高考數(shù)學(xué)難點突破難點04三個“二次”及關(guān)系

1、難點4三個“二次”及關(guān)系三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關(guān).本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法難點磁場已知對于x的所有實數(shù)值，二次函數(shù)f(x)=x2 4ax+2a+12(a R)的值都是非負(fù)的，求關(guān)于x的方程-=|a 1|+2的根的取值范圍.a +2案例探究例1 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù) g(x)= bx，其中abc,a+ b+c=0,(a,b,c R).(1) 求

2、證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(2) 求線段命題意圖：目.知識依托：錯解分析：A、B;AB在x軸上的射影AiBi的長的取值范圍.本題主要考查考生對函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運用能力b、c滿足.屬于題解答本題的閃光點是熟練應(yīng)用方程的知識來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合 由于此題表面上重在“形”，因而本題難點就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)技巧與方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化.(1)證明：由“A2 bx c 消去 y 得 ax2+2bx+c=0 y = -bx =4b2 4ac=4( a c)2 4ac=4(a2+ac+c2)=4 (a+-)2 - c2-4/ a+b+

3、c=O,abc, a0,c0,. 0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點4解：設(shè)方程ax2+ bx+c=0的兩根為xi和X2,則2bcXi+X2= ,XiX2=aa222|AiBi| =(xi X2) =(Xi + X2) 4X1X22 2,2b、2 4c 4b -4ac 4(a c) -4ac=( )a2ac 2 cci 2= 4( )2 - i =4( Ja aa 2/ abc,a+b+c=0,a0,c a cc,解得 一 ( 2,)a2f C) =4(c)2 c i的對稱軸方程是a a aci一 ( 2,)時，為減函數(shù)a2 |AiBi|2 (3,12),故|AiBi| ( 3,2 3).例2已

4、知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+仁0.(1) 若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(一1, 0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1, 2)內(nèi)，求m的范圍.(2) 若方程兩根均在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，求m的范圍.本題重點考查方程的根的分布問題，屬級題目解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義 用二次函數(shù)的性質(zhì)對方程的根進(jìn)行限制時，條件不命題意圖 知識依托 錯解分析嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點.技巧與方法：設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.解: (1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在1m :-2m ：= R,1m ,25m虧一6區(qū)間(一1,

5、 0)和(1, 2)內(nèi)，畫出示意圖，得f(0) =2m +1 一，21二 gm ,2m蘭1 +扌2或m蘭1 一72,一1 cm c0.(這里0 m0,f(x)在區(qū)間p,q上的最大值 M，最小值 m,令X0= 一 (p+q).2b右p,則 f(p)=m,f(q)=M;2abb右 pwX0,則 f( )=m,f(q)= M;2a2abb右 xwq,則 f(p)=M,f(q)=m.2a22. 二次方程f(x)=ax +bx+c=O的實根分布及條件.(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小:二a f(r)0,b二次方程f(x)=0的兩根都大于rr,I 2aa f(r) . 0 =b2 -

6、4ac0,b(3) 二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根二pv 2a 0,a f(P)o；二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根：二f(p) f(q)0,或f(p)=O(檢驗)或f(q)=0(檢驗) 檢驗另一根若在(p,q)內(nèi)成立.方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(pq)二i；(pr00 f (q) = 03. 二次不等式轉(zhuǎn)化策略2 、(1) 二次不等 式 f(x)=ax +bx+c w 0 的解集是： (一 , a ) U 3，+m ) = a0 時，f(a )f(3 )=|a + |3 + I,當(dāng) a0 時，f( a )2a 2a2a|3 + |;2ab p

7、、(3) 當(dāng) a0時，二次不等式f(x)0在p,q 恒成立二2a 或仁p;2a卜(P)0,p 一 ： q,2a或0恒成立a 0,或a7f(x) 2恒成立二：0, c 0;3八ra v0A0,a = b = 0 c 0.殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題2_.()若不等式(a 2)x +2(a 2)x 40),若 f(m)0,則實數(shù)p的取值范圍是 .)二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為正，且對任意實數(shù) x恒有f(2+x)=f(2 x),若 2 2f(1 2xj0且a* 1)aa(1)令t=ax,求y=f(x)的表達(dá)式；若x (0,2 時，y有最小值8,求a和x的值.2 . . ,6. ( )如果二次函數(shù) y=m

