零點存在與判定

1、第9煉 零點存在的判定與證明一、根底知識：1函數(shù)的零點：一般的，對于函數(shù) y f x，我們把方程f x 0的實數(shù)根X。叫作函數(shù) y f x的零點。2、零點存在性定理：如果函數(shù) y f x在區(qū)間a,b上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有fa f b 0 ,那么函數(shù)y f x在區(qū)間a,b內(nèi)必有零點，即x0 a,b，使得 f x00注：零點存在性定理使用的前提是f x在區(qū)間a,b連續(xù)，如果f x是分段的，那么零點不一定存在3、函數(shù)單調(diào)性對零點個數(shù)的影響：如果一個連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點至多有一個。因此分析一個函數(shù)零點的個數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)4、 幾個“不一定與“一定假設(shè)f x在區(qū)間a

2、,b連續(xù)1假設(shè)fa f b 0，貝U f x “一定存在零點，但“不一定只有一個零點。要分析f x的性質(zhì)與圖像，如果 f x單調(diào)，那么“一定只有一個零點2假設(shè)fa f b 0,那么f x “不一定存在零點，也“不一定沒有零點。如果f x單調(diào)，那么“一定沒有零點3如果f x在區(qū)間a,b中存在零點，貝U f a f b的符號是“不確定的，受函數(shù)性質(zhì)與圖像影響。如果 f x單調(diào)，那么fa f b 一定小于05、 零點與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號：f x是一個在 a,b單增連續(xù)函數(shù)，x x0是f x 的零點，且 x0 a,b，那么 xa,x0 時，f x 0； x x0,b 時，f x 06、判斷函數(shù)

3、單調(diào)性的方法：1可直接判斷的幾個結(jié)論： 假設(shè)f x ,g x為增減函數(shù)，那么 f x g x也為增減函數(shù) 假設(shè)f x為增函數(shù)，那么f x為減函數(shù)；同樣，假設(shè) f x為減函數(shù)，那么f x為增函數(shù)假設(shè)f x ,g x為增函數(shù)，且fx,gx 0,那么fx gx為增函數(shù)2復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：判斷 y f g x的單調(diào)性可分別判斷t g x與y ft的單 調(diào)性注意要利用 x的范圍求出t的范圍，假設(shè)t g x ， y f t均為增函數(shù)或均為減 函數(shù)，那么y f g x 單調(diào)遞增；假設(shè)t g x ，y f t 一增一減，那么y f g x 單 調(diào)遞減此規(guī)律可簡記為“同增異減3利用導數(shù)進行判斷一一求出單調(diào)區(qū)間從而

4、也可作出圖像7、證明零點存在的步驟：1將所證等式中的所有項移至等號一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)2判斷是否要對表達式進行合理變形，然后將表達式設(shè)為函數(shù)f x3分析函數(shù)f x的性質(zhì)，并考慮在范圍內(nèi)尋找端點函數(shù)值異號的區(qū)間4利用零點存在性定理證明零點存在例1：函數(shù)f x ex 2x 3的零點所在的一個區(qū)間是11 13A.-,0B0,c.,1D.1,22 22思路:函數(shù)fx為增函數(shù),所以只需代入每個選項區(qū)間的端點，判斷函數(shù)值是否異!即可111 1解：f2e22-3 40， f 02、e20f 1e213,e 2022f 1e 23e110f 一 f 10X。1丄,1 ，使得f x022答案:C例2：函數(shù)fxI

5、nx1x的零點所在的大致區(qū)間是A.1,3B.-,2C.2,eD.e,22思路：先能判斷出 f X為增函數(shù),然后利用零點存在性判定定理，只需驗證選項中區(qū)間端點函數(shù)值的符號即可。1 時，In x 1， 從而f X3131,，使得 f x003In130，所以 x0222答案：A小煉有話說：1此題在處理X1時，是利用對數(shù)的性質(zhì)得到其In x 1的一個趨勢,從而確定符號。那么處理零點問題遇到無法計算的點時也要善于估計函數(shù)值的取向。2此題在估計出x 1時，In x 1后，也可舉一個具體的函數(shù)值為負數(shù)的例子來說明，比方f 1.11.1 In -100。正是在已分析清楚函數(shù)趨勢的前提下，才能保證快速找到適宜

6、的例子。例3:2021，浙江已知x0是函數(shù)f x2X1的一個零點，假設(shè)1 Xx11,X ,X2x,，那么A. fx10, f x20B.f x10,fx20C. fx10, f x20D.f X10,fx20思路：條件給出了 f X的零點,且可以分析出f X 在 1,為連續(xù)的增函數(shù)，所以結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得f x1f X0,f X2fX 0答案：B例4:函數(shù)f XI0gaXXb a 0,a1，當2a 3b 4時，函數(shù)f x的零點：x0n,n 1 ,nN ，那么n思路：由a的范圍和fX解析式可判斷出 fx為增函數(shù)，所以X0是唯一的零點?？紤]f 3loga 3 3bIoga334 Ioga31 0f

7、2loga2 2 bIOga223 Ioga 2 10，所以 X。2,3，從而n 2答案：n 2例5:定義方程fXfX的實數(shù)根x0叫做函數(shù)f X的“新駐點，假設(shè)思路：可先求出g x ,h x , x ，由“新駐點的定義可得對應(yīng)方程為：x1,lnx 113,x 13x2,從而構(gòu)造函數(shù)x 11g1xx 1,h XIn x 131 Xx3x21，再利用零點存在性定理判x1斷JJ的范圍即可解:1g1x 1,h x1 “ Jx3x2x 11 3,x所以J,分別為方程x 1,lnx 11 3x2的根，即為函數(shù)：x 1g1xx 1,h xInx 114!,1 xx3 3x21的零點x 11Vh, 010h

