高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與培養(yǎng)

1、新課標(biāo)下的高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與培養(yǎng)武漢三中高三數(shù)學(xué)備課組 黃 鷹當(dāng)今課改地區(qū)的高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)80%是靠運(yùn)算獲得。同時(shí)學(xué)生的運(yùn)算能力的強(qiáng)弱直接影響著理科綜合的成績(jī)。運(yùn)算能力反映一個(gè)學(xué)生的綜合能力。運(yùn)算是指在運(yùn)算律的指導(dǎo)下對(duì)具體的數(shù)、式進(jìn)行變形的演繹過(guò)程。高中數(shù)學(xué)運(yùn)算包括數(shù)的運(yùn)算、式的恒等變形、方程和不等式的同解變形、初等函數(shù)的運(yùn)算和求值，各種幾何量的測(cè)量與計(jì)算。而運(yùn)算能力反映在運(yùn)算的準(zhǔn)確、合理和敏捷的程度上。它主要表現(xiàn)在靈活運(yùn)用運(yùn)算的法則、性質(zhì)、公式，善于觀察、比較、分析、綜合、概括、推理等方面。是與記憶能力、理解能力、推理能力、表達(dá)能力以及空間想象能力等其它認(rèn)識(shí)能力相互滲透、相互支撐形成的一種綜合

2、的數(shù)學(xué)能力。依運(yùn)算的抽象度，對(duì)運(yùn)算可作如下劃分以上劃分只是歸納出常見(jiàn)的運(yùn)算形式，依運(yùn)算思維的抽象度，將其劃分為兩個(gè)不同的層次，便于把握運(yùn)算能力的層次要求。兩類的主要區(qū)別在于前者體現(xiàn)運(yùn)算的“機(jī)械”性，后者體現(xiàn)了運(yùn)算的深刻性和一定的創(chuàng)造性。由上可見(jiàn)，運(yùn)算是思維的“載體”，運(yùn)算能力體現(xiàn)思維能力，是數(shù)學(xué)素質(zhì)的一面鏡子。一、運(yùn)算能力與數(shù)學(xué)思想的關(guān)系先請(qǐng)看甲、乙兩個(gè)學(xué)生對(duì)下面例題的解法：已知，試求使方程有解的的取值范圍。甲、乙兩學(xué)生的解法如下：甲：原方程的解應(yīng)滿足由（1），得 (3)當(dāng)時(shí)，由，知（3）無(wú)解，故原方程無(wú)解。當(dāng)時(shí)，由（3）得，將此代入（2），得當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得的取值范圍為乙：原方程等價(jià)變形，

3、得令，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，易求得的取值范圍為比較甲、乙兩人的運(yùn)算，不難看出，甲的方法有一定的運(yùn)算量，且分類層次較多，因此，不僅難以提高速度，而且易出錯(cuò)；相反，乙在其思想方法下，幾乎沒(méi)什么運(yùn)算量，獲得成功的可能性大。這就說(shuō)明，運(yùn)算能力決不僅僅是個(gè)速度問(wèn)題，它還應(yīng)有更深的內(nèi)涵與背景。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有的學(xué)生概念理解了，習(xí)題也做了不少，但其運(yùn)算能力并未得到明顯的提高，還是缺乏舉一反三和獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，究其原因，與只重視數(shù)學(xué)知識(shí)而忽視數(shù)學(xué)思想有關(guān)?！皵?shù)學(xué)的精神和本質(zhì)在于它的思想和方法”。教學(xué)中，學(xué)生有沒(méi)有掌握數(shù)學(xué)思想，其運(yùn)算能力大不一樣，如前述的考生乙，由于掌握了函數(shù)思想，領(lǐng)悟了實(shí)質(zhì)，因而其

