高中物理單擺模型

1、擺的研究  物理模型是實(shí)際物體的抽象和概括, 它反映了客觀事物的主要因素與特征, 是連接理論和應(yīng)用的橋梁. 我們把研究客觀事物主要因素與特征進(jìn)行抽象的方法稱之為模型方法, 是物理學(xué)研究的重要方法之一. 中學(xué)物理習(xí)題都是依據(jù)一定的物理模型進(jìn)行構(gòu)思、設(shè)計(jì)而成的, 因此, 在解答物理習(xí)題時(shí), 為使研究復(fù)雜物理問題方便起見, 往往通過抽象思維或形象思維, 構(gòu)建起描述物理問題的模型, 使用物理模型方法, 尋找事物間的聯(lián)系, 迅速巧妙地解決物理問題. 單擺就是實(shí)際擺的一種理想化物理模型，在處理問題時(shí)可以起到柳暗花明的功效，主要有以下應(yīng)用?！締螖[模型簡(jiǎn)述】在一條不可伸長的、忽略質(zhì)量的細(xì)線下端栓一可

2、視為質(zhì)點(diǎn)的小球, 當(dāng)不必考慮空氣阻力的影響, 在擺角很小的情況下可看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng), 其振動(dòng)周期公式可導(dǎo)出為【視角一】合理聯(lián)想, 挖掘相關(guān)物理量.例1.          試用秒表、小石塊、細(xì)線估算電線桿的直徑.分析與解: 要估算電線桿的直徑, 題目中沒有給刻度尺, 因此, 用什么來替代刻度尺是問題的關(guān)鍵. 秒表、小石塊似乎對(duì)測(cè)量電線桿的直徑?jīng)]有直接關(guān)系；若是聯(lián)想到小石塊可以與細(xì)線組成單擺， 秒表可用來測(cè)量時(shí)間，本題便不難解決了。用等于n個(gè)電線桿圓周長的細(xì)線與小石塊組成單擺，用秒表測(cè)出單擺m（3050）次全振

3、動(dòng)所用時(shí)間t，則單擺振動(dòng)的周期電線桿的圓周長，電線桿的直徑有【視角二】遷移與虛擬，活化模型方法.例2.  一傾角很小(2°)的斜劈固定在水平地面, 高為h如圖1(a).光滑小球從斜劈的頂點(diǎn)A由靜止開始下滑, 到達(dá)底端B所用時(shí)間為t1. 如果過A、B兩點(diǎn)將斜劈剜成一個(gè)光滑圓弧面, 使圓弧面在B點(diǎn)恰與底面相切, 該小球從A由靜止開始下滑到B所用的時(shí)間為t2. 求t1與t2的比值.A   B (b) A h B (a)  L 2 圖1分析與解: 當(dāng)小球在斜劈上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí), 有將斜劈剜成光滑圓弧面后. 虛擬并遷移單擺模型, 因24°,

4、小球在圓弧面運(yùn)動(dòng)時(shí)受重力與指向圓心的彈力作用, 這與單擺振動(dòng)時(shí)的受力重力與指向懸點(diǎn)的拉力類似. 如圖1(b)所示. 則小球在圓弧面上的運(yùn)動(dòng)就是我們熟知的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng). 這樣能使問題化繁為簡(jiǎn), 化難為易, 迅速找到解決問題的途徑.因?yàn)長-h=Lcos2. 所以. 小球沿圓弧面從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為單擺周期的1/4. 故所以, t1t2=4.【視角三】 等效變換, 化解習(xí)題難度.例3.      如圖2(a)所示是一種記錄地震裝置的水平擺, 擺球m固定在邊長為L、質(zhì)量可略去不計(jì)的等邊三角形的頂角A上, 它的對(duì)邊BC跟豎直線成不大的夾角,擺球可繞固定軸BC

5、擺動(dòng), 求擺球作微小擺動(dòng)時(shí)的周期.分析與解: 該題有多種求解方法, 若采用等效法, 能化解難度, 關(guān)鍵是求等效擺長, 因擺球在豎直平面內(nèi)平衡, 關(guān)于軸BC做微小振動(dòng), 將擺球所受重力作用線做反向延長, 在轉(zhuǎn)軸BC延長O      圖2線上得交點(diǎn)O, 取O點(diǎn)為等效單擺的懸點(diǎn), 則為等效擺長. 在圖2(b)的三角形OCA中運(yùn)用正弦定理, 有 則故 .從公式中可看出，單擺周期與振幅和擺球質(zhì)量無關(guān)從受力角度分析，單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回復(fù)力越大，加速度（gsin ）越大，在相等時(shí)間內(nèi)走過的弧長也越大，所以周期與振幅、質(zhì)

