高等數(shù)學(xué)教案ch定積分的應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)教案§6定積分的應(yīng)用第六章定積分的應(yīng)用教學(xué)目的1、理解元素法的基本思想；2、 掌握用定積分表達和計算一些幾何量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積)。3、 掌握用定積分表達和計算一些物理量(變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等)。 教學(xué)重點：1、計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知 的立體體積。2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點：1、截面面積為已知的立體體積。2、引力。§6, 1定積分的元素法回憶曲邊梯形的面積：設(shè)y=f (x) _0 (x a b).如果

2、說積分.A = ：f (x)dx是以a b為底的曲邊梯形的面積.則積分上限函數(shù)A(x)二：f(t)dt就是以a x為底的曲邊梯形的面積而微分dA(x) f (x)dx表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值.：A f (x)dx f (x)dx稱為曲邊梯形的面積元素以a b為底的曲邊梯形的面積 a b為積分區(qū)間的定積分：A就是以面積兀素f(x)dx為被積表達式.以A = ：f(x)dx ,一般情況下.為求某一量 U .先將此量分布在某一區(qū)間a . b上.分布在a . x上的量用函數(shù)U(x)表示.再求這一量的元素 dU(x) 設(shè)dU(x) =u(x)dx .然后以u(x)dx為被積表達式.以

3、a . b為積分區(qū)間求定積分即得U = f f (x)dx ,用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法).§6,2定積分在幾何上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1 直角坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y=f上(x)與y斗下(x)及左右兩條直線x=a與x龍所圍成.則面積元素為f上(x) f下(x)dx .于是平面圖形的面積為S=f上(x)f下(x)dx ,類似地.由左右兩條曲線 x二左(y)與x二右(y)及上下兩條直線y=d與y=c所圍成設(shè)平面圖形的 面積為dS = c右(y)-左(y)dy .例1計算拋物線y2=x、y承2所圍成的圖形的面積，解畫圖(2) 確定在x軸上的投影區(qū)間:0 .

4、1,確定上下曲線:f上 (X)=iX, f下(x) =x2 ,(4)計算積分例2計算拋物線y2=2x與直線y=xV所圍成的圖形的面積.解畫圖.(2) 確定在y軸上的投影區(qū)間：2. 4,(3) 確定左右曲線:左(y)=*y2, '右(y)二y 4 ,(4) 計算積分S 二；(y 4-*y2)dy =2y2 4y -訂3巳=18 .例3求橢圓電址=1所圍成的圖形的面積.a2 b2解 設(shè)整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍.橢圓在第一象限部分在x軸上的投影區(qū)間為0 a.因為面積元素為ydx .所以S =4 ；ydx .橢圓的參數(shù)方程為：x -a cos t y b sin t .sint

5、d (acost)0 = /ab -sin2tdt =2ab ；(1 _cos2t)dt =2ab 2 =ab 二,2 極坐標(biāo)情形曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素：由曲線二')及射線v - U - -圍成的圖形稱為曲邊扇形，曲邊扇形的面積元素為dS=2【Ol2d 寸.曲邊扇形的面積為S 二 g仁)處.例4計算阿基米德螺線(a >0)上相應(yīng)于二從0變到2二的一段弧與極軸所圍成的圖形的 面積，解：s胡但子心*2尹2二寺2二3 ,例5.計算心形線T(1 8SR (a>0)所圍成的圖形的面積.解：S=20 "2a(1 cos v2d v -a2 0(2 2cos j 2cos

6、2v)d j=a2p| 2s i n *s i 吐0 =詐2二，二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.常見的旋轉(zhuǎn)體：圓柱、圓錐、圓臺、球體，旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y# (x)、直線x=a、a=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，設(shè)過區(qū)間a b內(nèi)點x且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V (x).當(dāng)平面左右平移 dx后.體積的增量近似為 *vf (x)2dx .于是體積元素為2dV 八f (x) dx .旋轉(zhuǎn)體的體積為V =Rf(x)2dx .例1連接坐標(biāo)原點 0及點P(h r)的直線、直線x=h及x軸圍成一

