題露天礦生產(chǎn)的車輛安排南昌大學(xué)全國一等獎

1、C題 SARS的傳播摘要本文首先采用抽樣檢測法對SARS早期的模型的合理性及實用性進(jìn)行了評價，然后我們通過對傳染病的共性及SARS的特性的分析。得出三個基本假設(shè)并且把人群理想化為三類（S類，I類，R類），建立起基本的SIR模型，再對SIR模型中三類人群間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的分析，結(jié)合馬氏鏈得出三種人群間變化率的矩陣T，由于SARS的特性，可知，SIR模型中的兩個參數(shù)a(t),b(t)是以時間為變量的函數(shù)。我們根據(jù)北京疫情的數(shù)據(jù)，通過多項式的數(shù)據(jù)擬合法分別得a(t),b(t)的表達(dá)式，我們把a(t),b(t)及T結(jié)合，從而建立出模型。由于醫(yī)療條件的逐步改善，必會研制出其疫苗。于是我們在不改變?nèi)巳悍诸?/p>

2、的情況下，增加了一個系數(shù)c，（c表示疫苗日成功接種率，由于在疫情期間，疫苗未能及時改良，故c為常數(shù)。）進(jìn)一步完善了我們的模型。本文利用數(shù)學(xué)軟件（Mathematica,Matlab）很好的實現(xiàn)了模型運算，并結(jié)合實際數(shù)據(jù)得出了各類人群與時間的關(guān)系圖。從圖中可以很好的反映出各類人群的變化規(guī)律，它們的變化規(guī)律與實際變化相吻合，從而證明了我們的模型基本符合要求。 一 問題的提出嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥，簡稱SARS，是21世紀(jì)第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。它對全球的經(jīng)濟(jì)和生活造成巨大的破壞，盡管目前疫情已得到控制，但對這種新冠狀病毒及其流行規(guī)律的研究還剛剛開始，因此，有必要根據(jù)SARS流行的特點，建立數(shù)

3、學(xué)模型預(yù)測其傳染，從而采取措施預(yù)防和控制其發(fā)展。而建立該模型我們要綜合各方面的因素才能使模型合理化。二 問題的分析通過分析北京，香港和廣東三地的受感染人數(shù)的變化規(guī)律，我們就可以對不同地區(qū)預(yù)測流行病的變化趨勢提出以下模型假設(shè)。 模型的假設(shè)：1 將人群分為三類易感染者人數(shù)（疑似病例）：用S表示；病人數(shù)（已受感染者，即確疹者）：用I表示；移出者人數(shù)（包括“被治愈者”和“死亡者”）：用R表示2 該地區(qū)人口不流動，疫情階段無病原的輸入和輸出，設(shè)最初易感染者人數(shù)為N，此時I，R均為0。3 被隔離人群完全斷絕與外界接觸，不再具有傳染性。三 模型的分析與建立問題一:對于附件1所提供的早期模型即N（t）=N（1

4、+K）在疾病初期應(yīng)該有它的可參性。因為模型N（t）=N（1+K）是符合指數(shù)增長規(guī)律的。而對于這種傳播疾病，由于社會來不急防備以及群眾的不重視，使得SARS疫情基本上呈自然規(guī)律增長，這與香港的實際疫情擬合圖基本一致。通過對香港和北京高峰前期的病例與天數(shù)的對應(yīng)關(guān)系計算出的數(shù)據(jù)與實際基本吻合。見下圖表：香港 （K=0.16204）病例數(shù)42080320實際天數(shù)10203040計算天數(shù)9.2319.9529.1838.41實際天數(shù)-計算天數(shù)0.770.050.821.59北京（K=0.13913）病例數(shù)1344140470實際天數(shù)20304050計算天數(shù)19.6929.0537.9347.23實際天數(shù)