8、x+(m 3)x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的 右側(cè)，試求m的取值范圍.?.()二次函數(shù) f(x)=px2+qx+r 中實數(shù) p、q、r 滿足一Pq - =0,其中m+2 m + 1mm0,求證：(1)pf( m )0;m +1方程f(x)=0在(0, 1)內(nèi)恒有解.$.()個小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價P(元/件)之間的關(guān)系為P=160 2x,生產(chǎn)x件的成本 R=500+30x元.(1) 該廠的月產(chǎn)量多大時，月獲得的利潤不少于1300元？(2) 當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？參考答案難點磁場解：由條件知 = 0,即(4a) 2 4(2a+12)

9、 0,二一3 a 22(1) 當(dāng)一- av 1 時，原方程化為：x= a2+a+6,/ a2+a+6= (a -)2+-25 .224 _3 時91 時252424 9匕匕254423 21(2) 當(dāng) 1 a 2 時，x=a2+3a+2=(a+ )224當(dāng) a=1 時，xmin=6,當(dāng) a=2 時，Xmax=12,二 6W XW 12.綜上所述,9 XW 12.4殲滅難點訓(xùn)練一、1.解析：當(dāng)a 2=0即a=2時，不等式為一4v 0,恒成立.二a=2,當(dāng)a 2* 0時，貝U a、卄3_2 cO滿足，解得一2 v av 2,所以a的范圍是一2 a 2.i0,則 f(0)0,而 f(m) v 0,.

10、m (0,1),2二 m 1 v 0, f(m 1)0.答案：A二、3解析：只需 f(1)= 2p2 3p+90 或 f( 1)= 2p2+p+10 即3v pv -或-v p2 23v 1二 p ( 3,).2答案：(3, 3)24解析：由f(2+x)=f(2 x)知x=2為對稱軸，由于距對稱軸較近的點的縱坐標(biāo)較小， |1 2x2 2|v |1+2x x2 2|,a 2 v xv 0.答案：2v xv 0三、5解:由 loga-iogt- 得 logat 3=logty 3logtaaa由 t=ax知 x=logat，代入上式得 x 3= loga y ,x x logay=x2 3x+3，

11、即 y=a x _3x 3 (xm 0).233(2)令 u=x2 3x+3=(x)2+ (xm 0),則 y=au24 若0v av 1,要使y=au有最小值8,則u=(x 3)2+3在(0, 2上應(yīng)有最大值，但 u在(0, 2上不存在最大值.24 若a1,要使y=aU有最小值8，貝U u=(x ,x (0,2 應(yīng)有最小值243 當(dāng) x= 3 時，umin=色,ymin= a 42433 由 a4 =8 得 a=16. 所求 a=16,x=.26解：T f(0)=10(1) 當(dāng)m v 0時，二次函數(shù)圖象與 x軸有兩個交點且分別在 y軸兩側(cè)，符合題意也0(2) 當(dāng)m0時，貝U3m解得0 mW

12、10.m綜上所述，m的取值范圍是m|m0,所以,pf()v 0.7證明:叫吋）2叮1）7證明:叫吋）2叮1）由題意，得 f(0)=r,f(1)= p+q+r 當(dāng)pv 0時，由(1 )知f() v 0m +1若r0,則f(0)0,又f()v 0,所以f(x)=0在(0，旦)內(nèi)有解； m +1m +1若 rw 0則 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=( p)+=p 0,m+2 m m+2 m 又f()v 0,所以f(x)=0在(,1)內(nèi)有解m 1m 1 當(dāng)pv 0時同理可證.8解：(1)設(shè)該廠的月獲利為 y,y=(160 2x)x (500+30x)= 2x2+130x 500由 y 1300 知2x2+