖象下凸1在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yax，yxa的圖象，可能正確的選項(xiàng)是2函數(shù)ya|x|0a1的圖象是思路探究1分a1和0a1兩種情況分類討論，結(jié)合排除法解題；2根據(jù)函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和函數(shù)的最值，以及函數(shù)的凹凸性即可判斷解析1a為直線yxa在y軸上的截距，對應(yīng)函數(shù)yxa單調(diào)遞增，又當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)yax單調(diào)遞增，當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)yax單調(diào)遞減，A中，從圖象上看，yax的a滿足a1，而直線yxa的截距a1，不符合以上兩條；B中，從圖象上看，yax的a滿足0a1，而直線yxa的截距a1，不符合以上兩條；C中，從圖象上看，yax的a滿足a1，而函數(shù)yxa單調(diào)遞減，不符合

10、以上兩條，只有選項(xiàng)D的圖象符合以上兩條，應(yīng)選D.2ya|x|x|，易知函數(shù)為偶函數(shù)，0a1，1，故當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為1，且指數(shù)函數(shù)為凹函數(shù)，應(yīng)選A.答案1D2A規(guī)律方法1.可用指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)0,1，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、值域等處理指數(shù)函數(shù)的圖象問題2要求指數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點(diǎn)時(shí)，只需令指數(shù)為0，求出對應(yīng)的y的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系1在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小2在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小3無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)

11、針方向變大這一性質(zhì)可通過x取1時(shí)函數(shù)值的大小關(guān)系去理解，如圖312所示的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的大小關(guān)系為0dc1ba.圖312跟蹤訓(xùn)練3假設(shè)曲線|y|2x1與直線yb沒有公共點(diǎn)，那么b的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號：60462207】1,12x0，所以2x11，即|y|1，又因?yàn)榍€|y|2x1與直線yb沒有公共點(diǎn)，所以1b1.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1假設(shè)函數(shù)fx是指數(shù)函數(shù)，且f22，那么fxAxB2xCxDxA由題意，設(shè)fxaxa0且a1，那么由f2a22，得a，所以fxx.2當(dāng)x2,2時(shí)，y3x1的值域是 【導(dǎo)學(xué)號：60462208】A. B.C. D.Ay3x1，x2,2是減函數(shù)，321y321，即b，那么a，b的大小關(guān)系為_ab，所以ab，而函數(shù)yx是R上的減函數(shù)故a0且a1的圖象恒過定點(diǎn)Pm,2，那么mn_.3令2x40，即x2，fx1n.mn3.5fx9x23x4