7、個直角三角形將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為h的圓錐體.計算這圓錐體的體積，解：直角三角形斜邊的直線方程為y二丄x .h所求圓錐體的體積為=：二(hx)2dx 二菲畀 3_,h 1.2空 X o =3 二hr例2 .計算由橢圓 寫寫=1所成的圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積 a2 b2解：這個旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個橢圓y 3 .a2 -x2a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體，體積元素為2dV 二二 y dx .于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為2 2ab/22b213,42V = a 2(a -x )dx 2a x x ab .aa33例3計算由擺線x=a(t-sin t

8、) .y=a(1-cos t)的一拱.直線y=0所圍成的圖形分別繞 x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，解所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為Vx = ： a:y2dx =二:a2 (1cost)2 a(1 cost)dt=a3 0 (1 3cost 3cos21 cos3t)dt=5r : 2a.設(shè)曲線左半邊為x=x1(y)、右半所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個旋轉(zhuǎn)體體積的差 邊為X=X2(y).則2a 2Qa2Vy 二 0 % (y)dy - 0 n (y)dy二二 2_a2(t -sin t)2 asintdt j恵 o a2(t sint)2 asin tdt_ 3 i2応“

9、丄2 丄亠3 3=-a (t sint) sintdt =6 . a2 平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為a .b.過點x且垂直于x軸的平面與立體相截.截面面積為A(x). 則體積元素為A(x)dx .立體的體積為V = fA(x)dx ,例4 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心并與底面交成角計算這平面截圓柱所得立體的體積解：取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸.底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸那么底圓的方程為x 2 y 2=R 2 .立體中過點x且垂直于x軸的截面是一個直角三角形兩個直角邊分別為R2 -x2及、. R2 -x2 tan ,因而截面積為A(x) =；

10、(R2 -x2)tan:，于是所求的立體體積為V =；丄(只2x2)ta n : dx =1- ta n : R2x-x3 ,R3 ta n:,2233例5 .求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積解：取底圓所在的平面為 xOy平面.圓心為原點.并使x軸與正劈錐的頂平行,底圓的方程 為x 2 y 2采2,過x軸上的點x (-R<x<R)作垂直于x軸的平面.截正劈錐體得等腰三角形 .這截面 的面積為A(x)二 h y 二 hi R2x2 .于是所求正劈錐體的體積為Vh、. R2 -x2dx =2R2h 02coSjdv“：R2h .三、平面曲線的弧

11、長設(shè)A B是曲線弧上的兩個端點.在弧AB上任取分點 A=Mo ,M1.Mij .Mi . Mnd .Mn田.并依次連接相鄰的分點得一內(nèi)接折線.當(dāng)分點的數(shù)目無限增加且每個小段 Mi/Mi都縮向n一點時.如果此折線的長'JMi4Mi|的極限存在.則稱此極限為曲線弧AB的弧長.并稱此曲線id：弧AB是可求長的，定理光滑曲線弧是可求長的.1 直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程y#(x) (a»_b)給出.其中f(x)在區(qū)間a b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度，取橫坐標(biāo)x為積分變量.它的變化區(qū)間為a . b,曲線y=f(x)上相應(yīng)于a . b上任一小區(qū)間xx dx的一段弧

12、的長度.可以用該曲線在點(x . f(x)處的切線上相應(yīng)的一小段的長度來近似代替.而切線上這相應(yīng)的小段的長度為(dx)2 (dy)2 = .1 y 2dx .從而得弧長元素(即弧微分)ds = 1 y 2dx .以.1 y 2 dx為被積表達式.在閉區(qū)間a b上作定積分.便得所求的弧長為在曲率一節(jié)中.我們已經(jīng)知道弧微分的表達式為ds = Ji + y "2 dx .這也就是弧長元素，因此3例1 .計算曲線y =| x至上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長度.1解：y丄x2 .從而弧長元素ds = $1 十 y "2 dx = Ji +xdx ,因此.所求弧長為b|J|S 二昇 1

13、 Xdx 二|(1 X)2：話(1 b)2 一(1 a)2.例2 計算懸鏈線y二CChf上介于Xi與X"之間一段弧的長度解：y'shx .從而弧長元素為cds = 1 sh2 xdx 二ch x dx .Vcc因此.所求弧長為s =；chgdx =2 0ch c dx =2cshg dxb =2csh"b ,2.參數(shù)方程情形設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x二、yi(t) (T匸)給出.其中:(t)、匸(t)在r 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)因為 史二.dx*(t)dt .所以弧長元素為dx 申(t)d?Vr(t)dr；CP'(t'(t)dt，If ® 2 (t)所求