5、-計算天數(shù)0.310.952.072.77由上圖可知在高峰期前即疾病早期基本符合指數(shù)增長規(guī)律，同時，我們也可以看到天數(shù)越接近高峰期，實際天數(shù)與計算天數(shù)就相差越大，這說明這個模型特別適用于早期初，但從上表中的數(shù)據(jù)差來看，它們相差并不大，對整個早期階段也有較好的預(yù)測性。因此，該模型具有一定的合理性和實用性。問題二:模型的建立建立SIR模型易感染者，感染者，移出者之和是個恒量即N=S+I+R。由于病人康復(fù)后具有終生免疫力，人與人之間有相同的接觸率。最終由如下兩種假設(shè)決定狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)變率：（1）感染者的增長率是和感染者I與易受感染者S的乘積成正比的；（2）感染者I到移出者R的變化率是與感染者I成正比。

6、基于以上假設(shè)得出模型的微分方程： 其中a,b都是以時間為變量的參數(shù)，a(t)為日感染率，b(t)為日移出率，于是我們可以得出三類人的轉(zhuǎn)換狀態(tài)圖：根據(jù)Markov Chain理論，我們得出一個矩陣T:T=其中a就是當(dāng)天易感染者S變?yōu)楦腥菊逫的日感染率,b就是當(dāng)天感染者I轉(zhuǎn)變?yōu)橐瞥稣逺的移出率.( a, b分別為a(t)，b(t)某一天的值) 設(shè)初始值X=N,0,0,于是我們可以由X與T的轉(zhuǎn)置矩陣相乘,相乘一次得到第一天的易感染者,確診病人及排除者的人數(shù),再由該人數(shù)與T的轉(zhuǎn)置矩陣相乘一次得到第二天各類人群的數(shù)目,依此類推,我們可以得到第t天的各類人群的數(shù)目,于是我們可以得出任何一天各類人群的數(shù)目的

7、初步模型即:X=X*T 由于T是由a,b確定的,所以要建立模型還必須求出a(t),b(t).于是我們參照附件2中的數(shù)據(jù)，利用Matlab的多項式數(shù)據(jù)擬合，可以得到它們相應(yīng)的多項式。下面進(jìn)一步講擬合過程：第一步：對附件2中的疑似病例進(jìn)行20次數(shù)據(jù)擬合，得出每天的疑似病例數(shù)的多項式：f(t)=t+480.6525t-325.9497t+110.1561t-22.3320t+2.9772t-0.275t+0.0181t-0.0009t（1）第二步：對附件2中已確疹的病例數(shù)據(jù)進(jìn)行運算，新確診的病例數(shù)m(t)就是把當(dāng)天已確診病例數(shù)的累積n(t)減去前一天確診病例數(shù)的累積n(t-1)即：m(t)=n(t)

8、-n(t-1)對m(t)進(jìn)行20次數(shù)據(jù)擬合，得出關(guān)于新增病例與時間的多項式：f(t)=t+476.2872t-227.1678t+67.6374t-13.3813t+1.8488t-0.10854t+0.0139 t-0.0008 t（2）由第二步對f(t)求導(dǎo)得出f(t)，f(t)表示為每天已確診病例的變化情況，因為f是當(dāng)天疑似病例數(shù)，所以得出a(t)=f(t)/f。第三步：我們把死亡病例和治愈者都?xì)w為同一組R類，于是把他們相加得到每天的R類人群K（t）,再由第二步的計算方法我們得到每天死亡和治愈的人數(shù)l(t)即l(t)=K（t）-K（t-1）然后對l(t)進(jìn)行二次數(shù)據(jù)擬合，得出關(guān)于每天死亡

9、和治愈人數(shù)與時間的多項式：f(t)=-0.0323t+2.95235t-13.1284(3)第四步：按照第二步的方法對第二步中的m(t)再進(jìn)行一次二次擬合，得到f(t)的一個二次多項式：f(t)=0.0561t-5.7216t+141.7628(4) 同理，由（3），（4）式可得b(t)=f(t)/f(t)即：(前面（1），（2），（3）,(4)式的Matlab擬合圖及程序見附錄I) 通過上面的分析我們可以得到一個完整的模型:(I) 四 模型的改進(jìn) 由于我們逐步對SARS的研究和認(rèn)識,那么在不久的將來預(yù)防它的疫苗也將出現(xiàn).顯然醫(yī)療衛(wèi)生部門就會對群眾進(jìn)行疫苗接種,于是我們的模型能夠通過接種疫苗而