4、運(yùn)算能力處在一個(gè)較高的水平上，處理問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)得簡(jiǎn)潔、利落。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)思想是溝通數(shù)學(xué)知識(shí)與運(yùn)算能力的橋梁。教學(xué)中，只有不斷引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法中提煉數(shù)學(xué)思想，并注重運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去分析問(wèn)題與解決問(wèn)題，才是完善數(shù)學(xué)知識(shí)及學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)與提高學(xué)生運(yùn)算能力的一條行之有效的途徑。二、運(yùn)算能力差的原因數(shù)學(xué)的理論是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)和依據(jù)，只有正確理解有關(guān)的數(shù)學(xué)概念，切實(shí)掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)定理、公式、法則，才能找到合理的算法、算理。才能取得正確迅速的運(yùn)算結(jié)果。（1）概念、公式、法則遺忘，是造成運(yùn)算不正確的直接原因?yàn)榇?，在教學(xué)中應(yīng)注意：向?qū)W生講明記牢、記準(zhǔn)概念、公式、法則的重要性。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)其它任何

5、一門學(xué)科一樣，都離不開(kāi)記憶。沒(méi)有一定的記憶能力，就不可能有知識(shí)的積累，更不可能有知識(shí)的發(fā)展與應(yīng)用。教學(xué)中注意以舊引新，以新促舊，新舊聯(lián)系，相得益彰，使學(xué)過(guò)的知識(shí)經(jīng)常不斷地在學(xué)生的頭腦中再現(xiàn)，增加記憶次數(shù)，促進(jìn)記憶效果。高中數(shù)學(xué)內(nèi)容多、課時(shí)緊，教材中各部分內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，反復(fù)次數(shù)較少，學(xué)生容易遺忘。所以我們應(yīng)有意識(shí)地幫助學(xué)生溫故知新。在選擇例題、布置習(xí)題時(shí)要精心篩選，也可以采取課外興趣小組、競(jìng)賽、每周幾題等形式使學(xué)生把舊知識(shí)與新內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。在講授概念、公式、法則時(shí)，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，用自己的話準(zhǔn)確地表達(dá)出來(lái)，提高表達(dá)能力，并與學(xué)生一道總結(jié)記憶這些概念、公式、法則的方法，使

6、學(xué)生記憶得法，提高記憶能力。（2）概念不清楚、公式、法則含混，是造成運(yùn)算不正確的主要原因講授新課時(shí)，盡量做到由具體抽象，由感性到理性，遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，自然地形成概念，導(dǎo)出公式、法則，弄清公式和法則的來(lái)龍去脈，明確條件是什么，結(jié)論是什么，在什么范圍內(nèi)使用，并通過(guò)課堂練習(xí)及時(shí)鞏固，使學(xué)生在頭腦中建立起清晰的第一印象。對(duì)相關(guān)的概念，易混的公式、法則，通過(guò)列表、圖示等方法進(jìn)行對(duì)比，加以區(qū)別，澄清模糊混淆的東西，提高理解力。及時(shí)回收教學(xué)效果的反饋信息，一旦發(fā)現(xiàn)典型錯(cuò)誤，就立即通過(guò)正反兩方面的例子進(jìn)行糾正，使錯(cuò)誤不形成定勢(shì)。（3）死套公式，是造成運(yùn)算錯(cuò)誤的又一原因知識(shí)學(xué)得死，公式、法則不能靈活運(yùn)用，而造成運(yùn)

7、算錯(cuò)誤。例如計(jì)算誤解：錯(cuò)因是互套極限運(yùn)算法則，把無(wú)限項(xiàng)的極限運(yùn)算用有限項(xiàng)的極限運(yùn)算法則進(jìn)行。為避免此類錯(cuò)誤，教學(xué)中應(yīng)注意：透徹地闡明概念的本質(zhì)屬性，深刻分析公式、法則的實(shí)質(zhì)，講明公式使用的條件、范圍。對(duì)公式、法則的使用要做到正用、反用、變形用。在習(xí)題課、復(fù)習(xí)課中，收集一些靈活性強(qiáng)、啟發(fā)性大、綜合性好、學(xué)生通過(guò)努力能解答的習(xí)題作為練習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的靈活性、敏銳性和深刻性等品質(zhì)。（4）基礎(chǔ)不扎實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算有層次性，運(yùn)算能力的發(fā)展總是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從低級(jí)到高級(jí)，從具體到抽象，有層次地發(fā)展起來(lái)的。簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)運(yùn)算不過(guò)關(guān)，那么進(jìn)行分式的代數(shù)運(yùn)算就很困難。因此，必須重視基本功訓(xùn)練，切不可輕視那些簡(jiǎn)單的