14、弧長為s扌絆2(t) =2(t)dt .例 3 計算擺線 xa(vsinf y -a(1 -cosf 的一拱(0 - -2 -)的長度解：弧長元素為j ； 日ds = a2(1 -cos)2a2 sin2- a . 2(1 -cos)d- 2asin d-.2所求弧長為s=o 2as in 號 d v -2a-2cos|2 =8a3 極坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程U(v) (nW )給出.其中r(7)在:：上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得xJGcos ：1. y = J(7)sin 丸:_二_：), 于是得弧長元素為ds£x 2(r) y¥)d F2(r)2e)

15、dd .從而所求弧長為s“2少dr .例14 ,求阿基米德螺線 =av (a>0)相應(yīng)于v從0到2二一段的弧長， 解：弧長元素為ds = a2 / a2 dr - a . 1 j2 dr .于是所求弧長為s = JaJl +02d日=號2兀Ji +4兀2 +ln(2兀 +、“ + 4兀2 )重慶三峽學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案§6定積分的應(yīng)用§6.3功水壓力和引力、變力沿直線所作的功例1把一個帶q電量的點電荷放在r軸上坐標(biāo)原點 0處.它產(chǎn)生一個電場，這個電場對周 圍的電荷有作用力，由物理學(xué)知道.如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點0為r的地方.那么電場對它

16、的作用力的大小為F（k是常數(shù)）r當(dāng)這個單位正電荷在電場中從r =a處沿r軸移動到r=b（a<b）處時.計算電場力F對它所作的功例電量為+q的點電荷位于r軸的坐標(biāo)原點0處它所產(chǎn)生的電場力使r軸上的一個單位正電荷從r=a處移動到r=b（a<b）處求電場力對單位正電荷所作的功，提示：由物理學(xué)知道.在電量為+q的點電荷所產(chǎn)生的電場中.距離點電荷r處的單位正電荷 所受到的電場力的大小為F（k是常數(shù)）.r解：在r軸上.當(dāng)單位正電荷從r移動到r+dr時電場力對它所作的功近似為r即功元素為dW=k鳥dr .于是所求的功為W = 72dr 二kq-；】a =kq（； _）例2.在底面積為S的圓柱形容

17、器中盛有一定量的氣體.在等溫條件下.由于氣體的膨脹.把容器中的一個活塞（面積為S）從點a處推移到點b處.計算在移動過程中.氣體壓力所作的功.解：取坐標(biāo)系如圖.活塞的位置可以用坐標(biāo)x來表示.由物理學(xué)知道.一定量的氣體在等溫條件下.壓強p與體積V的乘積是常數(shù)k .即pV =k 或 p 解：在點x處.因為V=xS.所以作在活塞上的力為kkF p S S .xSx當(dāng)活塞從x移動到x dx時.變力所作的功近似為 kdx .x 即功元素為dW =kdx .x于是所求的功為W =fkdx 球In x? =klnb ,a xa高等數(shù)學(xué)教案§6定積分的應(yīng)用例3 . 一圓柱形的貯水桶高為5m底圓半徑為3

18、m .桶內(nèi)盛滿了水，試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？解：作x軸如圖，取深度x為積分變量，它的變化區(qū)間為0.5.相應(yīng)于0 . 5上任小區(qū)間xx dx的一薄層水的高度為dx，水的比重為 9 8kN/m3.因此如x的單位為 m.這薄層水的重力為29 8二3 dx .這薄層水吸出桶外需作的功近似地為dW=88 2 二 xdx此即功元素，于是所求的功為W = ：88.2xdx =88.2二寫0 =88.2二竽(kj).二、水壓力從物理學(xué)知道.在水深為h處的壓強為ph .這里是水的比重.如果有一面積為 A的平板水平地放置在水深為 h處.那么.平板一側(cè)所受的水壓力為P中A如果這個平板鉛直放置在水中.那么.由于水深不同的點處壓強p不相等.所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算，例4 .一個橫放著的圓柱形水桶.桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為 R.水的比重為.計算桶的一個端面上所受的壓力.解：桶的一個端面是圓片.與水接觸的是下半圓，取坐標(biāo)系如圖，在水深x處于圓片上取一窄條.其寬為dx .得壓力元素為dP =2 x R2 -x2dx .所求壓