6、量無關(guān)，只與擺長l和重力加速度g有關(guān)在有些振動(dòng)系統(tǒng)中l(wèi)不一定是繩長，g也不一定為9.8m/s，因此出現(xiàn)了等效擺長和等效重力加速度的問題物理上有些問題與單擺類似，經(jīng)過一些等效可以套用單擺的周期公式，這類問題稱為“等效單擺”等效單擺在生活中比較常見除等效單擺外，單擺模型在其他問題中也有應(yīng)用說明質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的一種，是最簡(jiǎn)單的擺。繞一個(gè)懸點(diǎn)來回?cái)[動(dòng)的物體，都稱為擺，但其周期一般和物體的形狀、大小及密度的分布有關(guān)。但若把尺寸很小的質(zhì)塊懸于一端固定的長度為 l且不能伸長的細(xì)繩上，把質(zhì)塊拉離平衡位置，使細(xì)繩和過懸點(diǎn)鉛垂線所 成角度小于10°，放手后質(zhì)塊往復(fù)振動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，其周期 T只和l和

7、當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭有關(guān)，即 而和質(zhì)塊的質(zhì)量 、形狀和振幅的大小都無關(guān)系，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用簡(jiǎn)諧振動(dòng)公式表示，稱為單擺或數(shù)學(xué)擺。如果振動(dòng)的角度大于 10°，則振動(dòng)的周期將隨振幅的增加而變大，就不成為單擺了。如擺球的尺寸相當(dāng)大，繩的質(zhì)量不能忽略，就成為復(fù)擺（物理擺），周期就和擺球的尺寸有關(guān)了。首先由牛頓力學(xué)，單擺的運(yùn)動(dòng)可作如下描述：2動(dòng)力學(xué)方程編輯首先我們可以得到，其中m為質(zhì)量，g是重力加速度，l是擺長，是單擺與豎直方向的夾角，注意，是矢量，這里取它在正方向上的投影。我們希望得到擺角的關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，來描述單擺運(yùn)動(dòng)。由角動(dòng)量定理我們知道，其中 是單擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， 是角加速

8、度。于是化簡(jiǎn)得到 （1）3小角度近似周期編輯我們知道（1）式是一個(gè)非線性微分方程。所以嚴(yán)格地說上面的（1）式描述的單擺的運(yùn)動(dòng)并不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。不過，在比較小時(shí)，近似地有sin 。（即 。）因而此時(shí)（1）式就變?yōu)?#160;，這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為 ，式中A. 為任意常數(shù)，由初值條件給定。而于是單擺的非線性的運(yùn)動(dòng)被線性地近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)一般在高考之類的考試中，認(rèn)為10°以下可以這樣近似。事實(shí)上5°0.087266弧度，Sin 5°0.087155，二者相差只有千分之一點(diǎn)幾，是十分接近的。在低精度的實(shí)驗(yàn)中，這種

9、系統(tǒng)誤差可以忽略不計(jì)（因?yàn)閷?shí)驗(yàn)操作中的偶然誤差就比它大）。但如果換成25°，誤差高達(dá)百分之三，就不宜再看成是簡(jiǎn)諧振動(dòng)了。由于正弦函數(shù)的性質(zhì)，這個(gè)近似是角度越小，越精確，角度越大越不精確。如果角度很大（比如60度處，誤差高達(dá)17%），就完全不能說它是簡(jiǎn)諧振動(dòng)了。伽利略第一個(gè)發(fā)現(xiàn)擺的振動(dòng)的等時(shí)性，并用實(shí)驗(yàn)求得單擺的周期隨長度的二次方根而變動(dòng)?；莞怪瞥闪说谝粋€(gè)擺鐘。單擺不僅是準(zhǔn)確測(cè)定時(shí)間的儀器，也可用來測(cè)量重力加速度的變化?；莞沟耐瑫r(shí)代人天文學(xué)家J.里希爾曾將擺鐘從巴黎帶到南美洲法屬圭亞那，發(fā)現(xiàn)每天慢 2.5分鐘，經(jīng)過校準(zhǔn)，回巴黎時(shí)又快 2.5分鐘?；莞咕蛿喽ㄟ@是由于地球自轉(zhuǎn)引起的重

10、力減弱。I.牛頓則用單擺證明物體的重量總是和質(zhì)量成正比的。直到20世紀(jì)中葉，擺依然是重力測(cè)量的主要儀器。小角近似公式和實(shí)際曲線比較4真實(shí)周期推導(dǎo)編輯上面提到是角度比較小的時(shí)候單擺的近似公式，但科學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，在此補(bǔ)充在任意角度下單擺的周期公式。在此之前先提出兩個(gè)概念（我用mathematica的定義）：第一類不完全橢圓積分：第一類完全橢圓積分：下面我用微分方程進(jìn)行討論，讀者可以嘗試用動(dòng)能定理進(jìn)行計(jì)算，可以更簡(jiǎn)潔地得到其特解。設(shè)擺長為l,擺線與豎直方向的夾角為，那么單擺的運(yùn)動(dòng)公式為：令 ，于是有 上式改寫成：這是一個(gè)可分離變量的微分方程！分離變量：其通解為給定初始條件 （0）， ，則其特