8、、低級(jí)的運(yùn)算。三、總結(jié)運(yùn)算規(guī)律、掌握運(yùn)算技巧、提高速度（1）掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算的程序，才能合理、迅速地完成運(yùn)算比如求任意角三角函數(shù)值一般要按這樣的程序：負(fù)角三角函數(shù)的三角函數(shù)的三角函數(shù)求值。這樣，每一步該做什么，就有章可循，避免亂猜亂碰繞彎子，影響運(yùn)算速度。因此，教學(xué)中應(yīng)及時(shí)總結(jié)解題規(guī)律，進(jìn)行嚴(yán)格的、有條理的訓(xùn)練，提高運(yùn)算的合理性和自覺(jué)性，從而提高運(yùn)算的正確性和迅速性。（2）數(shù)學(xué)運(yùn)算富有技巧性，沒(méi)有形成熟練的技能與技巧，就不能簡(jiǎn)捷地完成運(yùn)算在教學(xué)中首先把精力用在掌握系統(tǒng)的運(yùn)算規(guī)律上，同時(shí)也應(yīng)當(dāng)對(duì)常用的技能技巧問(wèn)題給以足夠的重視。例如常用的“換元法”、“形數(shù)結(jié)合法”、三角中“1”的變換、解析幾何中參數(shù)

9、選擇等，技巧性都很強(qiáng)。要鼓勵(lì)學(xué)生有意識(shí)地收集、歸納，鼓勵(lì)他們一題多解，多題一解，積累經(jīng)驗(yàn)，形成技巧。四、運(yùn)算能力重在長(zhǎng)期培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算具有艱巨性，沒(méi)有良好的心理素質(zhì)，不能成功地完成運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算涉及的幾乎都是數(shù)、式、符號(hào)等的各種變形和推導(dǎo)，內(nèi)容很枯燥、情況很復(fù)雜，有的題要多步運(yùn)算和推理才能出結(jié)果，其間，還要隨時(shí)判斷解題的發(fā)展方向，抉擇運(yùn)算的途徑，分析各種可能的情形，稍不小心，就會(huì)出錯(cuò)，影響結(jié)果。當(dāng)前的學(xué)生，有不少缺乏吃苦耐勞的精神，表現(xiàn)在學(xué)習(xí)上就是不刻苦、少毅力。題目稍有難度，計(jì)算稍繁，就做不下去。有的學(xué)生常說(shuō)：我一看這題，頭都大了。于是干脆連嘗試都不做。所以，要經(jīng)常做學(xué)生的思想工作，明確學(xué)習(xí)目的

10、，端正學(xué)習(xí)態(tài)度。要鼓勵(lì)他們的每一點(diǎn)進(jìn)步。對(duì)待運(yùn)算題，要求學(xué)生做到：做題前要有信心，做題時(shí)要細(xì)心，遇到問(wèn)題要耐心，認(rèn)真分析題意，尋找解題途徑，頑強(qiáng)克服困難，仔細(xì)檢查每一步運(yùn)算，做到正確、迅速。目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在一種不科學(xué)的做法，把運(yùn)算結(jié)果用幻燈片放在屏幕上，學(xué)生并不知道怎樣合理運(yùn)算。其實(shí)運(yùn)算過(guò)程需要老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，尋找合理的算法。計(jì)算機(jī)只能作為輔助手段。培養(yǎng)與提高學(xué)生的運(yùn)算能力是一項(xiàng)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，是一項(xiàng)長(zhǎng)期而艱巨的任務(wù)，教學(xué)中不會(huì)有“立竿見(jiàn)影”的效果，而要靠長(zhǎng)期的、反復(fù)的實(shí)踐活動(dòng)，循環(huán)往復(fù)、螺旋上升。要把運(yùn)算能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，要有計(jì)劃、有目的、有意識(shí)地運(yùn)用科學(xué)的方法進(jìn)行長(zhǎng)期的滲透，使學(xué)生不斷地、經(jīng)常性地受到啟迪，在潛移默化中，使學(xué)生逐步領(lǐng)悟運(yùn)算能力的實(shí)質(zhì)，從而逐步提高運(yùn)算能力。教學(xué)中，既要