平穩(wěn)時(shí)間的序列模型及其特征

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案第一章平穩(wěn)時(shí)間序列模型及其特征第一節(jié)模型類型及其表示一、自回歸模型(AR)由于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)慣性的作用，經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列往往存在著前后依存關(guān) 系。最簡(jiǎn)單的一種前后依存關(guān)系就是變量當(dāng)前的取值主要與其前一時(shí) 期的取值狀況有關(guān)。用數(shù)學(xué)模型來(lái)描述這種關(guān)系就是如下的一階自回 歸模型：Xt= ©Xt-i+ s(2.1.1 )常記作AR(1)。其中 Xt為零均值(即已中心化處理)平穩(wěn)序列，©為Xt對(duì)Xt-1的依賴程度，s t為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)序列(外部沖擊)。如果Xt與過(guò)去時(shí)期直到Xt-p的取值相關(guān)，則需要使用包含 Xt -1 , Xt-p在內(nèi)的p階自回歸模型來(lái)加以刻畫。P階自回歸模型的一

2、般形式為：Xt= ©i Xt-1+ ©2 Xt-2+ + ©p Xt-p+ s(2.1.2 )為了簡(jiǎn)便運(yùn)算和行文方便，我們引入滯后算子來(lái)簡(jiǎn)記模型。設(shè)B為滯后算子，即 BXt=Xt-1,貝“ B(Bk-1Xt)=BkXt=Xt-kB(C)=C(C 為常數(shù))。利用這些記號(hào)，(2.1.2 )式可化為：Xt= © 1 BXt + ©2B2Xt+ ©3B3Xt+ + ©p BpXt+ s從而有：(1- © 1B- ©2B2- - ©pBp) Xt = s記算子多項(xiàng)式©( B) = ( 1- &#

3、169;1B- ©2B2- - ©pBP)，則模型可以表示成©(B) Xt= s(2.1.3)例如，二 階自回歸模型 Xt=0.7X t-i +0.3X t-2 +0.3X t-3+ st可寫成(1-0.7B-0.3B 2)Xt= s二、滑動(dòng)平均模型(MA )有時(shí)，序列Xt的記憶是關(guān)于過(guò)去外部沖擊值的記憶，在這種情況下，Xt可以表示成過(guò)去沖擊值和現(xiàn)在沖擊值的線性組合，即Xt=s-01s-1-02St-2 -0qs-q(2.1.4)此模型常稱為序列Xt的滑動(dòng)平均模型，記為 MA(q),其中q為滑 動(dòng)平均的階數(shù)，0 i, 020為參滑動(dòng)平均的權(quán)數(shù)。相應(yīng)的序列 Xt稱

4、為滑動(dòng)平均序列。使用滯后算子記號(hào)，(2.1.4 )可寫成Xt= (1- 01B- 02B2-0qBq) qt= 0(B) s(2.1.5)三、自回歸滑動(dòng)平均模型如果序列 Xt的當(dāng)前值不僅與自身的過(guò)去值有關(guān)，而且還與其 以前進(jìn)入系統(tǒng)的外部沖擊存在一定依存關(guān)系，則在用模型刻畫這種動(dòng) 態(tài)特征時(shí)，模型中既包括自身的滯后項(xiàng)，也包括過(guò)去的外部沖擊，這 種模型叫做自回歸滑動(dòng)平均模型，其一般結(jié)構(gòu)為：Xt= © 1Xt-1+©2Xt-2 +©pXt-p + s-01s-1 -02s-2 -0q&-q(2.1.6)簡(jiǎn)記為ARMA(p, q)。利用滯后算子，此模型可寫為(2.1

5、.7)©(B) Xt= 0(B) st第二節(jié)線性時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性、可逆性和傳遞性首先介紹兩個(gè)概念。序列的傳遞形式：設(shè) Yt為隨機(jī)序列，&為白噪聲，若 Yt可表示為：Yt= a+G 1 8-1 +G 2 St-2 + +G k St-k + - =G(B) a且|Gk|，則稱 Yt具有傳遞形式，此時(shí) Yt是平穩(wěn)的。1系數(shù)Gk稱為格林函數(shù)。它描述了系統(tǒng)對(duì)過(guò)去沖擊的動(dòng)態(tài)記憶 性強(qiáng)度。序列的逆轉(zhuǎn)形式：若 Yt可表示為：a= Yt- ni Yt-i - n Yt-2 - - nk Yt-k- = x(B) Yt且| k|，則稱 Yt具有逆轉(zhuǎn)形式(或可逆形式)1MA模型1. MA模型