10、進(jìn)行改進(jìn),但是沒有必要增加其他人群種類,我們可以簡單而直接的把接種疫苗的人群從S中分離到R中,所以我們假定一個系數(shù)c,它表示每天有c的人成功接種疫苗.(例,c=8%,表示每天有8%的人成功接種疫苗),我們前面的T矩陣可以改為:T=上面的模型就可以改進(jìn)為:(II) （其中c為常數(shù)）五 模型的求解與結(jié)果分析對于上面所建立的模型可以通過mathematica編程實現(xiàn)（程序見附錄II）?，F(xiàn)已由北京市疫情的數(shù)據(jù)，通過模型求得的各類人群的變化規(guī)律圖如下：（說明：由于現(xiàn)階段SARS的疫苗還沒正式用于預(yù)防，所以只用模型（I）求解）st疑似病例與時間變化圖1It感染人數(shù)與時間的變化圖2Rt治愈和死亡人數(shù)與時間的

11、變化圖3通過分析上圖我們可知：對于圖1中疑似病例是隨時間的增加而逐漸下降，這與附件2中的疑似病例的變化規(guī)律基本一致；圖2中感染人數(shù)先隨時間的增加達(dá)到高峰之后平緩下降，這于附件1中北京日增病例走勢相吻合；圖3中治愈和死亡人數(shù)隨時間的變化而遞增，這顯然與實際相符。下面我們給出衛(wèi)生部們提前或者延后五天采取嚴(yán)格的隔離措施后疫情傳播的變化圖如下：由下圖容易看出，圖4中提前五天采取隔離措施，疑似病例下降速度比延后五天的速度快；圖5中提前五天感染人數(shù)遠(yuǎn)小于延后五天，而且提前五天時疫情時間持續(xù)更短；圖6中提前五天變化速度比延后五天來得更快。綜上所述，提前采取嚴(yán)格隔離措施比延后效果更好，也使得對社會的影響更低。

12、四 模型的優(yōu)點及發(fā)展方向1 優(yōu)點：（1）我們的模型可以對SARS的所有階段進(jìn)行預(yù)測，而附件1的模型只適用于早期； （2）我們的模型操作性強，結(jié)果精確，計算完全可由相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件mathematica,matlab的編程來實現(xiàn)。它可以根據(jù)疫情a,b的值會按設(shè)定的函數(shù)自行修正，這也符合疾病隨地域的變化而改變； （3）在我們的改進(jìn)模型中加了一個系數(shù)c，它使得模型更精確，也符合傳染病的發(fā)展規(guī)律； （4）此模型可以直觀的反映疾病發(fā)展規(guī)律。我們只要通過數(shù)學(xué)軟件畫出圖形，在圖形上就可以顯示出SARS在每天各類人群的分布情況。2 模型的發(fā)展方向：要建立一個真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠，足夠的信息的模

13、型。要考慮以下幾點因素：（1） 必須準(zhǔn)確掌握疾病的傳播規(guī)律，獲得更多的直觀信息，例如傳染率，死亡率，治愈率，傳染期限，潛伏期等；（2） 考慮各種社會因素，包括醫(yī)療機(jī)構(gòu)的醫(yī)療程度，人的免疫程度，群眾對SARS的認(rèn)識，以及政府機(jī)構(gòu)對SARS的宣傳等以上條件可用參數(shù)P來反映；（3） 還要考慮城市間人口的流動，此因素用B表示。解決以上因素的困難：a）由于SARS突然性發(fā)生以及它的傳播速度快的特性，這就使得在初期很難預(yù)防；b）要對因素P，B考慮是一個非常復(fù)雜的過程。而要達(dá)到控制疾病的程度，困難就在于社會經(jīng)濟(jì)的落后，技術(shù)的不先進(jìn)，人們素質(zhì)的不高，顯然要想改變這一現(xiàn)象不是一朝一夕的過程，也是一個變數(shù)很大的因