8、1In2120h1 0h| 100,111x3x2 6x3x x21x在0,2單調(diào)減，在,0 , 2,單調(diào)增而1 01 0,x,2時，1 x0,而 1 415 0g x x,h x In x 1x x31的“新駐點分別為，那么A.B.C.D.,2,402,4答案：C例6 :假設(shè)函數(shù)f(x)的零點與g xIn x 2x 8的零點之差的絕對值不超過0.5，那么f (x)可以是A. f (x) 3x 6B. f(x) (x 4)25C. f(x) ex 1 1D. f (x) ln(x ?)g x的零點所在區(qū)間即可思路：可判斷出 g x單增且連續(xù)，所以至多一個零點，但g x的零點無法直接求出，而各選

9、項的零點便于求解，所以考慮先解出各選項的零點，再判斷解：設(shè)各選項的零點分別為xA,xB,xC,xD，那么有xA 2,xB 4,xC 1,xD -2Xo,3,4g Xoo7 g -=ln -1oXo3,7，所以C選項符合條件222答案：C例7：設(shè)函數(shù)fxX e2x 4,g xIn x2x25，假設(shè)實數(shù)a,b分別是f x ,g x的零點，那么A. ga ofbB. f b0 g ac. og afbD. f bg a 0思路：可先根據(jù)零點存在定理判斷出a,b的取值范圍：f 030,f 1 e 2 4 0，從而a o,1；g 13o,g2 In23 o，從而b 1,2，所以有o a1 b2，考慮o

10、fag b ，且發(fā)現(xiàn) f x ,gx為增函數(shù)。進而g ag bo,f bf ao，即g ao 1f b答案：A8,可得：g 3對于g x Inx2 0,g 4 In4 02xln3例&定義在 1,上的函數(shù)fIn x 2，求證：f x存在唯一的零點，且零點屬于3,4思路：此題要證兩個要素：一個是存在零點，一個是零點唯一。證明零點存在可用零點存在性定理，而要說明唯一，那么需要函數(shù)的單調(diào)性解：1 fx 1 1Xx 1x 1,X1 fX0f X在1,+單調(diào)遞增/f31 In30, f 42 In2 0f3f 40Xo3,4，使得 f Xo0因為f x單調(diào)，所以假設(shè)xo3,4 ,x0xo，且f X00

11、f xo那么由單調(diào)性的性質(zhì)： Xo Xo與題設(shè)矛盾所以f X的零點唯一f X2 ，小煉有話說：如果函數(shù)f X在a,b單調(diào)遞增，那么在a,b中，x1 x2f x1即函數(shù)值與自變量一一對應(yīng)。在解答題中常用這個結(jié)論證明零點的唯一性例9：2021年，天津a 0，函數(shù)fx In x axf x的圖像連續(xù)不斷1求f x的單調(diào)區(qū)間2當 a8時，證明：存在Xo2,+，使得fXo解：1fc 22ax2思路:由解得：X單調(diào)遞減,在0,在單調(diào)遞增1可得f X在0,2單調(diào)遞減，在2,單調(diào)遞增，從而從圖像上看3必然會在 2,存在x0使得f x0f -，但由于是證明題，解題過程要有理有據(jù)。所2以可以考慮將所證等式變?yōu)閒

12、x03f 20，構(gòu)造函數(shù)gX fX3f -，從而只2需利用零點存在性定理證明 g X有零點即可。解：設(shè)g X f XX在0,2單調(diào)遞減，在2,單調(diào)遞增3g2f2 f021 2r 3r 33_9_g XIn xXf,fIn822232g100In 1001250In?9因為 In 100 1250 0232由1可得：當a -時,8g 2 g 1000 根據(jù)零點存在性定理可得:g 1000X。2,100，使得 g xof xo f -023 即存在Xo2,+ ，使得f Xof2小煉有話說：1在證明存在某個點的函數(shù)值與常數(shù)相等時，往往可以將常數(shù)挪至函數(shù)的一 側(cè)并構(gòu)造函數(shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化成為證明函數(shù)存

13、在零點的問題。2此題在尋找g X小于零的點時，先觀察g X 表達式的特點13 1gX lnX 8x2f 2，意味著只要X取得足夠大，早晚8x2比lnX要大的多，所以只需要取較大的自變量便可以找到0的點。選擇x 100也可，選擇x 10,271等等也可以。例10:函數(shù)f Xalnx a，其中常數(shù)a0，假設(shè)f x有兩個零點Xi,X2 0 Xi X2 ，求證:x81x2a思路：假設(shè)要證零點位于某個區(qū)間，那么考慮利用零點存在性定理，即證f 1 f a0，即只需判斷1-,f 1 , f a的符號，可先由f x存在兩個零點判斷a出a的取值范圍為a e，從而f1e a0，只需將f1 af a視為關(guān)于a的函數(shù),再利用函數(shù)性質(zhì)證明均大于零即可。解：fXaln xa 0aX eX1x eln x 1e令XX e1XX elnx 18Xln x1ln x 12設(shè)gXIn x1 8， X可得g X為增函數(shù)且g 10X0,1 U8,1 時,g x01X0x 1, 時，g x 0 x 01 1x在0, , ,1單調(diào)遞減，在 1,單調(diào)遞增e e1所以在x ,， 乂尬山1 ee/ f x有兩個零點a e f 1 e a 0f aea alna af aea l n a 2a