6、本身就是傳遞形式。2. MA(q)總是平穩(wěn)的(由上一章的例)，MA (乂)在系數(shù)級(jí)數(shù)絕 對(duì)收斂的條件下平穩(wěn)。3. MA(q)模型的可逆性條件。先以MA (1) (Yt= a- 01 a-1)為例進(jìn)行分析。MA(1)的可逆性條件為：| 1 1。如果引入滯后算子表示MA(1)，則 Yt二(1- 0iB)et，可逆條件 | 1 1 等價(jià)于 B(B)=1- 0iB=0的根全在單位圓外。對(duì)于一般的MA(q)模型，利用滯后算子表示有：Yt= (1- 01B- 02B2- - 0qBq) et = 0(B) a其可逆的充要條件是：0(B) =0的根全在單位圓外(證明見(jiàn)Box-Jenkins , P79)。在

7、可逆的情況下，服從MA(q)模型的序列可以表示成無(wú)窮階的AR模型：0-1 (B)Yt二 aMA(q)的可逆域：使0(B) =0的根全在單位圓之外的系數(shù)向量(01 , 02 , ,0)所形成的集合。例：求MA(2)的可逆域。解：由Yt t 1 t1 2 t 2，其特征方程為:(B)該方程的兩個(gè)根為:由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，有當(dāng)MA (2)平穩(wěn)時(shí)，根的模| 1與2都必須大于1，因此必有:由根與系數(shù)的關(guān)系，可以推出如下式子：1 12 1 1 (1 )(1 一)1 21 12 1 1 (1 )(1 )1 2由于1、2是實(shí)數(shù)，1與2必同為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。又因?yàn)閨 j| 1， 因此1丄0i故1 12 1

8、 1 (1 )(1 ) 11 2反之，如果| 2 1，且2 1 1。那么從| 21可以推出至1 2少有一個(gè)1 i 1，例如，假設(shè)1 11，則根據(jù)1 (1丄)(1丄)1可推出1 2(1丄)(1 丄)0,由1丄 0可以推出1 丄 0,從而| 2 1。因此，1 2 1 2(B) 11B 2B20的根在單位圓之外。(平穩(wěn)域?yàn)橐蝗切?。AR模型1. AR(P)模型本身就是一種逆轉(zhuǎn)形式。2. 平穩(wěn)性。先以 AR(1)( Yt=1Yt-1 + st),進(jìn)行分析AR(1)平穩(wěn)的條件為| i 1 ,它等價(jià)于(B)=1- iB=0的根在單 位圓外。3、在平穩(wěn)的情況下，AR(1)有傳遞形式：(1- iB) Yt=

9、必tij t j1 i Bj o一般地，對(duì)于AR(P)模型：(B) Yt= a，序列 Yt平穩(wěn)的充要條 件是：(B)=0的根全在單位圓外。此時(shí)，Yt有傳遞形式：Yt= -1(B) aAR(P)的平穩(wěn)域：使(B)=0的根全在單位圓外的 AR系數(shù)向量 (1 ,2 , ,p ,)的全體形成的集合。練習(xí)：求AR(1)與AR(2)的平穩(wěn)域。三、ARMA (p,q )模型1、平穩(wěn)性與傳遞形式首先考察 ARMA(1 , 1)的平穩(wěn)性： YtYt-1 = a - ® a-1Yt平穩(wěn) m |01 |< 1 (與AR (1 )的平穩(wěn)域相同)此結(jié)論表明，ARMA (1,1 )序列的平穩(wěn)性僅與自回歸系