14、素。問題三 建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性2002年末開始，全國部分地區(qū)遭受了非典型性肺炎的襲擊，全國經(jīng)濟(jì)出現(xiàn)了前所未有的滑坡，使人們的生命受到威脅。2003年初我國在毫無準(zhǔn)備的情況下受到“非典”的突擊，當(dāng)時全民上下在一片迷茫之中，不知道病原體的來歷，醫(yī)務(wù)人員也無從下手，致使非典病原體不斷擴(kuò)散，使得感染人數(shù)不斷增加。此時我們才意識到要對這個新的傳染病去做深入研究。研究發(fā)現(xiàn)SARS是一種獨特性傳染病，它具有傳播速度快，傳播途徑廣等特點，正因為如此，在人們還沒有認(rèn)清SARS時，人們不知道如何采取措施對它進(jìn)行控制，至使在SARS疫情前期，人們損失慘重。經(jīng)過一段時間的傳播，人們對這種病原體有了一定的研究，

15、基本掌握了它的傳播途徑。但是這時沒有找到任何一種疫苗，沒有能力完全消除它，只能采取適當(dāng)可行的措施減少它的發(fā)病率。我國在弄清情況后就采取了嚴(yán)格的防預(yù)措施。例如，在有發(fā)現(xiàn)疫情的地區(qū)，封鎖各出現(xiàn)疫情點，封鎖學(xué)校等；在沒有發(fā)現(xiàn)疫情的地區(qū)也采取了封閉措施，例如，切斷外來人員，部分大學(xué)也實施封校。全國上下掀起了一場抗擊非典的戰(zhàn)爭，上至政府下至平明百姓無一不重視SARS的傳播。但對于SARS的傳播規(guī)律還沒正確的了解，這些做法只是治標(biāo)而不能治本。關(guān)鍵是我們還不能夠通過某種途徑來找出它的發(fā)展規(guī)律。 對上所述我們知道，SARS之初之所以那么肆虐是因為人們對它還沒有很好的認(rèn)識，更沒有有效的預(yù)防和控制措施。那么如何去

16、研究解決這個難題就變得迫在眉睫，而這個關(guān)鍵就在于能否建立起合理的傳染病模型。假若一個好的傳染病模型出來后，就可以利用它對傳染病進(jìn)行及時的預(yù)測，并對該疾病提供有效的信息，也可以給相關(guān)衛(wèi)生部門研究接種疫苗提供可靠的數(shù)據(jù)，從而可以達(dá)到控制傳染病高病發(fā)率的發(fā)生。除此之外，它還使得政府能夠根據(jù)預(yù)測的信息做好足夠的人力，物力準(zhǔn)備，做到從容以對。從而就給人民的社會生活和經(jīng)濟(jì)生活提供了強力的保障，也給社會穩(wěn)定增加了砝碼。所以無論是從自身利益出發(fā)，還是從國家的穩(wěn)定發(fā)展考慮，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型是至關(guān)重要的，也是擺在我們面前的一個迫切的任務(wù)。所以，建立合理的數(shù)學(xué)模型是預(yù)防和控制傳染病至關(guān)重要的一步，也是不可缺少的環(huán)節(jié)。參考文獻(xiàn)1 姜啟源，數(shù)學(xué)模型第三版，北京，高等教育出版社，2003年7月2 2003年9月23日論文點評：本文首先根據(jù)題目給出的條件和要求，用抽樣檢驗法對早期模型的合理性和實用性進(jìn)行了評價，其合理性在于符合指數(shù)增長規(guī)律，實用性在于對早期階段的疫情有較好的預(yù)測性。為克服只對早