10、數(shù)有關(guān)， 而與滑動(dòng)平均系數(shù)無(wú)關(guān)。而且平穩(wěn)條件與 AR (1)的平穩(wěn)條件相同。 在平穩(wěn)的條件下，Yt有上述形式的傳遞形式。一般地，服從ARMA (p,q )模型的序列Yt平穩(wěn)的充要條件是： 0 ( B) =0的根全在單位圓外。在平穩(wěn)的條件下，Yt有傳遞形式 Yt =滬(B)B(B)2、可逆性對(duì)于ARMA (1,1),假定可逆形式為&二 n(B) Yt= (1 - iB zB2k；B k )¥代入ARMA (1,1 )的滯后算子表示形式，采用類似前面的方法， 比較同次冥系數(shù)可得st= Yt (巾1) Yt-1 fi (©1 1) Yt-21臚(©1 1)Yt-

11、 k -根據(jù)前面的定義(可逆性定義)，應(yīng)有丨© 1 |< 1。因此，ARMA (1,1 )可逆的條件是|© 1 | < 1，它僅與滑動(dòng)系 數(shù)有關(guān)，而與自回歸系數(shù)無(wú)關(guān)。而且可逆條件與 MA (1 )的可逆條 件相同。一般地，服從ARMA (p,q )模型的序列Yt,其具有可逆性的條 件是：0(B) =0的根全在單位圓外。在可逆的條件下， Yt的逆轉(zhuǎn) 形式為 &二 0-1 (B)©(B) Yt3、傳遞性與可逆性的重要意義精彩文檔第三節(jié)線性時(shí)間序列模型的自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)1、MA ( q )模型的自相關(guān)函數(shù)設(shè) Yt服從:qYt = 0

12、(B)St=St -®St-1q Qt-q= 0ja-j ,00=j 0則 Yt 的s階自協(xié)方差函數(shù)為：qY =0j 0s+j a"2q上式表明，MA (q)模型的記憶僅有q個(gè)時(shí)段，Yt的自協(xié)方差函數(shù)或自相關(guān)函數(shù)(ACF) q步截尾。這是 MA (q )模型的典型特MA (q)的典型特征：p s在q步截尾。 AR (p)模型的自相關(guān)函數(shù)首先考察AR (1 ) (Yt=扣丫t-1+ a )的自相關(guān)函數(shù)的特征。j o=J(a(000s+010s+1 +0q-s0q)(sWq)(00= -1)0(s>q)由上式，有 Y=( 1+ 012+ + 0q2)1s 1 s 1 2

13、1故 Yt的自相關(guān)函數(shù)(ACF)為：q s qYt的自協(xié)方差函數(shù)為：Ys二Cov(Y t, Yt+s) = ©1 ys-1從而 y= ©1 Y-1 = ©12 u-2 =二 ©1s Y0自相關(guān)函數(shù)(ACF)為：ps= Y3 /y°= ©1s當(dāng)丨© 1 |< 1 ,ps >0,即自相關(guān)函數(shù)p s隨s的增大而衰 減至零。這種現(xiàn)象稱為拖尾性。對(duì)于一般的AR (p ),序列的自相關(guān)函數(shù)的特征分析如下：設(shè)Yt= ©1Y t-1 + ©2Yt-2 + + ©p Yt-p + a= ©(

14、B) Yt+ a則自協(xié)方差函數(shù)：Ys= ©1 Ys-1 + ©2 Y-2 + .+ ©p Ys-p這是一個(gè)關(guān)于 s 的線性差分方程。上式兩邊同除Y0，得關(guān)于自相關(guān)函數(shù)(ACF)的線性差分方程。ps= © 1 ps-1 + ©2 ps-2 + + ©p ps-p在AR(p)平穩(wěn)的條件下，©(B)=0有p個(gè)在單位圓外的根a 1、a，, a。根據(jù)線性差分方程解的有關(guān)理論，自相關(guān)函數(shù)( ACF)服從的 線性差分方程© (B) ps=0的通解為：ps=c 1 a-s+ c 2 a-s + + c p a-s由于|aj |&g

15、t; 1，因此ps將按指數(shù)衰減(實(shí)根情形)或正弦振蕩衰減(復(fù)根情形)。這種特性稱為AR (p)的拖尾性。AR (p )的典型特征是：p s拖尾(衰減)3、ARMA (p,q )的自相關(guān)函數(shù)設(shè)ARMA (p,q )的形式為：Yt= ©lYt-1 + ©2丫t-2 + + ©pYt-p + St 6 &-1q Qt-q則Yt的s階自協(xié)方差函數(shù)為：Y = © 1 Y-1 + ©2 y-2 + + ©p y-p+E(Yt s+s) 1E(Yt s+s-1 ) 6 qE(Yt S+S-q ) 當(dāng)0 <s<q時(shí)， St+S ,

16、£t+s-1，&+S-q 中有一部分位于t時(shí)刻以前(t+ s-i <t虧i <0), Yt與這一部分外部沖擊有關(guān)，從而ys除了受自回歸系數(shù)的影響外，還受一部分滑動(dòng)平均系數(shù)的影響。 當(dāng) s>q 時(shí)，s-q >0, t+s-q > t, 從而 £t+S , S+S-1 ,S+S-q 全在t時(shí)刻以后，由于Yt與未來(lái)的外部沖擊不相關(guān)，因此 Y中后面 的項(xiàng)全為零。Y= ©1 y-1 + ©2 ys-2 + .+ ©p Y_P它只同自回歸系數(shù)有關(guān)。兩邊同除 Y，得 P s= ©1 ps-1 + ©2

17、 ps-2 + + ©p ps-p(s > q)即ARMA (p,q )的自相關(guān)函數(shù)(ACF)在s>q時(shí)，與AR (p) 的自相關(guān)函數(shù)所滿足的線性差分方程完全相同。借用前面關(guān)于AR (p)的自相關(guān)函數(shù)特征的討論可知，ARMA (p,q )的自相關(guān)函數(shù)(ACF)在q以后隨s的增長(zhǎng)按指數(shù)衰減或以 正弦振蕩衰減，即仍體現(xiàn)出拖尾特征。二、偏自相關(guān)函數(shù)從前面的自相關(guān)函數(shù)的討論中可看出，自相關(guān)函數(shù)的截尾性是MA (q)的獨(dú)有特征，但自相關(guān)函數(shù)的拖尾性卻是 AR(p)與ARMA(p,q )共有的特征，盡管ARMA (p,q )的自相關(guān)函數(shù)在q階后開(kāi) 始按指數(shù)衰減或以正弦振蕩衰減，但這還

18、不足于區(qū)別AR( p )與ARMA ( p,q )，因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中很難區(qū)分是否是從 q階開(kāi)始衰減 的。因此，還需尋找序列的其他統(tǒng)計(jì)特征。這就是偏自相關(guān)函數(shù)的特 征。設(shè) Yt是一隨機(jī)序列，所謂Yt的s階偏自相關(guān)系數(shù)，是指扣出 中間s-1個(gè)項(xiàng)的影響之后，Yt與Yt+s的相關(guān)系數(shù)。為了考察偏自相關(guān) 函數(shù)的特性，我們分析如下：設(shè) Yt是一零均值平穩(wěn)序列，我們?cè)O(shè)想用 Yt-i , Yt-2，Yt- s 的s階自回歸模型去擬和Yt,即建立如下模型：Yt= ©si Yt-i + 機(jī)2Yt-2 + + ©ssYt-s+ e t 其中et為誤差項(xiàng)。估計(jì)模型的常用方法是最小二乘法，即選擇&#

19、169;si , ©s2，©ss使s模型的殘差方差Q=E (Yt- ©Sj Yt- j ) 2=Eet2達(dá)到最小。根據(jù)極值條j i件應(yīng)有:Q / ©Sj =0（j=1 , 2，s）據(jù)此，可推出© si , ©s2，©ss所滿足的方程為s 1s11s 2s22ssss其中pk (k=1 ,，s)為Yt的k階自相關(guān)系數(shù)。此方程組稱為Yule-Walker 方程?？梢宰C明，© ss是在給定Yt-i , Yt-2，Yt-s+i的條件，Yt和Yt- S之間的條件相關(guān)系數(shù)，即偏相關(guān)系數(shù)。©ss就為 Yt 的偏相關(guān) 函數(shù)。要考察 Yt服從自回歸過(guò)程的情況下，偏自相關(guān)函數(shù)的特征， 就需要由Yu